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文档介绍
数学(理)卷·2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考(2017
南昌二中2017~2018学年度上学期第五次考试 高三数学(理)试卷 出题人:徐 欢 审题人:张 婷 一、选择题(每小题5分,共60分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的选项填涂在答题卡上) 1.已知集合, ,则( ) A. B. C. D. 2. 已知(是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若则 D. 若,则 4.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项的和为( ) A. B. C. D. 5. 若,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.是所在平面内一点, ,则是点在内部(不含边界)的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 7. 已知的三个内角的大小依次成等差数列,角的对边分别是,并且函数的值域是,则的面积是 ( ) A. B. C. D. 8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 9. 设, , ,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时,.若关于的方程(),有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在的可导函数, 为其导函数,当且 时, ,若曲线在处的切线的斜率为,则 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 12.已知为常数,函数有两个极值点,则( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 13. 在等比数列中, ,则__________. 14. 在平面内,,若动点满足,则的最小值是__________. 15. 已知区域,则圆与区域有公共点,则实数的取值范围是__________. 16. 在三棱锥中, 是边长为3的等边三角形, ,二面角的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为__________. 三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分10分)在中,内角,,的对边分别为,,,已知 . (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,且是锐角三角形,求实数的取值范围. 18.(本题满分12分) 如图,的外接圆的半径为,所在的平面, ,,,且,. (1)求证:平面平面. (2)试问线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置,若不存在,请说明理由. 19. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量,设,向量. (1)若,求向量与的夹角; (2)若 对任意实数都成立,求实数的取值范围. 20. (本题满分12分)如图,已知四棱锥的底面的菱形,,点是边的中点,交于点, (1)求证:; (2)若的大小; (3)在(2)的条件下,求异面直线与所成角的余弦值。 21. (本题满分12分)已知数列的前项和满足: . (1)数列的通项公式; (2)设,且数列的前项和为,求证: . 22. (本题满分12分)已知函数. (1)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围; (2)设是函数的两个极值点,若,求的最小值. 南昌二中2017~2018学年度上学期第五次考试 高三数学(理)试卷参考答案 1.已知集合, ,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 2.已知(是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】, , 的共轭复数对应的点的坐标是, 对应的点在第二象限,故选B. 3.若、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若则 D. 若,则 【答案】D 【解析】对于A,由可得∥或与异面,故A不正确; 对于B,由可得与的位置关系有相交、平行、在内三种,故B不正确; 对于C,由可得与的位置关系不确定,故C不正确; 对于D,由,设经过的平面与相交于直线,则∥,又因为,故,又因为,所以,故D正确. 故选D. 4.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项的和为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 所以等差数列的公差 ,通项公式为 则其前项和为 则数列的前项的和为 故选A 5.若,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】(1)∵,且,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,故的最小值为64,故选D. 点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 6.是所在平面内一点, ,则是点在内部(不含边界)的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】若,点在内部,则,反之不成立,例如时,点为边的中点, 是点在内部,(不含边界)的必要不充分条件,故选B. 7.已知的三个内角的大小依次成等差数列,角的对边分别是,并且函数的值域是,则的面积是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵在C中,,角 依次成等差数列, ,解得 , 函数的值域是,即函数的最小值 则的面积 故选A 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由三视图可知,几何体为下面一个直三棱柱,上面一个三棱锥 三棱柱的底面面积为: ,侧面积为: ; 三棱锥的侧面积为: . 该几何体的表面积是. 故选D. 点睛:三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图. 9.设, , ,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为是减函数,所以,又是上的增函数,故,综上,故选C. 点睛:利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小. 10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时,.若关于的方程(),有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:作出的图象如下, 又∵函数y=f(x)是定义域为R的偶函数, 且关于x的方程, a,b∈R有且仅有6个不同实数根, ∴x2+ax+b=0的两根分别为或; 由韦达定理可得, 若,则,即; 若,则,即; 从而可知或; 故选C. 考点:根的存在性及根的个数判断. 11.已知函数是定义在的可导函数, 为其导函数,当且 时, ,若曲线在处的切线的斜率为,则 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】当 且 时, ,可得: 时, 时, 令 可得: 时, ; 时, 可得:函数在处取得极值, . 故答案为 12.已知为常数,函数有两个极值点,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】求导得: .易得在点P(1,0)处的切线为.当时,直线与曲线交于不同两点(如下图),且, . .选D 点睛:比较函数值大小,一般作差,利用条件等量代换,将差转化为一元函数, 再利用导数研究差函数单调性或最值,根据单调性或最值确定差的符号,即大小关系. 13.在等比数列中, ,则__________. 【答案】 【解析】依题意知等比数列的公比, 故. 14.在平面内,,若动点满足,则的最小值是__________. 