2014年高考试题——数学理（重庆卷）原卷版

2014年高考试题——数学理（重庆卷）原卷版

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（理工农医类） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）复平面内表示复数 (1 2 )ii 的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）对任意等比数列{}na ，下列说法一定正确的是 （A） 1 3 9,,a a a 成等比数列 （B） 2 3 6,,a a a 成等比数列 （C） 2 4 8,,aaa成等比数列 （D） 3 6 9,,a a a 成等比数列 （3）已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3x  ， 3.5y  ，则由该观测数 据算得的线性回归方程可能是 （A） 0.4 2.3yx （B） 2 2.4yx （C） 2 9.5yx   （D） 0.3 4.4yx   （4）已知向量 ( ,3)ak ， (1,4)b  ， (2,1)c  ，且(2 3 )a b c，则实数 k  （A） 9 2 （B）0 （C）3 （D）15 2 （5）执行如题（5）图所示的程序框图，若输出 k 的值为 6，则判断框内可填 入的条件是 （A） 1 2s  （B） 3 5s  （C） 7 10s  （D） 4 5s  （6）已知命题 :p 对任意 xR ，总有 20x  ; :q “ 1x  ”是“ 2x  ”的充 分不必要条件，则下列命题为真命题的是 （第5题图） 结束 输出k s=s∙ k k+1 k=k-1 否 是 k=9,s=1 开始 （A） pq （B） pq   （C） pq （D） pq (7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 为 （A）54 （B）60 （C）66 （D）72 （8）设 1F 、 2F 分别为双曲线 22 221( 0, 0)xy abab    的左右焦点，双曲线上存在一点 P 使 得 12| | | | 3PF PF b， 12 9| | | | 4PF PF ab，则该双曲线的离心率为 （A） 4 3 （B） 5 3 （C） 9 4 （D）3 （9）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则 同类节目不相邻的排法种数是 （A）72 （B）120 （C）144 （D）168 （10）已知 ABC⊿ 的内角 A , B , C 满足 1sin 2 sin( ) sin( ) 2A A B C C A B       ，面 积 S 满足12S，记 a ，b ， c 分别为 A , B ,C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 （A） ( ) 8bc b c （B） ( ) 16 2ab a b （C）6 12abc （D）12 24abc 二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填写在答题 卡相应位置上。 （ 11 ）设全集 { |1 10}U n N n    ， {1,2,3,5,8}A  , {1,3,5,7,9}B  , 则 ()UC A B  ________. (12)函数 2 2( ) log log (2 )f x x x 的最小值为___________. (13)已知直线 20ax y   与圆心为C 的圆 22( 1) ( ) 4x y a    相交于 A、B 两点，且 ABC⊿ 为等边三角形，则实数 a _________. 考生注意：（14）、（ 15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两 题给分。 （14）过圆外一点 P 作圆的切线 PA（A 为切点），再作割线 PBC 依次交圆于 B、C，若 6PA  ， 8AC  , 9BC  ，则 AB  _______. 俯视图左视图正视图 3 2 4 5 (15)已知直线l 的参数方程为 2 3 xt yt    （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos 0( 0,0 2 )          ，则直线l 与曲线 C 的公共点的极径   _________. (16)若不等式 2 1| 2 1| | 2 | 22x x a a      对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17 ）（本 小 题 满 分 13 分 ），（Ⅰ ） 小 问 5 分 ，（Ⅱ ） 小 问 8 分）已知函数 ( ) 3 sin( )( 0, )22f x x          的图象关于直线 3x  对称，且图象上相邻两个 最高点的距离为 . （Ⅰ）求 和 的值;（Ⅱ）若 32( ) ( )2 4 6 3f      ，求 3cos( )2   的值. （18）（本小题满分 13 分），（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）一盒中装有 9 张各写有一个数 字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上的数字是 3，从盒 中任取 3 张卡片. （Ⅰ）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； （Ⅱ） X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望. (注：若三个数 ,,abc满足 abc，则称b 为这三数的中位数) （19）（本小题满分 13 分），（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分）如题（19）图，四棱锥 P ABCD 中，底面是以 o 为中心的菱形， PO ABCD 底面 ， =2AB ， = 3BAD  ， M 为 BC 上一 点，且 1 2BM  ， MP AP . （Ⅰ）求 PO 的长； （Ⅱ）求二面角 A PM C的正弦值. O M D C BA P （20）（本小题满分 12 分），（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 3 分，（Ⅲ）小问 5 分）已知函数 22( ) ( , , )xxf x ae be cx a b c R    的 导 函 数 ()fx 为 偶 函 数 ， 且 曲 线 ()y f x 在点 (0, (0))f 处的切线的斜率为 4 c . （Ⅰ）确定 ,ab的值； （Ⅱ）若 3c  ，判断 ()fx的单调性； （Ⅲ）若 ()fx有极值，求c 的取值范围. （21）（本小题满分 12 分），（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）如题（21）图，设椭圆 22 221( 0)xy abab    的 左 、 右 焦 点 分 别 为 12,FF, 点 D 在 椭 圆 上 ， 1 1 2DF F F ， 12 1 ||22|| FF DF  ， 12DF F⊿ 的面积为 2 2 . （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆 在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的 半径. （ 22 ）（本 小 题 满 分 12 分 ），（Ⅰ ） 小 问 4 分 ，（Ⅱ ） 小 问 8 分 ） 设 1 1a  ， 2* 1 2 2 ( )n n na a a b n N      （Ⅰ）若 1b  ，求 23,aa及数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）若 1b  问：是否存在实数 c 使得 2 2 1nna c a  ，对所有 *nN 成立？证明你的结论 y xO D F2F1