【数学】2020届一轮复习人教A版第22课导数在实际问题中的应用作业（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第22课导数在实际问题中的应用作业（江苏专用）

随堂巩固训练(22)‎ ‎ 1. 做一个容积为27 cm3的方底有盖水箱，高为__3__cm时材料最省．‎ 解析：当这个水箱是正方体时，材料最省，即高为＝3(cm)．‎ ‎ 2. 在Rt△ABC中，斜边BC的长为定值a，绕直角边AC旋转一周，得到一个圆锥，当圆锥的体积最大时，tanB＝____．‎ 解析：设AB＝r，AC＝h，则r2＝a2－h2，所以V＝πr2h＝π(a2－h2)h，V′(h)＝π(a2－3h2)，令V′(h)＝0，得h＝，所以当h＝时，圆锥的体积取最大值，此时r＝a，所以tanB＝＝.‎ ‎ 3. 在半径为R的圆内作内接等腰三角形，当底边上的高为__R__时三角形的面积最大．‎ 解析：如图，设∠OBC＝θ，则0<θ<，OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，所以△ABC的面积为S＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ，所以S′＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝－R2(sin θ＋1)·(2sin θ－1)．令S′＝0，得sin θ＝－1或sin θ＝.因为θ∈，所以θ＝.当0<θ<时，S′>0；当<θ<时，S′<0，所以当θ＝时，△ABC的面积最大，此时底边上的高OA＋OD＝R＋＝R.‎ ‎ 4. 将一根长为16的绳子分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为__8__．‎ 解析：设将绳子分成的两段长分别为x和16－x，面积和为y，则y＝＋＝(x－8)2＋8.因为00)，则长为2x，高为＝，所以长方体的体积为V＝2x×x×＝－6x3＋9x2，所以V′＝－18x2＋18x(x>0)．令V′>0，得函数V的增区间为(0，1)；令V′<0，得函数V的减区间为，所以Vmax＝V(1)＝－6＋9＝3.‎ ‎ 7. 已知水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，水波形成的圆的面积的变化率是__25__000π__．‎ 解析：圆面积S＝π(vt)2＝2 500πt2，所以S′＝5 000πt.当半径为250cm时，t＝5，所以S′‎ ‎＝5 000π×5＝25 000π.‎ ‎ 8. 甲船以每小时20海里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北方向82海里处以每小时16海里的速度向南行驶，经过__2__小时两船的距离最近．‎ 解析：设行驶x小时，它们的距离为d，则d2＝(20x)2＋(82－16x)2＝656x2－2 624x＋6 724，则(d2)′＝1 312x－2 624，令1 312x－2 624＝0，得x＝2，所以当x＝2时，d2取最小值，即经过2小时甲、乙两船的距离最近．‎ ‎ 9. 如图，在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体横梁，则矩形面的长为__d__．(抗弯强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)‎ 解析：设比例系数为k，则抗弯强度y＝kbh2＝kb(d2－b2)＝kbd2－kb3，则y′＝kd2－3kb2，令y′＝0，得b2＝d2，此时，y取最大值，所以h2＝d2－b2＝d2－d2＝d2，故h＝d.‎ ‎10. 做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应该为____cm.‎ ‎11. 如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC＝2，OA＝3(单位：百米)．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的笔直的路l(宽度不计)，交线段OC于点D，交线段OA于点N.现以O为坐 标原点，线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y＝－x2＋2(00，‎ 所以当t＝百米时，g(t)min＝g＝，‎ 所以所求面积的最大值为万平方米．‎ ‎12. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB＝AC＝6 km，现计划在边BC的高AO上一点P处建造一个变电站．记点P到三个村庄的距离之和为y.‎ ‎(1) 设∠PBO＝α，把y表示成α的函数关系式；‎ ‎(2) 当变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小？‎ 解析：(1) 在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，‎ 所以OB＝OA＝3，∠ABC＝.‎ 由题意知0≤α≤，所以点P到点A、B、C的距离之和为 y＝2PB＋PA＝2×＋(3－3tanα)＝3＋3×，‎ 故所求函数关系式为y＝3＋3×.‎ ‎(2) 由(1)得y′＝3×.‎ 令y′＝0，得sinα＝.‎ 又0≤α≤，所以α＝.‎ 当0≤α<时，y′<0；当<α≤时，y′>0.‎ 所以当α＝时，y取得最小值，‎ 此时OP＝3tan＝(km)，即点P在OA上且距离点O km处．‎ ‎13. 已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，需另投入2.7万元，设该公司1年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ ‎(1) 写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－年总成本)‎ ‎(2) 当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？‎ 解析：(1) 当010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，‎ 所以W＝ ‎(2) ①当00，当x∈(9，10)时，W′<0，‎ 故当x＝9时，Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.‎ ‎②当x>10时，‎ W＝98－－2.7x＝98－≤98－2＝38，‎ 当且仅当＝2.7x，即x＝时，等号成立．‎ 由①②知，当x＝9千件时，W取得最大值38.6万元．‎