【答案】2 【解析】由得三角形ABC为等边三角形,且边长为 ,以AC所在直线为x轴,AC中点为坐标原点建系,则 , 因此 ,所以 15.已知区域,则圆与区域有公共点,则实数的取值范围是__________. 思路:先在坐标系中作出区域,圆的圆心为,半径为,所以只需确定圆心的取值范围即可,通过左右平移圆可观察到圆与直线和相切是取值的临界条件。当圆与相切时,则,由圆心位置可得;当圆与相切时, ,所以 答案: 16.在三棱锥中, 是边长为3的等边三角形, ,二面角的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】由题可得:球心O在过底面的中心G的垂直底面的直线上,又二面角的大小为120°,取AB的中点为M,SB的中点为N,故,又,过M做MH=GO,且MH垂直底面,所以, ,故球的半径为,所以球的表面积为 17. 在中,内角,,的对边分别为,,,已知 . (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,且是锐角三角形,求实数的取值范围. 【答案】(I);(II). 【解析】 试题分析:(Ⅰ)由已知及三角函数中的恒等变换应用得,从而可求得,即可解得的大小;(Ⅱ)由已知得,由是锐角三角形,,可求得的取值范围,即可解得实数的取值范围. 试题解析: (Ⅰ) 由题意得 (Ⅱ) 为锐角三角形,且 . 考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 18.(本题满分12分) 如图,的外接圆的半径为,所在的平面,,,,且,. (1)求证:平面平面. (2)试问线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)答案详见解析;(2)存在,且. 【解析】 试题分析:(1)由已知中CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD,易得BE⊥平面ABC,则BE⊥AB,由BE=1,,易得AB是⊙O的直径,则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE;(2 )方法一:过点M作MN⊥CD于N,连接AN,作MF⊥CB于F,连接AF,可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角,设MN=x,则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,我们可以构造关于x的方程,解方程即可求出x值,进而得到点M的位置.方法二:建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量(含参数λ),由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,根据向量夹角公式,我们可以构造关于λ的方程,解方程即可得到λ值,进而得到点M的位置. 试题解析:(1)∵CD ⊥平面ABC,BE//CD ∴ BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB ∵BE=1, ∴ , 从而 ∵⊙的半径为,∴AB是直径, ∴AC⊥BC 又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD 平面BCDE,∴平面ADC平面BCDE (2)方法1: 假设点M存在,过点M作MN⊥CD于N,连结AN,作MF⊥CB于F,连结AF ∵平面ADC平面BCDE, ∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x,计算易得,DN=,MF= 故 解得:(舍去) ,11分 故,从而满足条件的点存在,且 方法2:建立如图所示空间直角坐标系C—xyz, 则:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),O(0,0,0),则 易知平面ABC的法向量为,假设M点存在,设,则,再设, 即,从而…10分 设直线BM与平面ABD所成的角为,则: 解得,其中应舍去,而故满足条件的点M存在,且点M的坐标为 考点:1、面面垂直的判定;2、直线和平面所成的角. 19.在平面直角坐标系xOy中,已知向量,设,向量. (1)若,求向量与的夹角; (2)若 对任意实数都成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(1)根据向量夹角公式得,再将代入得,即得向量与的夹角为.(2 )先根据向量的模化简得,分类变量得,根据恒成立条件得,解不等式得实数的取值范围 试题解析:解:(1)由题意, , , 所以 , , 设向量与的夹角为, 所以. 因为,即,所以. 又因为,所以,即向量与的夹角为. (2)因为对任意实数都成立,而, 所以,即任意实数都成立. . 因为,所以任意实数都成立. 所以任意实数都成立. 因为,所以任意实数都成立. 所以,即, 又因为,所以 20.如图,已知四棱锥的底面的菱形,,点是边的中点,交于点, (1)求证:; (2)若的大小; (3)在(2)的条件下,求异面直线与所成角的余弦值。 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 试题分析:(1)因为平面,所以是 在平面 内的射影,要证 ,只要证,连结,由题设易知三角形为正三角形,而是其边 上的中线,所以. (2)由(1)知, ,而且 ,可以发现为二面角的平面角,再利用直角三角形求其大小; (3)取 中点 ,连结易证 , 与 所成的角就是 与 的成的角;先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解. 试题解析:解答一:(1)在菱形中,连接则是等边三角形。 点是边的中点 平面 是斜线在底面内的射影 (2) 菱形中, 又平面,是在平面内的射影 为二面角的平面角 在菱形中,,由(1)知,等边三角形 点是边的中点,与互相平分 点是的重心 又在等边三角形中, 所以在中, 二面角的大小为. (3)取中点,连结, 则 与所成角与所成角 连结 平面,、平面 在中, 在中, 在中, 由(2)可知, 设与所成的角为 则 所以异面直线、所成角的余弦值为 解法二:(1)同解法一; (2)过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系 设平面的一个法向量为 则,即 不妨设 二面角的大小为 (3)由已知,可得点 即异面直线所成角的余弦值为 考点:1、三垂线定理;2、二面角及其平面角;3、异面直线所成的角. 21.已知数列的前项和满足: . (1)数列的通项公式; (2)设,且数列的前项和为,求证: . 【答案】(1)(2)见解析 【解析】试题分析:(1)根据当时, ,得到数列的递推关系式,再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式;(2)将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为,最后利用裂项相消法求和得. 试题解析:(Ⅰ)解:当时, ,所以, 当时, ,即, , , 所以数列是首项为,公比也为的等比数列, 所以. (Ⅱ)证明: . 由, 所以, 所以. 因为,所以,即. 点睛:给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. 22.已知函数. (1)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围; (2)设是函数的两个极值点,若,求的最小值. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(1)函数存在单调递减区间,等价于在 上有解,即在上有解,根据实根分布可得解不等式可得实数的取值范围;(2)为两根,所以代入消化简得.令,转化研究函数最小值,先根据,确定自变量取值范围: ,再利用导数研究函数单调性: 在上单调递减,进而确定函数最小值. 试题解析:(Ⅰ)因为, 所以, 又因为在上有解, 令,则, 只需 解得即. (Ⅱ)因为,令,即, 两根分别为,则 又因为 . 令,由于,所以. 又因为, , 即即, 所以,解得或,即. 令, , 所以在上单调递减, . 所以的最小值为. 点睛:导数与函数的单调性 (1)函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果,则在该区间为增函数;如果,则在该区间为减函数. (2)函数单调性问题包括:①求函数的单调区间或存在单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;②利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法.查看更多