2014年高考数学（理科）真题分类汇编F单元　平面向量

2014年高考数学（理科）真题分类汇编F单元　平面向量

‎ 数 学 F单元　平面向量 ‎ F1　平面向量的概念及其线性运算 ‎5．A3、F1[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q ‎ C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)‎ ‎5．A　[解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．‎ ‎15．F1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ ‎15．90°　[解析] 由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.‎ ‎7．F1[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ ‎7．2　[解析] c＝ma＋b＝(m＋4，‎2m＋2)，由题意知＝，即＝，即‎5m＋8＝，解得m＝2.‎ F2　平面向量基本定理及向量坐标运算 ‎4．F2[2014·重庆卷] 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(‎2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．0‎ C．3 D. ‎4．C　[解析] ∵‎2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(‎2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.‎ ‎8．F2[2014·福建卷] 在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) ‎ B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) ‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)‎ ‎8．B　[解析] 由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.‎ ‎16．F2，C4[2014·山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b ‎，且y＝f(x)的图像过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ ‎16．解：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图像过点和点，‎ 所以 即 解得m＝，n＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．‎ 由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．‎ 将其代入y＝g(x)得，sin＝1.‎ 因为0<φ<π，所以φ＝.‎ 因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎13．F2[2014·陕西卷] 设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________．‎ ‎13.　[解析] 因为向量a∥b，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝.‎ ‎18．F2，E5[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．‎ ‎(1)若＋＋＝0，求||；‎ ‎(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎18．解：(1)方法一：∵＋＋＝0，‎ 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，‎ ‎∴解得 即＝(2，2)，故||＝2.‎ 方法二：∵＋＋＝0，‎ 则(－)＋(－)＋(－)＝0，‎ ‎∴＝(＋＋)＝(2，2)，‎ ‎∴||＝2.‎ ‎(2)∵＝m＋n，‎ ‎∴(x，y)＝(m＋2n，‎2m＋n)，‎ ‎∴ 两式相减得，m－n＝y－x，‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ F3　平面向量的数量积及应用 ‎10．F3[2014·北京卷] 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．‎ ‎10.　[解析] ∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，‎ ‎∴|λ|＝＝＝.‎ ‎11．F3[2014·湖北卷] 设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．‎ ‎11．±3　[解析] 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.‎ ‎14．F3[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．‎ ‎14.　[解析] cos β＝＝＝‎ ＝‎ ＝＝.‎ ‎4．F3[2014·全国卷] 若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(‎2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　)‎ A．2 B. ‎ C．1 D. ‎4．B　[解析] 因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋b·a＝0.因为(‎2a＋b)⊥b，所以(‎2a＋b)·b＝0，即‎2a·b＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝|a|＝.‎ ‎3．F3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．5‎ ‎3．A　[解析] 由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得‎4a·b＝4，所以a·b＝1.‎ ‎12．F3，C8[2014·山东卷] 在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______．‎ ‎12.　[解析] 因为AB·AC＝||·||cos A＝tan A，且A＝，所以||·||＝，所以△ABC的面积S＝||·||sin A＝××sin ＝ .‎ ‎8．F3[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．C　[解析] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由BE＝λBC得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得即点E(λ，(λ－1))．由＝μ得(x2，y2－)＝μ(1，－)，解得即点F(μ，(1－μ))．又∵AE·AF＝(λ＋1，(λ－1))·(μ＋1，(1－μ))＝1，①‎ ·＝(λ－1, (λ－1))·(μ－1, (1－μ))＝－.②‎ ‎①－②得λ＋μ＝.‎ ‎ F4 单元综合 ‎15．F4[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①S有5个不同的值 ‎②若a⊥b，则Smin与|a|无关 ‎③若a∥b，则Smin与|b|无关 ‎④若|b|＞4|a|，则Smin＞0‎ ‎⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为 ‎15．②④　[解析] S可能的取值有3种情况：S1＝‎2a2＋3b2，S2＝a2＋2b2＋‎2a·b，S3＝b2＋‎4a·b，所以S最多只有3个不同的值．‎ 因为a，b是不相等的向量，所以S1－S3＝‎2a2＋2b2－‎4a·b＝2(a－b)>0，S1－S2＝a2＋b2－‎2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)>0，所以S3|b2|－4|a||b|>16|a|2－|a|2＝0，所以Smin>0，故④正确；‎ 对于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cos θ＝8|a|2，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故⑤错误．‎ ‎16．F4[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．‎ ‎16．1＋　[解析] 由||＝1，得动点D在以C为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，‎ 所以OA＋OB＋OD＝(2＋cos α，＋sin α)，所以|OA＋OB＋OD|2＝(2＋cos α)2＋(＋sin α)2＝8＋4cos α＋2sin α＝8＋2sin (α＋φ)，‎ 所以(|＋＋|2)max＝8＋2，即|＋＋|max＝＋1.‎ ‎10．E6，F4[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ‎(　　)‎ A．2 B．‎3 C. D. ‎10．B　[解析] 由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，‎ 解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.‎ 当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝ (x－y)，‎ 令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．‎ 于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.‎ ‎8．F4[2014·浙江卷] 记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则(　　)‎ A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} ‎ B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}‎ C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 ‎ D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2‎ ‎8．D　[解析] 对于A，当a＝0，b≠0时，不等式不成立；对于B，当a＝b≠0时，不等式不成立； 对于C，D，设＝a，＝b，构造平行四边形OACB，根据平行四边形法则，∠AOB与∠OBC至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2成立，故选D.‎ ‎6．[2014·汕头一模] 如图X191所示，在三角形ABC中，BD＝2CD.若＝a，＝b，则＝(　　)‎ 图X191‎ A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a－b ‎6．A　[解析] ∵＝－＝b－a，∴＝＝b－a，∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b.‎ ‎12．[2014·四川自贡诊断] 设＝(3，2)，＝(2，4)(O为坐标原点)，点H(m＋2，m－1)为△ABC的垂心，则m＝________．‎ ‎12．2　[解析] 易知＝－＝(m＋2－2，m－1－4)＝(m，m－5)．由题知·＝0，即m×3＋(m－5)×2＝0，∴m＝2.‎ ‎8．[2014·广东韶关一模] 已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)‎ A. B．‎13 C．6 D. ‎8．D　[解析] 由·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ()2＋()2－·＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝.‎ ‎2.[2014·四川自贡一诊] 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)当k＝－时，求(－k)·的值．‎ ‎2．解：(1)由题意，得＝(3，5)，＝(－1，1)，‎ 则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．‎ 故所求两条对角线的长分别为4 ，2 .‎ ‎(2)∵＝(－2，－1)，－k＝(3＋2k，5＋k)，‎ ‎∴(－k)·＝(3＋2k，5＋k)·(－2，－1)＝－11－5k.‎ ‎∵k＝－，∴(－k)·＝－11－5k＝0.‎ ‎4．[2014·惠州调研] 已知△ABC中，角A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设向量m＝(cos A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，且m与n的夹角为.‎ ‎(1)计算m·n的值并求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝，c＝，求△ABC的面积S.‎ ‎4．解：(1)∵|m|＝＝1，‎ ‎|n|＝＝1，‎ ‎∴m·n＝|m|·|n|·cos＝.‎ ‎∵m·n＝cos‎2A－sin‎2A＝cos ‎2A，∴cos ‎2A＝.‎ ‎∵0c，‎ ‎∴0

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