2015年高考真题——理科数学（广东卷） 解析版

2015年高考真题——理科数学（广东卷） 解析版

一.选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1．若集合 { | ( 4)( 1) 0}M x x x= + + = ， { | ( 4)( 1) 0}N x x x= - - = ，则 MN= A． B． 1, 4 C． 0 D． 1,4 【答案】 A ． 【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题． 2．若复数  32z i i ( i 是虚数单位 )，则 z  A．32i B．32i C．23i D．23i 【答案】 D ． 【解析】因为  3 2 2 3z i i i    ，所以 z  23i ，故选 ． 【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题． 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A． xexy  B． xxy 1 C． x xy 2 12  D． 21 xy  【答案】 ． 【解析】令   xf x x e ，则  11fe，   111fe    即    11ff ，    11ff   ，所以 xy x e 既不是奇函数也不是偶函数，而 BCD 依次是奇函数、偶函数、 偶函数，故选 ． 【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题． 4．袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。从袋中任取 2 个 球，所 取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为 A．1 B. 21 11 C. 21 10 D. 21 5 【答案】 B ． 【解析】从袋中任取 2 个球共有 2 15 105C  种，其中恰好1个白球1个红球共有 11 10 5 50CC 种， 所以恰好1个白球1个红球的概率为 50 10=105 21 ，故选 ． 【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题． 5．平行于直线 012  yx 且与圆 522  yx 相切的直线的方程是 A． 052  yx 或 052  yx B. 052  yx 或 052  yx C. 052  yx 或 052  yx D. 052  yx 或 052  yx 【答案】 D ． 【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题． 6．若变量 x ， y 满足约束条件       20 31 854 y x yx 则 yxz 23  的最小值为 A． 5 31 B. 6 C. 5 23 D. 4 【答案】C ． 【解析】不等式所表示的可行域如下图所示， x y O A l 由 32z x y得 3 22 zyx   ，依题当目标函数直线l ： 经过 41, 5A  时，z 取 得最小值即 min 4 233 1 2 55z      ，故选C 【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题． 7．已知双曲线 ： 12 2 2 2  b y a x 的离心率 5 4e  ，且其右焦点  2 5,0F ，则双曲线 的方程 为 A． 134 22  yx B. 1916 22  yx C. 1169 22  yx D. 143 22  yx 【答案】 B ． 【解析】因为所求双曲线的右焦点为 且离心率为 5 4 ce a，所以 5c  ， 4a  ， 2 2 2 9b c a   所以所求双曲线方程为 22 116 9 xy，故选 ． 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题． 8．若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的取值 A．大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3 【答案】 ． 【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题． 第Ⅱ卷(共 110 分) 二.填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. (一)必做题(9～13 题) 9．在 4)1( x 的展开式中， x 的系数为 【答案】6 ． 【解析】由题可知       44 2 1 4 411 rr rrrr rT C x C x       ，令 4 12 r  解得 2r  ，所以展 开式中 x 的系数为  22 4 16C ，故应填入 6 ． 【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题． 10．在等差数列 na 中，若 2576543  aaaaa ，则 82 aa  = 【答案】10． 【解析】因为 na 是等差数列，所以 3 7 4 6 2 8 52a a a a a a a     ， 3 4 5 6 7 55 25a a a a a a      即 5 5a  ， 2 8 52 10a a a   ，故应填入 ． 【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题． 11．设 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 3a  ， 1sin 2B  ， 6C π ， 则b  【答案】1． 【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题． 12、某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560． 【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班 共写了 2 40 40 39 1560A  条毕业留言，故应填入 ． 【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题． 13、已知随机变量  服从二项分布  ,np ，若   30   ，  D 20 ，则 p  ． 【答案】 1 3 ． 【解析】依题可得   30E X np且    1 20D X np p   ，解得 1 3p  ，故应填入 ． 【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题． (二)选做题(14～15 题，考生从中选做一题) 14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为 24sin(2  ）π ，点 A 的极坐 标为 72 2, 4A   ，则点 到直线 的距离为 【答案】 52 2 ． 【解析】依题已知直线l ：2 sin 24  和点 72 2, 4A   可化为l ： 10xy   和  2, 2A  ，所以点 A 与直线l 的距离为    22 2 2 1 52 211 d     ，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题． 15.