2019-2020学年江苏省扬州市广陵区扬州中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)

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2019-2020学年江苏省扬州市广陵区扬州中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)

‎2019-2020学年江苏省扬州市广陵区扬州中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1.等差数列中,,,则=( )‎ A. B. C.2 D.10‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为,可得,进而可得.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为,‎ 则可得.‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的基本量运算,属于基础题.‎ ‎2.方程表示焦点在x轴上的一个必要不充分条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出“方程表示焦点在x轴上”对应的的取值范围,再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解.‎ ‎【详解】‎ 方程表示焦点在x轴上,所以,解得,‎ 所以是的必要不充分条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查必要不充分条件的判断,解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,属于基础题.‎ ‎3.数列的一个通项公式( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据数列各项分子、分母特征,即可找出规律,求出通项公式。‎ ‎【详解】‎ 将2写成,因为数列各项分子为2,4,8,16,32,…,是以2为首项和公比的等比数列,分母为1,3,5,7,9, …,是以1为首项,以2为公差的等差数列,所以此数列的一个通项公式为 ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查观察法求数列的通项公式,以及等差、等比数列通项公式的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.‎ ‎4.已知△ABC为等腰直角三角形,若双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,该双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,可求出该双曲线的实轴长为,从而求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 设,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系.‎ 依题意可知,,由双曲线的定义可知,‎ 双曲线的实轴长为,‎ 所以该双曲线的离心率是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质应用,建立适当的坐标系,得到实轴长和焦距是解题关键,考查学生数学建模的能力,属于中档题.‎ ‎5.《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题:“戴氏善屠,日益功倍。初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?” ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,得到该屠户每天屠的肉成等比数列,记首项为,公比为,前项和为,由题中熟记,以及等比数列的求和公式,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意,该屠户每天屠的肉成等比数列,记首项为,公比为,前项和为,‎ 所以,,‎ 因此.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的应用,熟记等比数列的求和公式即可,属于基础题型.‎ ‎6.如图所示,在平行六面体中,设,,,‎ 是的中点,试用,,表示( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据空间向量的线性表示,用,,表示出即可.‎ ‎【详解】‎ 解:是的中点,‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的线性表示与应用问题,是基础题目.‎ ‎7.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为(    )‎ A.4 B.3 C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】a1,a3,a13成等比数列,a1=1,可得:a32=a1a13,即(1+2d)2=1+12d,d≠0,解得d.可得an,Sn.代入利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出式子的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解:∵a1,a3,a13成等比数列,a1=1,‎ ‎∴a32=a1a13,‎ ‎∴(1+2d)2=1+12d,d≠0,‎ 解得d=2.‎ ‎∴an=1+2(n-1)=2n-1.‎ Sn=n+×2=n2.‎ ‎∴==‎ ‎=n+1+-2≥2-2=4,‎ 当且仅当n+1=时取等号,此时n=2,且取到最小值4,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,等比中项的性质,基本不等式求最值,解题的关键是利用分离常数法化简式子,凑出积为定值.‎ ‎8.已知是双曲线的右焦点,是左支上一点,,当周长最小时,该三角形的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用双曲线的定义,确定周长最小时,的坐标,即可求出周长最小时,该三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的左焦点为,由双曲线定义知,,‎ 的周长为,‎ 由于是定值,要使的周长最小,则最小,即、、共线,‎ ‎,,直线的方程为,‎ 即代入整理得,‎ 解得或(舍),所以点的纵坐标为,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义,考查三角形面积的计算,确定点的坐标是关键.