【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章　第2讲　第2课时　函数的奇偶性及周期性学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章　第2讲　第2课时　函数的奇偶性及周期性学案

第2课时　函数的奇偶性及周期性 一、知识梳理 ‎1．函数的奇偶性 奇偶性 定 义 特 点 偶函数 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数 f(－x)＝f(x)‎ 奇函数 图像关于原点对称的函数叫作奇函数 f(－x)＝－f(x)‎ ‎[注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．‎ ‎2．函数的周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ ‎[注意]　不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.‎ 常用结论 ‎1．函数奇偶性常用结论 ‎(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．‎ ‎(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．‎ ‎(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．‎ ‎2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．‎ ‎(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．‎ ‎(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．‎ 二、教材衍化 ‎1．下列函数中为偶函数的是(　　)‎ A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.‎ ‎2．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝ ．‎ 解析：由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.‎ 答案：1‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)‎ ‎(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)‎ ‎(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)‎ ‎(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)‎ ‎(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；‎ ‎(2)周期不能正确求出从而求不出结果．‎ ‎1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝ ．‎ 解析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．‎ 答案：x(1－x)‎ ‎2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝ ．‎ 解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期．f(105)＝f(4×26＋1)＝f(1)＝1.‎ 答案：1‎ ‎　　　　　　判断函数的奇偶性(师生共研)‎ ‎ 判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1)f(x)＝x3－；‎ ‎(2)f(x)＝＋；‎ ‎(3)f(x)＝ ‎【解】　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，‎ 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，‎ 从而函数f(x)为奇函数．‎ ‎(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．‎ 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，‎ 所以f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，‎ 当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；‎ 当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；‎ 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．‎ 故该函数为奇函数．‎ 判定函数奇偶性的3种常用方法 ‎(1)定义法 ‎ ‎ ‎(2)图象法 ‎(3)性质法 ‎①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；‎ ‎②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．‎ ‎[提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．‎ ‎　已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数 B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数 C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数 D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数 解析：选A.易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A.‎ ‎　　　　　　函数奇偶性的应用(师生共研)‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)‎ A．e－x－1　　　　　　　 B．e－x＋1‎ C．－e－x－1 D．－e－x＋1‎ ‎【解析】　通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.‎ 优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.‎ ‎【答案】　D 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 ‎(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．‎ ‎(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．‎ ‎(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．‎ ‎　(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，‎ 函数f(x)的最大值为 ．‎ 解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.‎ 又因为函数f(x)为奇函数，‎ 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，‎ 所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.‎ 法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，‎ 因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.‎ 答案： ‎　　　　　　函数的周期性(师生共研)‎ ‎ (1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)‎ A．0.5 B．1.5‎ C．2.5 D．3.5‎ ‎(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎【解析】　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.‎ ‎(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.‎ 当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)D 函数周期性的判定与应用 ‎(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．‎ ‎(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．‎ ‎　已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝ ，f(20)＝ ．‎ 解析： 因为f(x＋2)＝－，‎ 所以f(x＋4)＝－＝f(x)，‎ 所以函数y＝f(x)的周期T＝4.‎ f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.‎ f(20)＝f(4×4＋4)＝f(4)＝f(2＋2)＝－＝－＝－.‎ 答案：1　－ ‎[基础题组练]‎ ‎1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)‎ A．y＝－　　　　　　　 B．y＝log2|x|‎ C．y＝1－x2 D．y＝x3－1‎ 解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．‎ ‎2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)‎ A．－3 B．－ C. D．3‎ 解析：选A.由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.‎ ‎3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f＝f，且当0≤x≤1时，f(x)＝x3，则f＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选B.因为f＝f，所以f＝f＝f＝f，又因为函数为奇函数，所以f＝－f＝－＝－.‎ ‎4．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 018x3－sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．不能确定 解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，‎ 所以b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.‎ ‎5．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)‎ A．0 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选B.f(x)＝＝1＋.设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝1＋g(x)max，m＝f(x)min＝1＋g(x)min，所以M＋m＝1＋g(x)max＋1＋g(x)min＝2.‎ ‎6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 ．‎ 解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，‎ f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，‎ 由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.‎ 答案：3‎ ‎7．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f＝ ．‎ 解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，‎ 则f＝f＝f＝＋1＝.‎ 答案： ‎8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝ ．‎ 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 所以f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，‎ 所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.‎ ‎(1)判定f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．‎ 解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．‎ 又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，‎ 所以f(x)是偶函数．‎ ‎(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，‎ 则f(x)＝f(－x)＝x；‎ 从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，‎ f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.‎ 故f(x)＝ ‎10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．‎ 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数．‎ 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)‎ ‎＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x)．‎ 从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．‎ 设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ 解析：选A.由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－1g(0)>g(－1)．‎ 答案：f(1)>g(0)>g(－1)‎ ‎3．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的，‎ 结合f(x)的图象知所以1

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