重庆市一中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

重庆市一中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

www.ks5u.com 重庆一中高2022级高一上期月考考试 数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则为( )‎ A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D. {0,2,3,4}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据全集U求出集合A补集，再求与集合B的并集．‎ ‎【详解】由题得，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．‎ ‎2.集合的真子集的个数为（ ）‎ A 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法求出集合，然后找出真子集的个数.‎ ‎【详解】方程的解为：，‎ 所以集合，‎ 它的真子集为，，，共有3个真子集.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查真子集个数的判断，属于基础题.‎ ‎3.已知函数，若，则实数的值是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. 3或或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，需要对进行分类讨论，若，则；若，则，进而求得结果.‎ ‎【详解】（ⅰ）若，则，‎ ‎，（舍去）；‎ ‎（ⅱ）若，则 ‎.‎ 综上，或.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的求值问题，关键是要对进行分类讨论.‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对选项逐一分析，判断出正确答案即可.‎ ‎【详解】选项A：是奇函数，不满足题意；‎ 选项B：是奇函数，不满足题意；‎ 选项C：是偶函数，且在上单调递增，满足题意；‎ 选项D：是偶函数，在上单调递减，不满足题意．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数的单调性和奇偶性，属于基础题.‎ ‎5.下列各组函数中，与相等的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个函数是否相等，需要同时观察定义域和对应关系是否相同.‎ ‎【详解】选项A：函数与函数的对应关系不同，不满足题意；‎ 选项B：函数与函数的对应关系不同，不满足题意，不满足题意；‎ 选项C：函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，不满足题意；‎ 选项D：函数的定义域为，函数，定义域为，满足题意．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数相等，两个函数相等须同时满足定义域和对应关系（解析式）相同.‎ ‎6.函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性解决.‎ ‎【详解】要是函数有意义，须满足：，解得：或，‎ 令，则有，‎ 函数上单调递增，在上单调递减，‎ 而函数是减函数，‎ 根据复合函数单调性同增异减的规则，可知：‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，解题时应先求出函数的定义域，属于基础题.‎ ‎7.已知函数的图像的图象如下，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据f(0)<0，得到，然后构造函数，根据韦达定理得出和的值，判断即可.‎ ‎【详解】由图可知f(0)<0，故有，即，‎ 由图可知，函数的两根分别为和，‎ 所以有：，即 ，又 故，，‎ 所以 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象研究函数的性质，解题的关键是观察图象进而得出函数的特征.‎ ‎8.已知函数存在四个单调区间，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数有4个单调区间，再根据函数的特点，可知函数的图象与轴有两个不同的交点，得，解不等式即得结果.‎ ‎【详解】函数存在四个单调区间,‎ 函数的图象与轴有两个不同的交点，‎ 则，解之得：或，‎ 故的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性及单调区间，正确理解绝对值的意义是解题的关键.‎ ‎9.已知函数，则函数的值域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，结合函数单调性进行求解即可．‎ ‎【详解】解：由，得，‎ 即函数的定义域为，‎ 又观察得函数在上递减，‎ 所以函数在上递减，‎ 所以函数的最大值为，最小值为，‎ 即函数的值域为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值域的计算，结合函数单调性与最值之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎10.记表示中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的图象如图，‎ 直线与曲线交点，，，，‎ 故时，实数的取值范围是或.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.‎ ‎11.设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，，若 对一切成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 现根据函数的奇偶性求出当时，的解析式，利用基本不等式和函数恒成立的知识求出的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，，‎ 是定义在上的奇函数，则.‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，‎ ‎ 对一切成立，即，‎ ‎，‎ 解得：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和恒成立问题，以及利用基本不等式求最值，属于综合题.‎ ‎12.已知定义在上的函数，且，函数的图象关于点中心对称，对于任意，都有成立. 则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数是奇函数，构造函数，研究函数的奇偶性和单调性，分类讨论求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】∵函数的图象关于点中心对称，‎ ‎∴函数的图象关于点中心对称，即函数是奇函数，‎ 对任意的正数，，恒成立，‎ 不妨设，则，‎ 设，则不等式等价为，且函数是偶函数，‎ 即在上为增函数，则函数在上是减函数.‎ 当时，不等式即，即，‎ 所以；‎ 当时，不等式即，即，‎ 所以；‎ 因此不等式的解集为：．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数与不等式的综合应用，解题关键是正确构造函数，通过研究函数的性质解不等式.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把最简答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.已知集合且，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据元素与集合的关系即可得出.