（几何证明选讲选作题）如图 1，已知 AB 是圆O 的直径， 4AB  ， EC 是圆O 的切线， 切点为C ， 1BC  ，过圆心O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则OD  图1 P O E C D A B 【答案】8 ． 【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题． 三.解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分. 16．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知向量 22,22m  ，  sin ,cosn x x ， 0, 2x  。 （1）若 mn ，求 tan x 的值 （2）若 m 与 n 的夹角为 3  ，求 x 的值。 【答案】（1）1；（ 2） 5 12x  ． 【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角 等问题，属于中档题． 17（本小题满分 12 分） 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值 x 和方差 2s ； （3）36 名工人中年龄在 sx  与 sx  之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01％）？ 【答案】（1） 44 ， 40 ，36 ， 43 ，36 ，37 ， 44 ， 43 ，37 ；（ 2） 40x  ， 2 100 9s  ；（ 3） 23 ，约占 63.89%． 【考点定位】本题考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等知识，属于中档题． 18．（本小题满分 14 分） 如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， 4PD PC==， 6AB = ， 3BC = .点 E 是CD 边的中点，点 F 、G 分别在线段 AB 、 BC 上，且 2AF FB= ， 2CG GB= . 图2 A D C B H F G E （1）证明： PE FG ； （2）求二面角 P AD C--的正切值； （3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 7 3 ；（ 3） 95 25 ． 【解析】（1）证明：∵ PD PC 且点 E 为CD 的中点， ∴ PE DC ，又平面 PDC 平面 ABCD ，且平面 PDC 平面 ABCD CD ， PE  平面 PDC ， ∴ PE 平面 ABCD ，又 FG  平面 ABCD ， ∴ PE FG ； （2）∵ 是矩形， ∴ AD DC ，又平面 平面 ，且平面 平面 ， AD  平面 ， ∴ AD  平面 PCD，又CD 、 PD  平面 ， ∴ AD DC ， AD PD ， ∴ PDC 即为二面角 P AD C的平面角， 在 Rt PDE 中， 4PD  ， 1 32DE AB， 227PE PD DE   ， ∴ 7tan 3 PEPDC DE   即二面角 P AD C的正切值为 ； （3）如下图所示，连接 AC ， ∵ 2AF FB ， 2CG GB 即 2AF CG FB GB， ∴ //AC FG ， ∴ PAC 为直线 与直线 所成角或其补角， 在 PAC 中， 225PA PD AD   ， 2235AC AD CD   ， 由余弦定理可得  2222 2 2 5 3 5 4 95cos 2 252 5 3 5 PA AC PCPAC PA AC      ， P A B C D E F G P A B C D E F G ∴ 直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 95 25 ． 【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题． 19．（本小题满分 14 分） 设 1a  ，函数 aexxf x  )1()( 2 。 (1) 求 )(xf 的单调区间 ； (2) 证明： )(xf 在 ,  上仅有一个零点； (3) 若曲线 ()y f x= 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 ( , )M m n 处的切线与直线OP 平行 （O 是坐标原点）,证明： 123  eam ． 【答案】（1） ,  ；（ 2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）依题         222' 1 ' 1 ' 1 0x x xf x x e x e x e       ， ∴  fx在 上是单调增函数； 【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识，属于中高档题． 20．（本小题满分 14 分） 已知过原点的动直线l 与圆 22 1 : 6 5 0C x y x+ - + = 相交于不同的两点 A ， B . （1）求圆 1C 的圆心坐标； （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数 k ，使得直线 : ( 4)L y k x=-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出 k 的 取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 3,0 ；（ 2） 2 23 9 5 32 4 3x y x              ；（ 3） 3 3 2 5 2 5,,4 4 7 7k    ． 【解析】（1）由 226 5 0x y x    得 2 234xy   ， ∴ 圆 1C 的圆心坐标为 ； （2）设  ,M x y ，则 ∵ 点 M 为弦 AB 中点即 1C M AB ， ∴ 1 1C M ABkk   即 13 yy xx   ， ∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ； （3）由（2）知点 的轨迹是以 3,02C  为圆心 3 2r  为半径的部分圆弧 EF （如下图所示， 不包括两端点），且 5 2 5,33E  ， 5 2 5,33F  ，又直线 L ：  4y k x过定点  4,0D ， 当 直 线 与圆C 相 切 时 ， 由 22 3 402 3 21 k k   得 3 4k  ，又 250 3 25 5 74 3 DE DFkk        ，结合上图可知当 时，直线 ： 与曲线 只有一个交点． 【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用， 属于中高档题． 21．（本小题满分 14 分） 数列 na 满足 121 2 242   nn nnaaa , *Nn . (1) 求 3a 的值； (2) 求数列 前 n 项和 nT ； L D x y O C E F (3) 令 11ba ，  1 1 1 11223 n nn Tb a nnn        ，证明：数列 nb 的前 n 项和 nS 满足 nSn ln22  【答案】（1） 1 4 ；（ 2） 112 2 n ；（ 3）见解析． （3）依题由 1 2 1 111 2 n nn a a abann         知 11ba ， 1 22 1122 aba   ， 【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前 n 项和、不等式放缩等知识， 属于中高档题．