数学(理)卷·2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考(2017

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数学(理)卷·2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第五次月考(2017

南昌二中2017~2018学年度上学期第五次考试 高三数学(理)试卷 出题人:徐 欢 审题人:张 婷 一、选择题(每小题5分,共60分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的选项填涂在答题卡上)‎ ‎1.已知集合, ,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知(是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 若、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若则 D. 若,则 ‎4.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项的和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 若,且,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.是所在平面内一点, ,则是点在内部(不含边界)的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎7. 已知的三个内角的大小依次成等差数列,角的对边分别是,并且函数的值域是,则的面积是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. 设, , ,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时,.若关于的方程(),有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11. 已知函数是定义在的可导函数, 为其导函数,当且 时, ,若曲线在处的切线的斜率为,则 ( )‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎12.已知为常数,函数有两个极值点,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题(每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸的相应位置上)‎ ‎13. 在等比数列中, ,则__________.‎ ‎14. 在平面内,,若动点满足,则的最小值是__________.‎ ‎15. 已知区域,则圆与区域有公共点,则实数的取值范围是__________.‎ ‎16. 在三棱锥中, 是边长为3的等边三角形, ,二面角的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为__________.‎ 三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ 17. ‎(本题满分10分)在中,内角,,的对边分别为,,,已知 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,且是锐角三角形,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分) 如图,的外接圆的半径为,所在的平面,‎ ‎,,,且,.‎ ‎(1)求证:平面平面.‎ ‎(2)试问线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置,若不存在,请说明理由.‎ ‎19. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量,设,向量.‎ ‎(1)若,求向量与的夹角;‎ ‎(2)若 对任意实数都成立,求实数的取值范围.‎ ‎20. (本题满分12分)如图,已知四棱锥的底面的菱形,,点是边的中点,交于点, ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若的大小;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求异面直线与所成角的余弦值。‎ ‎21. (本题满分12分)已知数列的前项和满足: .‎ ‎(1)数列的通项公式;‎ ‎(2)设,且数列的前项和为,求证: .‎ ‎22. (本题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设是函数的两个极值点,若,求的最小值.‎ 南昌二中2017~2018学年度上学期第五次考试 高三数学(理)试卷参考答案 ‎1.已知集合, ,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎2.已知(是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】, ‎ ‎, 的共轭复数对应的点的坐标是, 对应的点在第二象限,故选B.‎ ‎3.若、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若则 D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A,由可得∥或与异面,故A不正确;‎ 对于B,由可得与的位置关系有相交、平行、在内三种,故B不正确;‎ 对于C,由可得与的位置关系不确定,故C不正确;‎ 对于D,由,设经过的平面与相交于直线,则∥,又因为,故,又因为,所以,故D正确.‎ 故选D.‎ ‎4.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项的和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以等差数列的公差 ,通项公式为 ‎ 则其前项和为 ‎ 则数列的前项的和为 故选A ‎5.若,且,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】(1)∵,且,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,故的最小值为64,故选D.