2018-2019学年江西省上饶中学高二上学期期中考试数学试题（理科重点、实验） 解析版

2018-2019学年江西省上饶中学高二上学期期中考试数学试题（理科重点、实验） 解析版

绝密★启用前 江西省上饶中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题（理科重点、实验)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是( )‎ A．系统抽样 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．各种方法均可 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应用分层抽样.‎ ‎【详解】‎ 从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显，所以应用分层抽样法，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.‎ ‎2．为了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”，某记者分别从某社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160人，240人，x人中，采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查，若在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为(　　) ．‎ A．90 B．120 C．180 D．200‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，利用已知在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可以求出抽取的总人数，从而求出x的值．‎ 解：60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中可以抽取30人，‎ 每个个体被抽到的概率等于：，‎ ‎∵在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可知×160=8，‎ 解得x=200，‎ 故选D．‎ 考点：分层抽样方法．‎ ‎3．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝，则实数m的值为(　)‎ A．8 B．8.2 C．8.4 D．8.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 线性回归方程为＝必过样本中心 ‎【详解】‎ ‎，代入直线的方程 ，解得 ，故选A ‎【点睛】‎ 线性回归方程必过样本中心 ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A．43 B．55 C．61 D．81‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ 结束循环输出 ,选C.‎ ‎5．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)‎ A．1－a－b B．1－ab C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据分步原理知，产品为正品时需要这两道工序都为正品，∴产品的正品率为（1-ａ）·（1-ｂ），故选C 考点：本题考查了对立与独立事件概率的求法 点评：区分对立事件与独立事件是解决此类问题的关键，属基础题 ‎6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是　　‎ A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：‎ 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．‎ 在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；‎ 在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，‎ 是互斥而不对立的两个事件，故C成立；‎ 在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ ‎“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎7．在上随机取一个实数m，能使函数在R上有零点的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求解参数的取值范围，再计算区间长度，进而计算概率。‎ ‎【详解】‎ 在R上有零点，则，由此解得，落在范围内的有区间长度为6，利用几何概型计算可知，有零点的概率为。故选B ‎【点睛】‎ 几何概型是计算面积、线段长度、角度、体积等的比例值，但题设不会明确的给出利用几何概型求解，需要对题意进行等价转化。‎ ‎8．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于(　　)‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 ‎【详解】‎ 由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，‎ 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，‎ 即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，‎ 于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题。‎ ‎9．在中，内角的对边分别为，，，，则（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由三角形面积公式可得：，即，解得：，‎ 结合余弦定理可得：，则 由正弦定理有：，‎ 结合合分比定理可得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为 A．48 B．36 C．24 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分步进行分析：①将歌曲节目排在首尾；②将个小品节目安排在歌曲节目的中间；③排好后，个小品节目与个歌曲节目之间有个空位，将个舞蹈节目全排列，安排在中间的个空位，由分步计数原理计算可得结论.‎ ‎【详解】‎ 分步进行：‎ ‎①歌曲节目排在首尾，有种排法.‎ ‎②将个小品节目安排在歌曲节目的中间，有种排法.‎ ‎③排好后，个小品节目与个歌曲节目之间有3个空位，‎ 将个舞蹈节目全排列，安排在中间的个空位，有种排法.‎ 则这个节目出场的不同编排种数为种，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.‎ ‎11．随机变量服从正态分布，若，，则（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据正态曲线的对称性求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，‎ ‎12．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可。‎ 或 ‎，‎ ‎,可知 故答案选B.‎ 点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝80， ＝20， ＝184， ＝720.则家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为__________．‎ 附：线性回归方程y＝bx＋a中， ，a＝－b，其中， 为样本平均值．线性回归方程也可写为＝x＋.‎ ‎【答案】y＝0.3x－0.4‎ ‎【解析】‎ 由题意知，‎ 又，，‎ 由此得，故所求回归方程为 ，故答案为 .‎ ‎14．