2018-2019学年湖北省黄石市高二上学期期末质量监测考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省黄石市高二上学期期末质量监测考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省黄石市高二上学期期末质量监测考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“，使得”的否定是（ ）‎ A．“，使得”‎ B．“，使得”‎ C．“，使得”‎ D．“，使得”‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用特称命题的否定为全称命题即可．‎ ‎【详解】‎ 命题“，使得”的否定是“，使得”．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查特称命题的否定，属基础题．‎ ‎2．下列选项错误的是（ ）‎ A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”‎ B．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 C．在△ABC中，“∠A＞∠B”是“sinA＞sinB”的充要条件 D．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题 ‎【答案】D ‎【解析】根据四种命题的定义，可以判断A的真假；由充要条件的定义，判断B，C的真假；根据两个命题之间的真假关系即可判断D的真假．‎ ‎【详解】‎ 对于选项Ａ，“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1，故选项A为真命题；‎ 对于选项B，由“x2﹣3x+2＞0”得，x＞2或x＜1；故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选项B为真命题；‎ 对于选项C，在△ABC中，“∠A＞∠B”，则边a＞边b，由正弦定理知，sinA＞sinB ‎；反之，也成立，故在△ABC中，“∠A＞∠B”是“sinA＞sinB”的充要条件,故C为真命题；‎ 对于选项D，在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题可能为真命题，也可能为假命题．故D为假命题；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查四种命题的定义、性质以及真假关系，充分、必要条件的判断，属于基础题．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】循环依次为 结束循环,输出选C.‎ ‎4．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为 A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图得：‎ ‎∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，‎ ‎∴65＝60+y，解得y＝5，‎ ‎∵平均值也相等，‎ ‎∴，‎ 解得x＝3．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5．已知双曲线的离心率为2，则的两条渐近线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，那么双曲线的渐近线方程是，故选A.‎ ‎6．袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2，3，4，6四个数，现从袋中随机取出两个球，则两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝6，利用列举法求出两球上数字之差的绝对值不小于2包含的基本事件有4个，由此能求出两球上数字之差的绝对值不小于2的概率．‎ ‎【详解】‎ 现从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝6，‎ 两球上数字之差的绝对值不小于2包含的基本事件有：‎ ‎（2，4），（2，6），（3，6），（4，6），共4个，‎ ‎∴两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为p＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题．‎ ‎7．对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件.‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 充分性：当时，有、或者、两种情况.‎ 若、，方程可化为，此时该曲线不是椭圆,故充分性不成立；‎ 必要性：方程可化为，若此时该曲线为椭圆，则满足、，则有,故必要性成立，‎ 故选B.‎ ‎8．从编号为01，02，……，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次选取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0812‎ ‎1463‎ ‎0872‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．14 C．28 D．43‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据随机数表规则，选出来的五个个体的编号必须在01至50之间，并且不能有重复编号，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知选定的第一个数为65（第1行的第5列和第6列），按由左到右选取两位数（大于50的跳过、重复的不选取），‎ 前5个个体编号分别为08、12、14、43、28．‎ 故选出来的第5个个体的编号为28，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用随机数表选取样本的方法，解题时要熟练掌握基本概念，注意随机数表的具体要求，排除重复数字，属于基础题．‎ ‎9．若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为( )‎ A．36 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】设则,即,又,故选B.‎ ‎10．已知命题：，双曲线1的离心率为；命题：若在边长为的正方形内任取一点，则的概率为．则下面结论正确的是（ ）‎ A．是假命题 B．是假命题 C．是假命题 D．是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】双曲线1为等轴双曲线，离心率为；利用几何概型中的面积比问题可把在边长为的正方形内任取一点，则的概率问题转化为半径为的圆面积的四分之一除以边长为的正方形的面积即可．‎ ‎【详解】‎ 对，双曲线1为等轴双曲线，其离心率为，所以命题是真命题；在边长为的正方形内任取一点，则的概率为，所以命题是真命题，所以是真命题，D选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题以双曲线的离心率及几何概型等知识为载体考查了命题真假的判断问题，属常考题．‎ ‎11．已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．‎ 详解：由双曲线方程可得，‎ 双曲线的右顶点为，渐近线方程为，即．‎ ‎∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴双曲线的方程为，‎ ‎∴双曲线的焦点为．‎ 又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，‎ 设点M到直线的距离为，到直线的距离为，则，‎ ‎∴．‎ 结合图形可得当三点共线时，最小，且最小值为点F到直线的距离．‎ 故选B．‎ 点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：‎ ‎（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；‎ ‎（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．‎ ‎12．设椭圆的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点，且满足，设为坐标原点，若，，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据向量共线定理及，，可推出，的值，再根据过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限），可推出，两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线的方程，即可求得点的坐标，从而可得，，三者关系，进而可得椭圆的离心率.‎ 详解：∵、、三点共线，‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴或 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限）‎ ‎∴，‎ ‎∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点 ‎∴直线的方程为为 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．‎ 二、填空题 ‎13．已知空间两点A（3，﹣2，1）、B（4，﹣5，2），则A、B两点间的距离为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用空间两点间的距离公式直接计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间两点间的距离公式，属基础题．‎ ‎14．某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的高级教师的人数为_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】根据分层抽样原理，计算应抽取的高级教师人数即可．‎ ‎【详解】‎ 根据分层抽样原理知，样本容量是38，则应抽取的高级教师人数为：‎ ‎3812．‎ 故答案为：12.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样方法的应用，属于基础题．‎ ‎15．已知具有线性相关关系的两个量之间的一组数据如表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.5‎ ‎6.7 ‎ 且回直线方程是，则的值为____．‎ ‎【答案】4.8‎ ‎【解析】求出数据中心，代入回归方程即可求出m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎2，．‎ ‎∴0.95×2+2.6，解得m＝4.8．‎ 故答案为4.8.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．‎ ‎16．已知双曲线的左右焦点为，.