‎ ‎9.下列说法正确的是( )‎ A.“”是“x=2019”的充分条件 B.“x=-1”的充分不必要条件是“”‎ C.“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数” D.若,则 ‎【答案】D ‎【解析】根据充分、必要条件的定义,可以判断选项的真假,根据不等式性质可以判断选项的真假.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A,,所以“”是“x=2019”的必要条件;‎ 对于选项B,,解得或,所以“x=-1”的必要不充分条件是“”;‎ 对于选项C,“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”;‎ 对于选项D,,所以,即,所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分、必要条件的定义应用,属于基础题.‎ 二、多选题 ‎10.已知等比数列中,满足,则( )‎ A.数列是等比数列 B.数列是递增数列 C.数列是等差数列 D.数列中,仍成等比数列 ‎【答案】AC ‎【解析】根据题意求出等比数列的通项公式,即可求出数列,,的通项公式,并判断数列类型,由等比数列前项和公式,可求出,即可判断选项的真假.‎ ‎【详解】‎ 等比数列中,,所以,.‎ 于是 ,,,故数列是等比数列,‎ 数列是递减数列,数列是等差数列.‎ 因为 ,所以不成等比数列.‎ 故选:AC.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用,以及通过通项公式判断数列类型,属于基础题.‎ ‎11.已知三个数成等比数列,则圆锥曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】BC ‎【解析】由等比数列的性质求出,再判断曲线类型,进而求出离心率 ‎【详解】‎ 由三个数成等比数列,得,即;当,圆锥曲线为 ‎,曲线为椭圆,则;当时,曲线为,曲线为双曲线,,‎ 则离心率为:或 故选:BC ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质,离心率的求解,易错点为漏解的取值,属于中档题 ‎12.已知点F是抛物线的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是( )‎ A. B.四边形ACBD面积最小值为 C. D.若,则直线CD的斜率为 ‎【答案】ACD ‎【解析】利用抛物线的极坐标方程求出,然后即可计算求解,判断出各选项的真假.‎ ‎【详解】‎ 设AB的倾斜角为,则有,所以,C正确;‎ ‎,若,则,,‎ 直线CD的斜率为,D正确;‎ ‎,所以B不正确;‎ 设 ,由抛物线过焦点弦的性质可知,,‎ ‎,所以A正确.‎ 故选:ACD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用,抛物线的简单性质应用,抛物线的极坐标方程的应用,考查学生的数学运算能力,属于较难题.‎ 三、填空题 ‎13.已知空间向量,若空间単位向量满足:,则=________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】设出对应的坐标形式,根据以及列出对应的方程组,求解出的坐标表示.‎ ‎【详解】‎ 设,‎ 因为且,‎ 所以,解得:或,‎ 所以或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的数量积计算的简单应用,难度较易.已知空间向量,则.‎ ‎14.己知命题p:,,且p是假命题,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题p是假命题,则利用其否定为真命题,再参变分离进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题p:,是假命题,则 ‎∴,恒成立,‎ ‎∴,‎ ‎∴或,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型.‎ ‎15.已知数列的通项公式是,数列满足且,则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知可得,然后两边同时加上3,变形为,再利用等比数列通项公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以数列是首项为8,公比为2的等比数列,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的定义以及通项公式,属于基础题.‎ ‎16.抛物线上一点到抛物线准线的距离为,点关于轴的对称点为,为坐标原点,的内切圆与切于点,点为内切圆上任意一点,则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为点在抛物线上,所以,点A到准线的距离为,解得或.当时,,故舍去,所以抛物线方程为∴,所以是正三角形,边长为,其内切圆方程为,如图所示,∴.设点(为参数),则,∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用,参数方程的运用,三角函数的两角和公式合一变形求最值,属于难题,对于这类题目,首先利用已知条件得到抛物线的方程,进而可得到为等边三角形和内切圆的方程,进而得到点的坐标,可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标,进而得到,从而得到其取值范围,因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.‎ 四、解答题 ‎17.(1)已知x>2,求的最小值;‎ ‎(2)已知,且,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)因为,由基本不等式即可求出最小值;‎ ‎(2)因为,所以,于是=,‎ 由基本不等式即可求出最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),当且仅当时取等号,所以 的最小值为.‎ ‎(2)因为,所以,‎ 于是=,‎ 当且仅当时取等号,所以的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式的应用,使用注意“一正二定三相等”,以及“和定积最大,积定和最小”,属于基础题.‎ ‎18.