‎ 点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.‎ ‎6.是所在平面内一点, ,则是点在内部(不含边界)的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】若,点在内部,则,反之不成立,例如时,点为边的中点, 是点在内部,(不含边界)的必要不充分条件,故选B.‎ ‎7.已知的三个内角的大小依次成等差数列,角的对边分别是,并且函数的值域是,则的面积是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵在C中,,角 依次成等差数列, ,解得 ,‎ 函数的值域是,即函数的最小值 ‎ 则的面积 ‎ 故选A ‎8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知,几何体为下面一个直三棱柱,上面一个三棱锥 三棱柱的底面面积为: ,侧面积为: ;‎ 三棱锥的侧面积为: .‎ 该几何体的表面积是.‎ 故选D.‎ 点睛:三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.‎ ‎9.设, , ,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是减函数,所以,又是上的增函数,故,综上,故选C.‎ 点睛:利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.‎ ‎10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时,.若关于的方程(),有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:作出的图象如下,‎ 又∵函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,‎ 且关于x的方程, a,b∈R有且仅有6个不同实数根,‎ ‎∴x2+ax+b=0的两根分别为或;‎ 由韦达定理可得,‎ 若,则,即;‎ 若,则,即;‎ 从而可知或;‎ 故选C.‎ 考点:根的存在性及根的个数判断.‎ ‎11.已知函数是定义在的可导函数, 为其导函数,当且 时, ,若曲线在处的切线的斜率为,则 ( )‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当 且 时, ,可得:‎ ‎ 时, ‎ ‎ 时, ‎ 令 可得: 时, ; 时, ‎ 可得:函数在处取得极值, ‎ ‎ . 故答案为 ‎12.已知为常数,函数有两个极值点,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】求导得: .易得在点P(1,0)处的切线为.当时,直线与曲线交于不同两点(如下图),且,‎ ‎. .选D 点睛:比较函数值大小,一般作差,利用条件等量代换,将差转化为一元函数,‎ 再利用导数研究差函数单调性或最值,根据单调性或最值确定差的符号,即大小关系.‎ ‎13.在等比数列中, ,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意知等比数列的公比,‎ 故.‎ ‎14.在平面内,,若动点满足,则的最小值是__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由得三角形ABC为等边三角形,且边长为 ,以AC所在直线为x轴,AC中点为坐标原点建系,则 ,‎ 因此 ,所以 ‎ ‎15.已知区域,则圆与区域有公共点,则实数的取值范围是__________.‎ 思路:先在坐标系中作出区域,圆的圆心为,半径为,所以只需确定圆心的取值范围即可,通过左右平移圆可观察到圆与直线和相切是取值的临界条件。当圆与相切时,则,由圆心位置可得;当圆与相切时,‎ ‎,所以 ‎ 答案:‎ ‎16.在三棱锥中, 是边长为3的等边三角形, ,二面角的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得:球心O在过底面的中心G的垂直底面的直线上,又二面角的大小为120°,取AB的中点为M,SB的中点为N,故,又,过M做MH=GO,且MH垂直底面,所以, ,故球的半径为,所以球的表面积为 17. 在中,内角,,的对边分别为,,,已知 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,且是锐角三角形,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I);(II). ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)由已知及三角函数中的恒等变换应用得,从而可求得,即可解得的大小;(Ⅱ)由已知得,由是锐角三角形,,可求得的取值范围,即可解得实数的取值范围.‎ 试题解析: (Ⅰ) 由题意得 ‎(Ⅱ) ‎ 为锐角三角形,且 ‎.‎ 考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.‎ ‎18.(本题满分12分) 如图,的外接圆的半径为,所在的平面,,,,且,.‎ ‎(1)求证:平面平面.‎ ‎(2)试问线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)答案详见解析;(2)存在,且.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由已知中CD⊥⊙O所在的平面,BE∥CD,易得BE⊥平面ABC,则BE⊥AB,由BE=1,,易得AB是⊙O的直径,则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE;(2‎ ‎)方法一:过点M作MN⊥CD于N,连接AN,作MF⊥CB于F,连接AF,可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角,设MN=x,则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,我们可以构造关于x的方程,解方程即可求出x值,进而得到点M的位置.方法二:建立如图所示空间直角坐标系C-xyz,求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量(含参数λ),由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为,根据向量夹角公式,我们可以构造关于λ的方程,解方程即可得到λ值,进而得到点M的位置.