【数学】2018届一轮复习北师大版圆锥曲线中的综合问题教案
第3讲 圆锥曲线中的综合问题
最值、范围问题 共研典例 类题通法
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
(2016·合肥第二次质量检测)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
【解】 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由条件可得a＝2，c＝，b＝1，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，
(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－，
设△OAB的面积为S，
由x1x2＝－<0，
知S＝(|x1|＋|x2|)
＝|x1－x2|
＝
＝2，
令k2＋3＝t，知t≥3，
所以S＝2.
对函数y＝t＋(t≥3)，
知y′＝1－＝>0，
所以y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，
所以t＋≥，
所以0<≤，
所以S∈.
求解范围、最值问题的五种方法
解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
[跟踪训练]
(2016·江西重点中学4月联合考试)已知椭圆C：＋＝1(0
1)，
则＝＝－＋＋1
＝－＋≤(当且仅当t＝2时取等号)，
所以的最大值为.
定点、定值问题 共研典例 类题通法
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点A的动直线l与椭圆 C交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
【解】 (1)圆M的圆心为(3，1)，半径r＝.
由题意知A(0，1)，F(c，0)，
直线AF的方程为＋y＝1，即x＋cy－c＝0，
由直线AF与圆M相切，
得＝，
解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由·＝0知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，
故可设直线l的方程为y＝kx＋t(t≠1)，
联立
整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，(*)
由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)×3(t2－1)>0，得3k2>t2－1.
由·＝0，得·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0，
将(*)代入，得t＝－，
所以直线l过定点.
定点与定值问题的求解策略
(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y＝kx＋m(k存在的情形)．然后利用条件建立k与m的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．
(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．
[跟踪训练]
如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
[解] (1)由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，
解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q (x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)
eq lc(
c)(avs4alco1(f(1,x1)＋f(1,x2)))＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
探索性问题 共研典例 类题通法
1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
(2016·东北四市教研联合体模拟)已知A为曲线y＝－上任意一点，点B(2，0)为线段AC的中点．
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M，N两点，在圆x2＋y2＝1上是否存在一点P，使得PM，PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)设C(x，y)，A(m，n)，
则，
所以，
又n＝－，
所以所求方程为x2＝4y.
(2)假设存在点P(x0，y0)，设M，N，
直线MN的方程为y＝kx＋1，
联立，
得x2－4kx－4＝0，
则，
切线PM的方程为y－＝(x－x1)，
将点P(x0，y0)代入化简得x－2x1x0＋4y0＝0，
同理得x－2x2x0＋4y0＝0，
所以知x1，x2是方程x2－2x0x＋4y0＝0的两根，
则x1x2＝4y0＝－4，
所以y0＝－1，代入圆的方程得x0＝0，
所以存在点P(0，－1)，使得PM，PN分别为轨迹E的切线．
解决探索性问题的注意事项
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
[跟踪训练]
(2016·兰州市诊断考试)已知椭圆C的焦点坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B，D两点，且|BD|＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在过点P(2，1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足·＝？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题可知c＝1，
因为|BD|＝3，所以＝3，
又a2－b2＝1，所以a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k(x－2)＋1.
由得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点M，N，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＞0，
所以k＞－，
x1＋x2＝，x1x2＝，
因为·＝(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝，
所以(1＋k2)＝＝，
解得k＝±，
因为k＞－，所以k＝，
故存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.
课时作业
1．(2016·合肥第二次质检)双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为( )
A. B.
C. D.
A [解析] 由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，所以∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋.易知△POF2为等边三角形，则xP＝＝，选项A正确．
2．(2016·福建毕业班质量检测)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [解析] 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以点A的坐标为，又点A
在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D.
3．(2016·云南第一次统一检测)设F1、F2是双曲线C：－＝1的两个焦点，点P在C上，且·＝0，若抛物线y2＝16x的准线经过双曲线C的一个焦点，则||·||的值等于________．
[解析] 依题意，抛物线的准线方程为x＝－4，所以设双曲线方程的焦点坐标为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P为双曲线右支上一点，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝6，①
又·＝0，所以⊥，所以在Rt△PF1F2中，||2＋||2＝82，②
联立①②，解得||·||＝14.
[答案] 14
4．(2016·兰州诊断考试)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是________．
[解析] 设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c＝|PF2|＝2a－10，2m＝10－2c，所以a＝c＋5，m＝5－c，
所以e1e2＝×＝＝，又由三角形的性质知2c＋2c>10，由已知2c<10，c<5，所以.
[答案]
5．(2016·河北省“五校联盟”质量检测)定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|＝|BC|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．
[解] (1)因为F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，
所以圆N内切于圆M.
因为|NM|＋|NF|＝4>|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝，所以b＝1，
所以轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)①当AB为长轴(或短轴)时，S△ABC＝|OC|·|AB|＝2.
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝kx，A(xA，yA)，
联立方程得，x＝，y＝，
所以|OA|2＝x＋y＝.
将上式中的k替换为－，可得|OC|2＝.
所以S△ABC＝2S△AOC＝|OA|·|OC|＝·＝.
因为 ≤
＝，
所以S△ABC≥，
当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是.
因为2>，所以△ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
6．(2016·长春质检)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连接A1A，A1B并延长分别交直线x＝4于R，Q两点，问 · 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
[解] (1)已知椭圆的离心率为，不妨设c＝t，a＝2t，则b＝t，其中t>0，当△F1PF2面积取最大值 时，点P为短轴端点，
因此·2t·t＝，解得t＝1，
则椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
直线AA1的方程为y＝[x－(－2)]，
直线BA1的方程为y＝[x－(－2)]，
则R，Q，＝，＝，则·＝9＋＝＋9＝0，
即·为定值0.
7．(2016·石家庄第一次模考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点M(m，2)，其焦点为F，且|MF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x－1)2＋y2＝1相切，切点分别为A，B，求证：A，B，F三点共线．
[解] (1)抛物线C的准线方程为x＝－，
所以|MF|＝m＋＝2，
因为4＝2pm，即4＝2p，
所以p2－4p＋4＝0，所以p＝2，
抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设E(0，t)(t≠0)，已知切线不为y轴，设EA：y＝kx＋t，联立，消去y，可得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0.
因为直线EA与抛物线C相切，所以Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即kt＝1，
所以x2－2x＋t2＝0，得x＝t2，即A(t2，2t)．
设切点B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点O(O为原点)，B关于直线EF：y＝－tx＋t对称，则
，解得，
即B，
直线AF的斜率为kAF＝(t≠±1)，
直线BF的斜率为kBF＝＝(t≠±1)，
所以kAF＝kBF，即A，B，F三点共线．
当t＝±1时，A(1，±2)，B(1，±1)，此时A，B，F三点共线．
综上：A，B，F三点共线．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·＝0，求||＋||的取值范围．
[解] (1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，
此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，所以bc＝4，
因为e＝，所以b＝2，a＝4，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2，0)，
因为·＝0，所以AC⊥BD，
①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得||＋||＝6＋8＝14，
②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立，
消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，
所以，
所以||＝ |x1－x2|＝，
此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)，
同理，由，可得||＝，
所以||＋||＝＋
＝，
令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，所以||＋||＝，
因为t>1，所以0<≤，所以||＋||∈.
由①②可知，||＋||的取值范围是.