已知数列的前n项和满足是等差数列,且 ‎(1)求和的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前2n项和 ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】(1)根据数列的前n项和,可以判断出数列 是以为首项,公比为的等比数列,因此可求出,再设出等差数列的公差为,列出关于等差数列首项和公差的两个方程,解出和,即可求出的通项公式;‎ ‎(2)根据数列的特点,采用并项求和法,即可求出前2n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,当时,,‎ 当时,,当时,也符合上式.‎ 所以数列是以为首项,公比为的等比数列,所以.‎ 设等差数列的公差为,由,,‎ 所以,,即,,故.‎ ‎(2)‎ 又因为,所以 ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法以及并项求和法求数列的和,意在考查学生的数学运算能力,属于中档题.‎ ‎19.在正方体中,边长为2,利用综合法完成以下问题:‎ ‎(1)求点到平面的距离;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)根据等积法可知,,因此求出和,即可求出点到平面的距离;‎ ‎(2)分别取的中点,连接,由题意可知即为二面角的平面角,在中,根据余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为为边长为的等边三角形,所以,‎ 而,设点到平面的距离为,由可得,,解得.‎ ‎(2)分别取的中点,连接.‎ 因为为边长为的等边三角形,所以, ,‎ 又为直角三角形,而为的中位线,所以,故即为二面角的平面角.‎ 在中,,所以 .‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用综合法求点到面的距离以及二面角的余弦值,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于中档题.‎ ‎20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,,E为PB中点.利用空间向量方法完成以下问题:‎ ‎(1)求二面角E-AC-D的余弦值;‎ ‎(2)在棱PD上是否存在点M,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)在棱上存在点,使,且 ‎【解析】(1)取的中点,建立空间坐标系,分别求出平面和的法向量,再由二面角的向量公式即可求出;‎ ‎(2)假设存在点,设出点的坐标,由三点共线得,,‎ 可用表示出点,再利用,求出,满足即可,即得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)取的中点,连结,.因为底面为矩形,所以.因为,,所以∥,所以.‎ 又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.‎ 所以PO⊥平面ABCD,‎ 如图,建立空间直角坐标系,则,‎ 设平面的法向量为,‎ 所以令,则,所以.‎ 平面的法向量为,则.‎ 如图可知二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎(2)在棱上存在点,使.设,则.‎ 因为,所以.‎ ‎.因为,所以.‎ 所以,解得.‎ 所以在棱上存在点,使,且.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量求二面角,以及点的存在性问题,解题关键是通过题意建立恰当的空间坐标系,准确求出各点坐标,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于中档题.‎ ‎21.已知正项数列的前n项和满足 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若(n∈N),求数列的前n项和;‎ ‎(3)是否存在实数使得对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)存在,‎ ‎【解析】(1)根据与的关系,即可求出的通项公式;‎ ‎(2)由 ,可采用裂项相消法求数列的前n项和;‎ ‎(3)假设存在实数λ,使得对一切正整数恒成立,‎ 即对一切正整数恒成立,只需满足即可,利用作差法得出其单调性,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当n=1时,a1=2或-1(舍去).‎ 当n≥2时,,‎ 整理可得:(an+an-1)(an-an-1-1)=0,可得an-an-1=1,‎ ‎∴{an}是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列.∴.‎ ‎(2)由(1)得an=n+1,∴.‎ ‎∴.‎ ‎(3)假设存在实数λ,使得对一切正整数恒成立,‎ 即对一切正整数恒成立,只需满足即可,‎ 令,则 当 故f(1)=1,f(2)=,f(3)=,>f(5)>f(6)>…‎ 当n=3时有最小值,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用与的关系求通项公式,裂项相消法求 数列的前n项和,以及不等式恒成立问题的解法应用,综合性较强,属于较难题.‎ ‎22.已知椭圆与x轴负半轴交于,离心率.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆C交于两点,连接AM,AN并延长交直线x=4于两点,若,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)直线恒过定点,详见解析 ‎【解析】(1)依题意由椭圆的简单性质可求出,即得椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线的方程为:,联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标,同理可求出点的坐标,根据的坐标可求出直线的方程,将其化简成点斜式,即可求出定点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为:,则 ‎∴或,∴,同理,‎ 当时,由有.∴,同理,又 ‎∴,‎ 当时,∴直线的方程为 ‎∴直线恒过定点,当时,此时也过定点..‎ 综上:直线恒过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系应用,定点问题的求法等,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于难题.‎
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