‎ 试题解析:(1)∵CD ⊥平面ABC,BE//CD ‎∴ BE⊥平面ABC,∴BE⊥AB ‎∵BE=1, ∴ ,‎ 从而 ‎∵⊙的半径为,∴AB是直径,‎ ‎∴AC⊥BC 又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACD 平面BCDE,∴平面ADC平面BCDE ‎(2)方法1:‎ 假设点M存在,过点M作MN⊥CD于N,连结AN,作MF⊥CB于F,连结AF ‎∵平面ADC平面BCDE,‎ ‎∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x,计算易得,DN=,MF=‎ 故 ‎ 解得:(舍去) ,11分 故,从而满足条件的点存在,且 方法2:建立如图所示空间直角坐标系C—xyz,‎ 则:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),O(0,0,0),则 易知平面ABC的法向量为,假设M点存在,设,则,再设,‎ 即,从而…10分 设直线BM与平面ABD所成的角为,则:‎ 解得,其中应舍去,而故满足条件的点M存在,且点M的坐标为 考点:1、面面垂直的判定;2、直线和平面所成的角.‎ ‎19.在平面直角坐标系xOy中,已知向量,设,向量.‎ ‎(1)若,求向量与的夹角;‎ ‎(2)若 对任意实数都成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据向量夹角公式得,再将代入得,即得向量与的夹角为.(2‎ ‎)先根据向量的模化简得,分类变量得,根据恒成立条件得,解不等式得实数的取值范围 试题解析:解:(1)由题意, , ,‎ 所以 , ,‎ 设向量与的夹角为, ‎ 所以.‎ 因为,即,所以. ‎ 又因为,所以,即向量与的夹角为. ‎ ‎(2)因为对任意实数都成立,而,‎ 所以,即任意实数都成立. . ‎ 因为,所以任意实数都成立.‎ 所以任意实数都成立. ‎ 因为,所以任意实数都成立.‎ 所以,即, ‎ 又因为,所以 ‎20.如图,已知四棱锥的底面的菱形,,点是边的中点,交于点, ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若的大小;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求异面直线与所成角的余弦值。‎ ‎【答案】(1)(2)(3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)因为平面,所以是 在平面 内的射影,要证 ,只要证,连结,由题设易知三角形为正三角形,而是其边 上的中线,所以.‎ ‎(2)由(1)知, ,而且 ,可以发现为二面角的平面角,再利用直角三角形求其大小;‎ ‎(3)取 中点 ,连结易证 , 与 所成的角就是 与 的成的角;先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解.‎ 试题解析:解答一:(1)在菱形中,连接则是等边三角形。‎ 点是边的中点 平面 是斜线在底面内的射影 ‎(2) 菱形中,‎ 又平面,是在平面内的射影 为二面角的平面角 在菱形中,,由(1)知,等边三角形 点是边的中点,与互相平分 点是的重心 又在等边三角形中,‎ 所以在中,‎ 二面角的大小为.‎ ‎(3)取中点,连结,‎ 则 与所成角与所成角 连结 平面,、平面 在中,‎ 在中,‎ 在中,‎ 由(2)可知,‎ 设与所成的角为 则 所以异面直线、所成角的余弦值为 解法二:(1)同解法一;‎ ‎(2)过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系 设平面的一个法向量为 则,即 不妨设 二面角的大小为 ‎(3)由已知,可得点 即异面直线所成角的余弦值为 考点:1、三垂线定理;2、二面角及其平面角;3、异面直线所成的角.‎ ‎21.已知数列的前项和满足: .‎ ‎(1)数列的通项公式;‎ ‎(2)设,且数列的前项和为,求证: .‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】试题分析:(1)根据当时, ,得到数列的递推关系式,再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式;(2)将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为,最后利用裂项相消法求和得.‎ 试题解析:(Ⅰ)解:当时, ,所以, ‎ 当时, ,即, , , ‎ 所以数列是首项为,公比也为的等比数列, ‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)证明: . ‎ 由, ‎ 所以, ‎ 所以. ‎ 因为,所以,即.‎ 点睛:给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设是函数的两个极值点,若,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)函数存在单调递减区间,等价于在 上有解,即在上有解,根据实根分布可得解不等式可得实数的取值范围;(2)为两根,所以代入消化简得.令,转化研究函数最小值,先根据,确定自变量取值范围: ,再利用导数研究函数单调性: 在上单调递减,进而确定函数最小值.‎ 试题解析:(Ⅰ)因为,‎ 所以, ‎ 又因为在上有解, ‎ 令,则,‎ 只需 ‎ 解得即. ‎ ‎(Ⅱ)因为,令,即,‎ 两根分别为,则 ‎ 又因为 ‎. ‎ 令,由于,所以. ‎ 又因为, ,‎ 即即,‎ 所以,解得或,即.‎ 令,‎ ‎,‎ 所以在上单调递减, ‎ ‎. ‎ 所以的最小值为.‎ 点睛:导数与函数的单调性 ‎(1)函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果,则在该区间为增函数;如果,则在该区间为减函数.‎ ‎(2)函数单调性问题包括:①求函数的单调区间或存在单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;②利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法.‎
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