过作直线的垂线l，垂足为，l交双曲线的左支于点，若，则双曲线的离心率_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则直线的方程为代入双曲线渐近线方程得，由，即，可得，把点坐标代入双曲线方程，即，整理可得，即离心率，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了双曲线的简单性质，通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中和的关系是解题的关键，计算较复杂，根据题意将直线的方程代入双曲线渐近线方程，求出的坐标，进而求得的表达式，代入双曲线方程整理求得和的关系式，进而求得离心率.‎ 三、解答题 ‎17．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．‎ ‎（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2，3）（2）[1，2]‎ ‎【解析】（1）根据p∧q为真命题，所以p真且q真，分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时对应的x的取值范围，取交集，即可求出x的取值范围；‎ ‎（2）先分别求出命题p为真命题和命题q为真命题时，对应的集合，再根据充分、必要条件与集合之间的包含关系，即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当a＝1时，若命题p为真命题，则不等式x2﹣4ax+3a2＜0可化为x2﹣4x+3＜0，‎ 解得1＜x＜3；‎ 若命题q为真命题，则由x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3．‎ ‎∵p∧q为真命题，则p真且q真，‎ ‎∴实数x的取值范围是（2，3）‎ ‎（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，解得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，∴a＜x＜3a 设p：A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，q：B＝{x|2＜x＜3}‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，∴BA．‎ ‎∴，解得1≤a≤2‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，2]‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题的真假判断以及充分、必要条件与集合之间的包含关系应用，意在考查学生的转化能力与数学计算能力，属于中档题．‎ ‎18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，点M为BB1的中点．‎ ‎（1）求证：PB1⊥平面PAC；‎ ‎（2）求直线CM与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）先证明、即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出及平面的法向量的坐标，然后由公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB＝AD＝1，AA1＝2，‎ 点P为DD1的中点，点M为BB1的中点，得PC2＝2，PB12＝3，B1C2＝5，‎ ‎∴PC2+PB12＝B1C2，则PB1⊥PC，‎ 同理PB1⊥PA，又PA∩PC＝P，‎ ‎∴直线PB1⊥平面PAC；‎ ‎（2）解：以D为坐标原点，分别以DC，DA，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 由已知可得，C（1，0，0），M（1，1，1），A（0，1，0），P（0，0，1），‎ ‎，，，‎ 设平面CAP的一个法向量为，‎ 由，取z＝1，得．‎ 设直线CM与平面PAC所成角为θ，‎ 则．‎ ‎∴直线CM与平面PAC所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面垂直的判定及利用空间向量求线面角的问题，属常规考题．‎ ‎19．某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（2）求这50名问卷评分数据的中位数；‎ ‎（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率．‎ ‎【答案】（1）0.006；（2）76；（3）.‎ ‎【解析】（1）由即可求得；（2）设中位数为，由即可求得；（3）先分别求出、内的人数，再按古典概型的概率计算公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图，可得（0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028）×10＝1，‎ 解得a＝0.006．‎ ‎（2）由频率分布直方图，可设中位数为m，‎ 则有（0.004+0.006+0.0232）×10+（m﹣70）×0.028＝0.5，‎ 解得中位数m＝76．‎ ‎（3）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，‎ 在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．‎ 设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，‎ 则从[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：‎ ‎（a1，a2），（a1，B1），（a1，B2），（a1，B3），（a2，B1），‎ ‎（a2，B2），（a2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），‎ 其中2人评分都在[50，60）内的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共3种，‎ 故此2人评分都在[50，60）的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的应用，属常规考题．‎ ‎20．已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）抛物线定义知|，则 ，求得x0=2p，代入抛物线方程， ； （2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，‎ 当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率 ，直线BM的斜率 ， ．‎ 当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得 ，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,‎ 又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.‎ ‎(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.‎ 当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),‎ 则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.‎ 当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.‎ 设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).‎ 联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,‎ 所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.‎ 综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（1）求证：AB∥EF；‎ ‎（2）若PA＝PD＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）先证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，再由向量的夹角公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．‎ 又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．‎ 又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，‎ 所以AB∥EF． ‎ 解：（2）取AD中点G，连接PG，GB．‎ 因为PA＝PD，所以PG⊥AD．‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，‎ 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．‎ 在菱形ABCD中，因为AB＝AD，∠DAB＝60°，G是AD中点，‎ 所以AD⊥GB．‎ 如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．‎ 设PA＝PD＝AD＝2a，‎ 则G（0，0，0），A（a，0，0），．‎ 又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．‎ 所以，．‎ 所以，．‎ 设平面AFE的法向量为n＝（x，y，z），则有所以 令x＝3，则平面AFE的一个法向量为．‎ 因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．‎ 因为，‎ 所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为． ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的判定和性质及利用空间向量求面面的问题，属常规考题．‎ ‎22．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为MN，当l⊥x轴时，|MN|＝3．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）在x轴上是否存在一点P，使得当l变化时，总有PM与PN所在的直线关于x轴对称？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，P（4，0）．‎ ‎【解析】（1）由，即可求解；（2）转化为并结合韦达定理即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，‎ 所以椭圆C的标准方程：；‎ ‎（2）假设存在P（t，0），设直线l的方程：x＝my+1设M（x，y），N（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，y+y'，yy'，‎ 由题意得：kPM+kPN＝0，而kPM，kPN，‎ ‎∴0，∴2myy'+（1﹣t）（y+y'）＝0，即6m（4﹣t）＝0，m≠0，所以t＝4，‎ 即存在定点P（4，0），满足题中条件．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求法及椭圆中的定点问题，属中等难度题．‎