2009年高考试题—数学文（辽宁卷）解析版

2009年高考试题—数学文（辽宁卷）解析版

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数学（文史类）‎ 一、 选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合M＝﹛x|－3＜x5﹜,N＝﹛x|x＜－5或x＞5﹜，则MN＝‎ ‎(A) ﹛x|x＜－5或x＞－3﹜ (B) ﹛x|－5＜x＜5﹜‎ ‎(C) ﹛x|－3＜x＜5﹜ (D) ﹛x|x＜－3或x＞5﹜‎ ‎【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.‎ ‎【答案】A ‎（2）已知复数，那么＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】＝‎ ‎【答案】C ‎(3)已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝‎ ‎（A）－2 （B）－ （C） （D）2‎ ‎【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－‎ ‎【答案】B ‎（4）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝‎ ‎（A） （B）2 （C）4 （D）12‎ ‎【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴‎ ‎【答案】B ‎（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 ‎（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25‎ ‎【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°＝R ‎ 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.‎ ‎【答案】C ‎(6) 已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23) 且3＋log23＞4‎ ‎ ∴＝f(3＋log23)‎ ‎ ＝‎ ‎【答案】A ‎(7) 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C ‎ 的方程为 ‎（A） (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ ‎【答案】B ‎（8）已知，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】‎ ‎ ＝＝‎ ‎【答案】D ‎（9）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 ‎（A） （B） （C） （D） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 ‎ 因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝‎ ‎ 取到的点到O的距离大于1的概率为 ‎【答案】B ‎(10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 ‎（A）A＞0,V＝S－T ‎ (B) A＜0,V＝S－T ‎ (C) A＞0, V＝S＋T ‎（D）A＜0, V＝S＋T ‎【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0‎ ‎ 支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T ‎【答案】C ‎（11）下列4个命题 ‎ ‎ ㏒1/2x>㏒1/3x ㏒1/2x w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ㏒1/3x 其中的真命题是 ‎（A） （ B） （C） （D）‎ ‎【解析】取x＝,则㏒1/2x＝1,㏒1/3x＝log32＜1,p2正确 ‎ 当x∈(0,)时,()x＜1,而㏒1/3x＞1.p4正确 ‎【答案】D ‎（12）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ‎（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）‎ ‎【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)‎ ‎ ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 ‎ 得|2x－1|＜ 解得＜x＜‎ ‎【答案】A ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数学（文科类）‎ 第II卷 二－填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.‎ ‎【解析】平行四边形ABCD中,‎ ‎ ∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)‎ ‎ 即D点坐标为(0,－2)‎ ‎【答案】（0，－2）‎ ‎（14）已知函数的图象如图所示，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则 ＝ ‎ ‎【解析】由图象可得最小正周期为 ‎ ∴T＝ Þ ω＝‎ ‎【答案】‎ ‎（15）若函数在处取极值，则 ‎ ‎【解析】f’(x)＝‎ ‎ f’(1)＝＝‎0 Þ a＝3‎ ‎【答案】3‎ ‎（16）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。‎ ‎ 则该几何体的体积为 ‎ ‎【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,‎ ‎ 体积等于×2×4×3＝4‎ ‎【答案】4‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 ‎ （1）求{}的公比q；‎ ‎ （2）求－＝3，求 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（17）解：‎ ‎ （Ⅰ）依题意有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ 由于 ，故 ‎ ‎ ‎ 又，从而 5分 ‎ （Ⅱ）由已知可得 ‎ 故 ‎ 从而 10分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（18）解：‎ ‎ 在中，＝30°，＝60°－＝30°，‎ ‎ 所以CD＝AC＝0.1‎ ‎ 又＝180°－60°－60°＝60°，‎ ‎ 故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 ‎ 在中，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 即AB＝‎ ‎ 因此，‎ ‎ 故B、D的距离约为‎0.33km。 12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。‎ ‎（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；‎ ‎（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（19）解 ‎ （Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.‎ ‎ 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，‎ ‎ 所以MG⊥CD，MG＝2，.‎ ‎ 因为平面ABCD⊥平面DCEF，‎ ‎ 所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.‎ ‎ 所以 ……6分 ‎（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， …..8分 则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，‎ 由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.‎ 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，‎ 所以AB∥EN.‎ 又AB∥CD∥EF,‎ 所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：‎ ‎ 甲厂 （1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；‎ （2） 由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。‎ 甲 厂 ‎ 乙 厂 ‎ 合计 优质品 ‎ 非优质品 ‎ 合计 附： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为； ……6分 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 ‎360‎ ‎320‎ ‎680‎ 非优质品 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎ ……8分 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 ……12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。‎ （I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；‎ （II） 证明：当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（21）解：‎ ‎ （Ⅰ）.有条件知，‎ ‎ ，故. ………2分 ‎ 于是.‎ ‎ 故当时，＜0；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 当时，＞0.‎ ‎ 从而在，单调减少，在单调增加. ………6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，‎ 最小值为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 从而对任意，，有. ………10分 ‎ 而当时，.‎ ‎ 从而 ………12分 ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。‎ （1） 求椭圆C的方程；‎ （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(22)解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。‎ 所以椭圆方程为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以 ‎，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ‎，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎。‎ 所以直线EF的斜率。‎ 即直线EF的斜率为定值，其值为。 　　 ．．．．．．．12分