2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省兰州第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．不等式的解集为 (　 　)‎ A． (-∞,0]∪(1,+∞) B． [0,+∞)‎ C． [0,1)∪(1,+∞) D． (-∞,0]∪[1,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：不等式变形为且，所以不等式的解集为（-∞，0]∪（1，+∞）‎ 考点：分式不等式解法 ‎2．数列中，，那么等于 (　 　)‎ A． 8 B． 17 C． 33 D． 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件的递推公式，令，可求得，进而令，可得。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 当时，，所以，所以。‎ 当时，，所以，所以。‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 已知数列的递推公式，可以求数列任一项。已知（或），可先求（或），根据（或），再求（或），依次类推，可求后面的项。‎ ‎3．在△ABC中，若，则角B为 (　 　)‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：变形为为或 考点：余弦定理 ‎4．已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则 (　 　)‎ A． 31 B． 32 C． 33 D． 34‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与的等差中项为，可得，将这个式子和已知两个条件都转化为首项和公差d，两式联立可求得。然后由等比数列的前n项和公式可求的值。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以①‎ 因为与的等差中项为，所以，所以② ‎ ‎ 由①②可求得 所以。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】‎ 解决有关等差数列、等比数列的问题，注意基本量首项和公差d与首项和公比q的运用。将条件转化为基本量，可解决求数列的通项公式、前n项和等问题。‎ ‎5．已知，且，则的最小值为 (　 　)‎ A． 4 B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件变为。将中的底数变为相同可得，然后用基本不等式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以。‎ 因为,所以。‎ 当且仅当 即时，上式取“=”号。‎ 所以当时， 的最小值为。 ‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 用基本不等式可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当都取正值时，（1）若和取定值，则积有最大值；（2）若积取定值时，则和 有最小值。‎ ‎6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(　　)‎ A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 余弦定理得代入原式得 解得 则形状为等腰或直角三角形,选D.‎ 点睛：判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎7．已知,则下列推理中正确的是 (　 　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ A. 当m=0时,有，故A不对；B. 当c<0时，有a2.‎ ‎(2)当a＋1>0即a>-1时，原不等式可转化为 方程的根是。 ‎ 若-12，解得2，则<2， 解得2.‎ 综上可知，‎ 当a>时，原不等式的解集为{x|2}．‎ 当a<-1时，原不等式的解集为{x| x<或x>2}．‎ ‎【点睛】‎ 解二次项系数含字母的一元二次不等式，应对二次项系数分等于0、大于0、小于0三种情况讨论。二次项系数等于0时，转变成一元二次不等式来解；二次项系数不等于0时，结合二次函数图像来解，当两根含有字母时，应讨论两根的大小。‎ ‎19．已知数列的前n项和Sn＝n2＋n . ‎ ‎（1）求数列的通项公式an；‎ ‎（2）令 ，求数列{bn}的前n项和为Tn .‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当n≥2时，计算an＝Sn－Sn－1得an＝2n，再求a1＝S1＝2，验证满足上式。可得an＝2n(n∈N*).（2）求数列{bn}的前n项和为Tn，应先根据（1）的结论求得bn＝‎ ‎＝，将其裂成两项的差可得bn＝＝.进而用裂项求和法可求数列{bn}的前n项和为Tn。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为 a1＝S1＝2，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，‎ 又a1＝2＝2×1适合上式.‎ 综上，数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*).‎ ‎(2)由于an＝2n，bn＝，‎ 则bn＝＝.‎ Tn＝‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ ‎⑴由求时，注意与的关系的运用，期间要注意的范围，并且要分，两步来求。‎ ‎⑵ 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：， ‎ ‎，裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．‎ ‎(3)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，前后所剩项数一样．‎ ‎20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，向量，且.‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若，且，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）△ABC的面积为。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量数量积的坐标运算可将m·n＝bcos B化为cos C＋cos A＝bcos B，然后用正弦定理的结论边化角可得 sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，进而再用两角和正弦公式和诱导公式可求cos B＝，进而可求角B。（2）由(1)知B＝，可将cos＝sin A中的角C化为A，可得cos＝sin A。利用两角差的余弦公式可得tan A＝，求得A＝，进而求得C＝.由|m|＝可得即a2＋c2＝20，在直角三角形中，可得a＝c，进而可求a，c的值。可求结论。‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 由m·n＝bcos B，得cos C＋cos A＝bcos B，‎ sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，‎ 即 sin(A＋C)＝2sin Bcos B，sin B＝2sin Bcos B，‎ ‎∵0－2.‎ 综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).‎ ‎【点睛】‎ ‎⑴求等差数列、等比数列的通项公式、前n项和，应先求数列基本量首项和公差d与首项和公比q。‎ ‎⑵根据不等式恒成立，求参数的取值范围。方法一，分离变量，转化为函数的最值问题；方法二，构造函数，求函数的最值。‎