2019-2020学年江西省赣州市高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年江西省赣州市高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省赣州市高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ）‎ A．3 B．5 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由题意确定抽样比，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意该单位共有职工人，‎ 用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为，‎ 所以应抽查的老年人的人数为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型.‎ ‎2．已知向量，，且，则m＝（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．﹣2 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用平行的公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由,与可得 ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量平行的公式用法,属于基础题型.‎ ‎3．点到原点的距离为（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据空间坐标系中点与点之间的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 点到原点的距离 ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中两点间的距离公式,属于基础题型.‎ ‎4．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是( )‎ A．，且甲比乙成绩稳定 B．，且乙比甲成绩稳定 C．，且甲比乙成绩稳定 D．，且乙比甲成绩稳定 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由茎叶图可得，，所以，从茎叶图中看出甲的成绩比乙更集中（也可计算 ‎），所以甲的方差比乙的方差小，故甲比乙的成绩更稳定，所以选A.‎ ‎【考点】茎叶图与平均数.‎ ‎5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在直线CC1上，直线OP与B1D1所成的角为，则为（　　）‎ A．1 B． C． D．变化的值 ‎【答案】A ‎【解析】证明平面得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 易知：，，故平面，‎ 平面，故，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线夹角，证明平面是解题的关键.‎ ‎6．已知两条不同的直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n⫋α，则m∥n B．若m⊥α，m∥n，则n⊥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⫋β且 m⊥n，则α∥β ‎【答案】B ‎【解析】依次判断每个选项：m∥n，或异面，错误；m∥n，或异面或相交，错误；则α∥β，或相交，故错误；正确，得到答案.‎ ‎【详解】‎ A. 若m∥α，n⫋α，则m∥n，或异面，错误；‎ B. 若m⊥α，m∥n，则n⊥α，正确；‎ C. 若m∥α，n∥α，则m∥n，或异面或相交，错误；‎ D. 若m⊥α，n⫋β且 m⊥n，则α∥β，或相交，故错误；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力.‎ ‎7．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为，其内切球的表面积为，且，则（）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由空间几何体的三视图可得此柱体为底面直径与高相等的圆柱，‎ 设底面圆的半径为，则此柱体内切球的半径为，‎ 由圆柱体表面积及球的表面积公式可得：，，运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由已知可得：此柱体为底面直径与高相等的圆柱，‎ 设底面圆的半径为，则高为,‎ 则，‎ 又此柱体内切球的半径为，则，‎ ‎ 则，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察了空间几何体的三视图、圆柱体表面积及球的表面积的运算，属中档题.‎ ‎8．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　）‎ A．44号 B．294号 C．1196号 D．2984号 ‎【答案】B ‎【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.‎ ‎9．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB＝（2c﹣b）cosA，则角A的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理得到，化简得到得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则.‎ ‎，‎ 因为，故，又，故.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．24π ‎【答案】B ‎【解析】由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ 易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,故画出如图所示鳖臑.‎ 设长方体体对角线即外接球直径为则 ,‎ 故外接球体积. 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了长方体中三棱锥的外接球问题,注意体对角线等于外接球直径即可.属于基础题型.‎ ‎11．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则直线PA的方程为，‎ 直线PB的方程为，‎ 点均在两直线上，故，‎ 直线AB的方程为3x+4y=4.‎ 点到直线AB的距离，‎ 则.‎ 本题选择D选项.‎ ‎12．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E，若SA＝3，，则△SED的面积的最小值为（　　）‎ A．9 B． C．7 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，设，，根据三角关系得到，，利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：设，，以AD为直径的圆过点E，则.‎ SA⊥底面ABCD，底面ABCD， 则，而，‎ 故平面，故.‎ 又，故.‎ 又 ‎ ‎.‎ 故，即.‎ 当，即时等号成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中面积的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ 二、填空题 ‎13．已知正六棱柱的高为2，底面边长为1，则该正六棱柱表面积为_____．‎ ‎【答案】12+3‎ ‎【解析】分别求解底面的正六边形面积与侧面的六个矩形面积求和即可.‎ ‎【详解】‎ 正六棱柱的高为2,底面边长为1,‎ 故正六棱柱的底为由6个全等的边长为1的等边三角形构成．‎ 且正六棱柱的侧面积为S侧＝6×1×2＝12, ‎ 正六棱柱的底面积为S底＝23,‎ 所以圆柱的表面积为：S表＝12+3,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正六棱柱的表面积问题,注意正六边形转换为六个正三角形进行面积的求解.属于基础题型.‎ ‎14．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．‎ ‎【详解】‎ 由图知，（0.035++0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得＝0.03；‎ ‎∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，属于基础题.‎ ‎15．设的内角的对边分别为，且，则________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：由及正弦定理，得．又因为，所以．由余弦定理得：，所以．‎ ‎【考点】正余弦定理．‎ ‎16．