已知满足，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件作出不等式组对应的平面区域，则k的几何意义为点到定点的斜率，利用数形结合即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如图:‎ 因为k的几何意义为点到定点的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中，此时，故填1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性规划的应用，直线的斜率，数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎15．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：随机变量~B(2,)，，,,所以 ==。‎ 考点：本题主要考查概率的计算及二项分布分布列的确定，考查考生的计算能力。‎ 点评：注意运用对立事件概率的计算公式。‎ ‎16．若的展开式中含有常数项，则的最小值等于__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 的展开式中， ，‎ 令 ，展开式中含有常数项，当时，取最小值为 ；‎ 令 ，展开式中含有常数项，当时，取最小值为2；‎ 综上可知：取最小值为2；‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设，，．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理直接求b的值即可．（2）先由求出，再根据三角形的面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵a=4，c=3，cosB=．‎ ‎∴由余弦定理可得b===． ‎ 故b的值．‎ ‎（2）∵cosB=，B为三角形的内角，‎ ‎∴sinB===，‎ 又a=4，c=3，‎ ‎∴S△ABC=acsinB==．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，解题时可根据相应的公式求解即可，但要注意计算的准确性，这是在解答类似问题中常出现的错误．‎ ‎18．（1）计算: ；（2）解不等式: ‎ ‎【答案】(1)466；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据组合数的性质，有3n≥38-n且21+n≥3n；解可得n的取值范围，结合n是整数，可得n的值为10，代入组合数公式中计算可得答案； （2）首先运用排列公式可将原不等式化简整理变形为，解可得x的范围，再由排列的性质可得，且，取交集可得答案．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意,解得 又由可得n=10‎ ‎（2）原不等式即 ，‎ 也就是，‎ 化简得，‎ 解得或，又因为，且，‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎19．十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在， ， ， ， ， （单位：克）中，其频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求质量落在， 两组内的蜜柚的抽取个数，‎ ‎（2）从质量落在， 内的蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；‎ ‎【答案】（1）2，3；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得到蜜柚质量在和的比例为，得到应在质量为和的蜜柚中个抽取2个和3个.‎ ‎（2）记抽取质量在的密柚为质量在的密柚为,列举得到基本事件的总数，和小于2000克的仅有，利用公式即可求解概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得密柚质量在 和 的比例为，‎ 应分别在质量的密柚中各抽取2个和3个，‎ ‎(2)记抽取质量在的密柚为质量在的密柚为 则从这5个密柚中随机抽取2个的情况共有以下10种，‎ ‎ ‎ 其中质量均小于2000克的仅有 这一种情况，故所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，其中认真审题，通过列举得到基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.‎ ‎20．已知函数，不等式的解集为．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）当在上具有单调性，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由不等式的解集为可得的两根是，根据根系数的关系可求和，代入不等式求解即可；（2）由题意可得，在上具有单调性可得区间在对称轴的左侧或者右侧，列不等式，求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由的解集为，则的解集为，则的解集为，则的两根，‎ 则，‎ 由，，‎ 则解集为 ‎ ‎（2）由在上具有单调性， ‎ 则，‎ 解出 ‎【点睛】‎ 本题考查了三个二次的关系，（1）二次函数的图像与x轴交点的横坐标，二次不等解集的端点值，一元二次方程的根是同一个量的不同表现形式；（2‎ ‎）二次函数、二次不等式，二次方程常称作“三个二次”，其中的某类的问题常可以转化为另两类问题加以解决，所以三者的关系密切而重要。其中二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像使它们贯穿一体，使得数形结合思想在此类问题的解决中十分有效。‎ ‎21．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)‎ ‎(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：‎ 主食 蔬菜 主食 肉类 总计 ‎50岁以下 ‎50岁以上 总计 ‎(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．‎ 附参考公式：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意完成列联表即可；‎ ‎(2)由题意计算K2的观测值，据此确定饮食习惯与年龄是否相关即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)2×2列联表如下：‎ ‎ (2)因为K2的观测值k＝＝10>6.635，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”‎ ‎【点睛】‎ 独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．‎ ‎22．现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是,样本数据分组为.‎ ‎(1)求直方图中的值；‎ ‎(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；‎ ‎(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）180；（3）.‎ ‎【解析】分析：（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1求出x的值；‎ ‎（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；‎ ‎（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望.‎ 详解：(1)由直方图可得,‎ ‎∴.‎ ‎(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:,‎ ‎,‎ ‎∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住.‎ ‎(3)的可能取值为,‎ 有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 的数学期望.‎ 点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.‎