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.‎ ‎14.定义在上的奇函数满足：当，则_________，__________.‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的性质求出，然后利用函数的奇偶性求解即可．‎ ‎【详解】由定义在上的奇函数满足：当，‎ 可得，‎ 当，，‎ 则.‎ 故答案为：（1）0；（2）−3.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，属于基础题.‎ ‎15.已知函数满足： ，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用方程组法求得函数的解析式，然后利用换元法求得的最小值.‎ ‎【详解】①，‎ 用替换上式中的，得：②，‎ 联立①②，得，‎ ‎,‎ ‎，‎ 令（），‎ 则（），‎ 当时，函数有最小值，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法以及函数最值的求法，属于常考题.‎ ‎16.已知，函数，若存在，使得，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数表达式得到的表达式，然后根据绝对值不等式的意义得到关于与的关系式，再结合不等式恒成立解决即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 即,去掉绝对值可得，‎ 由，可得 ‎∴有 ，‎ 令，显然存对任意使得成立.‎ 为使成立，需，‎ ‎∴实数的取值范围为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设函数的定义域为集合. ‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数的定义域由函数和函数的定义域构成，分别求出两者的定义域而后取交集即可；‎ ‎（2）根据二次函数在给定区间上的值域的求法进行计算即可.‎ ‎【详解】（1）由题意：‎ ‎∴. ‎ ‎（2），‎ 当时，取得最小值，；‎ 当时，取得最大值，.‎ 又，则，但时，‎ 故值域为.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域和值域的求法，属于常考题型.‎ ‎18.已知集合，，. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别对集合和集合进行化简，再求出，而后计算即可；‎ ‎（2）由得到，再结合子集的定义进行分析计算.‎ ‎【详解】（1）由题意：‎ ‎，∴‎ ‎∴. ‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ∴‎ ‎【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题的关键.‎ ‎19.已知二次函数对任意，都有，函数的最小值为，且. ‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可知，函数的对称轴为，函数的最小值为，可设（），再由可解得的值，写出解析式即可；‎ ‎（2）对进行分类讨论，然后再根据不等式恒成立的条件解决问题.‎ ‎【详解】（1）设，由 得 ‎ 所以 ‎ ‎（2）由题意：不等式对任意恒成立，‎ ‎①当时，满足题意；‎ ‎②当时，要想使不等式恒成立，则，，‎ ‎∴‎ 综上：的取值范围：.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法及一元二次不等式恒成立问题，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数是奇函数，其中. ‎ ‎（1）若在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据为奇函数，得到，再由的单调性得出的取值范围；‎ ‎（2）由，又解集为，可得是方程的两个正根，结合一元二次不等式及韦达定理建立不等式求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）是奇函数 ‎∴，. ‎ ‎∴，故∵在上是增函数. ‎ 当，不满足 当，∴，∴，∴‎ 综上：. ‎ ‎（2）由题意：原不等式等价于 ‎∵‎ 又它的解集为，是方程的两个正根 ‎∴ ∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴或（舍去）‎ ‎∴的值.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性和一元二次不等式的综合应用，属于综合题.‎ ‎21.设函数满足：对任意实数都有，且当时，. ‎ ‎（1）证明：在为减函数；又若在上总有成立，试求的最小值；‎ ‎（2）设函数， 当时，解关于的不等式：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）任取，则，由已知得，进而得到，命题得证；由在上恒有，得出，分别令得到，令，得到，令，得到，故而得到；‎ ‎（2）由，可得，根据单调性“脱去” 得到，分类讨论解不等式即可.‎ ‎【详解】（1）设任意的两个实数且，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴ ，‎ 故在上是减函数. ‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎∴，∴. ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴原不等式等价于：‎ 而是减函数，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴当，解集是 当，‎ ‎（i），∴，解集 ‎（ii），∴，解集 ‎（iii），∴，解集 ‎【点睛】本题主要考查函数综合应用，第一问考查抽象函数的赋值法、函数的单调性的证明及最值的求法，第二问考查利用函数的单调性解抽象不等式，属于综合题.‎ ‎22.已知一次函数，且，设. ‎ ‎（1）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数 ‎①求函数在上的最大值的表达式；‎ ‎②若对任意都存在，使得()成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）①，②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方法一：化简不等式转化为一元二次不等式在定义区间上恒成立问题，根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论函数最小值，根据最小值大于零，解不等式组可得实数的取值范围；方法二：由题意可得，即为，讨论不等式对应方程的两根的大小，解出不等式，由恒成立可得的不等式，解不等式即可得到所求范围； （2）①把表示为分段函数并作出其图象，令，得，根据图象对进行分类讨论，由此可求得其最大值．‎ ‎②设的值域为，的值域为，易得，令，得到 ，通过分类讨论与的大小， 得出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，∴‎ 方法一：不等式恒成立 等价于恒成立. ‎ 即对恒成立， ‎ 令，的对称轴为，‎ 则有或或 ‎ 解得. 故实数的取值范围是. ‎ 方法二：不等式恒成立等价于恒成立. ‎ 即等价于对一切恒成立， ‎ 即恒成立，得恒成立， ‎ ‎∵当时，，，∴， ‎ 因此，实数的取值范围是. ‎ ‎（2）①，‎ 其图像如图所示：‎ 当时，，根据图像得：‎ ‎（ⅰ）当时， ‎ ‎（ⅱ）当时， ‎ ‎（ⅲ）当时， ‎ 综合有 ‎②设的值域为，的值域为，‎ ‎∴，又 令，∴，∴. ‎ ‎∴当，，矛盾，舍去；‎ 当，是增函数，∴，‎ ‎∴，∴‎ 当，，矛盾，舍去；‎ 综上：的取值范围：.‎ ‎【点睛】本题考查函数和一元二次不等式恒成立的综合应用，解题时应充分应用划归思想和数形结合思想，还应把函数和不等式结合起来.‎ ‎ ‎