如图，在Rt△ABC中，，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，使得二面角B﹣CD﹣A为直二面角，则此时线段AB的长度为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过B作BE垂直于CD的延长线交于点E，连接AE，在△ACE中由余弦定理得AE，再利用勾股定理计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图，过B作BE垂直于CD的延长线交于点E，连接AE，‎ 由面面垂直的性质定理得BE⊥平面ACE，又平面ACE，则BE⊥AE，‎ 因为在Rt△ABC中，，D是斜边AB的中点，‎ 则∠DCA＝∠DAC＝60°，∠BDE＝60°，所以BE，DE，CE，‎ 在△ACE中由余弦定理： ，故AE，‎ 所以AB.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何长度的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．‎ ‎（1）若向量与的夹角为θ，求cosθ；‎ ‎（2）当m为何值时，向量m与垂直．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】(1)利用三点的坐标求得与,再利用求解即可.‎ ‎(2)由题,代入向量坐标求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,且与的夹角为θ,‎ ‎∴；‎ ‎（2）,‎ ‎∴,且,‎ ‎∵与垂直,‎ ‎∴,解得m．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的坐标表示方法与求角和数量积的公式等.属于基础题型.‎ ‎18．如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面, ,分别是的中点.‎ ‎(1) 求证:. ‎ ‎(2) 求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）由线面垂直的判定定理先证明平面，进而可得出；‎ ‎（2）先求出到平面的距离，再由三棱锥的体积公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 因为,,‎ 所以且,‎ 所以平面.‎ 又平面,所以. ‎ ‎(2) 因为,平面平面,平面平面, 平面,‎ 所以平面.又, 是的中点,‎ 所以,到平面的距离为,‎ 又. ‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线线垂直以及三棱锥的体积公式，由线面垂直的判定定理即可证明线线垂直；熟记棱锥体积公式即可求出体积，属于常考题型.‎ ‎19．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【答案】（1）A；（2）5.‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsinsinAsinB，化简得到答案.‎ ‎（2）根据面积公式得到bc＝6，利用余弦定理得到b+c＝5，得到周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），∴由正弦定理可得sinBsinsinAsinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴cossinA，即cos2sincos，‎ ‎∵∈（0，），cos0，∴sin，∴，可得A．‎ ‎（2），A，△ABC的面积为bcsinAbc，解得bc＝6，‎ ‎∵由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得7＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣18，‎ ‎∴解得b+c＝5，∴△ABC的周长为5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E、F分别为线段A1C1、AB、A1A的中点，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°．求证：‎ ‎（1）DE∥平面BCC1B1；‎ ‎ （2）EF⊥平面B1CE．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）取B1C1的中点M，连接D1M，BM，证明四边形DMBE是平行四边形，得到证明.‎ ‎（2）根据勾股定理得EF⊥CE，根据三角函数关系得到EF⊥B1E，得到证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：取B1C1的中点M，连接D1M，BM，由题意得DM∥A1B1，‎ ‎∴DM∥AB，且DM是△A1B1C1的中位线，DMAB＝BE，‎ 所以四边形DMBE是平行四边形，‎ ‎∴DE∥BM，又DE⊈面BCC1B1，BM⊂面BCC1B1‎ ‎∴DE∥平面BCC1B1．‎ ‎（2）由题意设AC＝2，则AB＝2，AE，AF＝1，‎ 在△AEF中，EF，‎ 而CEAB，Rt△ACF中，CF，‎ ‎∴△CEF中CE2+EF2＝CF2，由勾股定理得，EF⊥CE，‎ tan∠FEC，tan∠BEB1，所以tan∠FEC•tan∠BEB1＝1，‎ 所以EF⊥B1E，又CE∩EB1＝E，CE⊆平面B1CE，B1E⊆平面B1CE，‎ ‎∴EF⊥平面B1CE．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，线面垂直，意在考查学生的空间想象能力和推理能力.‎ ‎21．画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点．某师傅制作了一种新造型糖画，为了合理定价，先进行试销售，其单价x（元）与销量y（个）相关数据如表：‎ 单价x（元）‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ 销量y（个）‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）若该新造型糖画每个的成本为5.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求出的线性回归方程确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）‎ 参考公式：线性回归方程yx中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：．参考数据：．‎ ‎【答案】（1）y＝﹣3.2x+39.4（2）9元 ‎【解析】（1）利用公式直接计算得到答案.‎ ‎（2）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），根据二次函数单调性得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，（12+11+9+7+6）＝9，‎ 则3.2，‎ ‎9﹣（﹣3.2）×9.5＝39.4，‎ ‎∴y关于x的线性相关方程为y＝﹣3.2x+39.4.‎ ‎（2）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），其中x≥5.7，‎ 则y＝﹣3.2x2+57.64x﹣224.58，‎ ‎∴对称轴x9（元）．‎ 故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为9元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程的计算，求最值，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎22．已知圆C的圆心在x轴上，且经过点．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若点，直线l平行于OQ（O为坐标原点）且与圆C相交于M，N两点，直线QM、QN的斜率分别为kQM、kQN，求证：kQM+kQN为定值．‎ ‎【答案】（1）x2+y2＝4；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）设圆心C（a，0），半径为r，代入数据计算得到答案.‎ ‎（2）设直线l方程y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程利用韦达定理得到x1+x2＝﹣b，x1x2，代入斜率公式化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵圆C的圆心在x轴上，∴设圆心C（a，0），半径为r，‎ ‎∵圆经过A（﹣1，），B（，﹣1），‎ ‎∴，解得a＝0，r＝2．‎ ‎∴圆C的方程为x2+y2＝4．‎ ‎（2）∵点，直线l平行于OQ，∴kOQ＝kl＝1，‎ 设直线l方程y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立，得，‎ ‎∴，，，‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ ‎．‎ ‎∴为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