高考数学考点04 函数及其表示

高考数学考点04 函数及其表示

1 考点 04 函数及其表示 考纲原文 （1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. （3）了解简单的分段函数，并能简单应用. 知识整合 一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合 A、B 设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系 f，使对于集 合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都 有唯一确定的数 f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意 一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 2 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 2．必记结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和 对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1 均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 个． 二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0 且 a≠1)，y＝sinx，y＝cosx 的定义域均为 R. (6)y＝logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx 的定义域为 . 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不 注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： mn π{ | π , }2x x k k  Z 3 (1)一次函数 y＝kx＋b(k 为常数且 k≠0)的值域为 R. (2)反比例函数 (k 为常数且 k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数且 a≠0)， 当 a>0 时，二次函数的值域为 ； 当 a<0 时，二次函数的值域为 . 求二次函数的值域时，应掌握配方法： . (4)y＝sinx 的值域为[−1,1]． 三、分段函数 1．分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分 段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．必记结论 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重点考向 考向一 求函数的定义域 在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出． ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数 ky x 24[ , )4 ac b a   24( , ]4 ac b a  2 2 2 4( )2 4 b ac by ax bx c a x a a       4 定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪” 连接. 典例引领 典例 1 函数 的定义域是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数 有意义，则需 ，解得 ，据此可得：函数 的定义域为 . 故本题选择 B 选项. 【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求 出它们的解集即可． 本题求解时要注意根号在分母上，所以需要 ，而不是 . 变式拓展 1．函数 的定义域是__________． 典例引领     23 lg 3 1 1 xf x x x      ,1 1 ,13     1 ,13     1 ,3         23 lg 3 1 1 xf x x x     1 0 3 1 0 x x      1 1 3 x x        23 lg 3 1 1 xf x x x     1 ,13     1 0x  1 0x  sin 1y x  5 典例 2 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为________． 【答案】 【名师点睛】根据“若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出．若已知 函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即 可顺利解决. 变式拓展 2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是__________． 考向二 求函数的值域 求函数值域的基本方法 1．观察法： 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”， 观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为 ；反比例函数的值域为 ；指数函数的值域为 ；对数函数的值域 为 ；正、余弦函数的值域为 ；正切函数的值域为 . 3．分离常数法： 将形如 (a≠0)的函数分离常数，变形过程为：  1f x   1,1 1 2 logf x      1 ,14       f x  0,   2 1 3 4 f xy x x     R { | 0}y y  (0, ) R [ 1,1] R cx dy ax b   6 ，再结合 x 的取值范围确定 的取值范围，从而确定函 数的值域. 4．换元法： 对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如： 函数 ，可以令 ，得到 ，函数 可以化为 (t≥0)，接下来求解关于 t 的二次函数的值域问题， 求解过程中要注意 t 的取值范围的限制． 5．配方法： 对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值 域的方法求函数的值域． 6．数形结合法： 作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法： 函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值 域． 8．基本不等式法： 利用基本不等式 (a>0，b>0)求最值． 若“和定”，则“积最大”，即已知 a＋b＝s，则 ，ab 有最大值 ，当 a＝b 时取等号； 若“积定”，则“和最小”，即已知 ab＝t，则 ，a＋b 有最小值 ，当 a＝b 时取等 号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”． 9．判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数 y＝f(x)可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a(y)x2＋b(y)x＋c(y) ＝0，则在 a(y)≠0 时，由于 x，y 为实数，故必须有 Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取 值范围. ( )c bc bcax b d dcx d ca a a ax b ax b a ax b          bcd a ax b   ( ) ( 0)f x ax b cx d ac     ( 0)t cx d t   2t dx c  ( )f x ax ( 0)b cx d ac    2( )a t dy t bc    2a b ab  ab  2 2( )2 4 a b s  2 4 s a b  2 2ab t 2 t 7 10．有界性法： 充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域. 11．导数法： 利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数 与极值、最值的关系求函数的值域. 典例引领 典例 3 求下列函数的值域： （1） ； （2） ； （3） . 【答案】（1）[0，8]；（2） ；（3） . 【解析】（1） ， ∵ ≤x≤1，∴ ≤x−2≤ ， ∴1≤(x−2)2≤9，则 0≤(x−2)2 ≤8． 故函数 的值域为[0，8]． （2）f(x)的定义域为 ， 令 ，得 ， 故 . （3） .当且仅当 x＝2 时“＝”成立. 故 的值域为 . 变式拓展 2 4 3, [ 1,1]y x x x     1 2y x x   2 ( 1)1 xy xx  1( , ]2 [4, ) 2 24 3 ( 2) 1y x x x      1 3 1 1 2 4 3, [ 1,1]y x x x     1( , ]2 211 2 , ( 0)2 tt x x t    21 1 2 2y t t    1( , ]2y  2 2( 1) 2( 1) 1 11 2 41 1 1 x x xy xx x x             2 ( 1)1 xy xx  [4, ) 8 3．已知函数 f(x)＝1 2(x－1)2＋1 的定义域与值域都是[1，b](b＞1)，则实数 b 的值为 ． 考向三 求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法： 已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法： 由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式； 3．待定系数法： 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法： 已知关于 f(x)与 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方 程求出 f(x). 典例引领 典例 4 已知 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【名师点睛】在方法二中，用 替换后，要注意 的取值范围为 ，如果忽略了这一点，在求 时就 会出错. 1( )f x ( 1) 2f x x x   ( )f x  2 1( 1)x x  2 1x  2 1( 1)x x  2 1x  t t 1t  ( )f x 9 典例引领 4．已知 ，则 的表达式为 A． B． C． D． 考向四 分段函数 分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考 的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性 质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值： 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值： 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数： “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式： 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 5．求奇偶性、周期性： 利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解. 典例引领 2( 1)f x x  ( )f x 2( ) 2 1f x x x   2( ) 2 1f x x x   2( ) 2 1f x x x   2( ) 2 1f x x x   10 典例 5 已知 ，则 ＋ 等于 A．－2　　 B．4 C．2　　　　 D．－4 【答案】B 【解析】∵ ＝8 3， ＝ ＝f(2 3 )＝4 3，∴ ＋ ＝4.故选 B． 【名师点睛】分段函数的应用： 设分段函数 . (1)已知 x0，求 f(x0)： ①判断 x0 的范围，即看 x0∈I1，还是 x0∈I2； ②代入相应解析式求解． (2)已知 f(x0)＝a，求 x0： ①当 x0∈I1 时，由 f1(x0)＝a，求 x0； ②验证 x0 是否属于 I1，若是则留下，反之则舍去； ③当 x0∈I2 时，由 f2(x0)＝a，求 x0，判断是否属于 I2，方法同上； ④写出结论． (3)解不等式 f(x)＞a： 或 . 变式拓展 5．已知函数 f(x)＝ ，若 f(1)＝f(－1)，则实数 a 的值等于 A．1 B．2 C．3 D．4 典例引领 2 , 0( ) ( 1), 0 x xf x f x x     4( )3f 4( )3f  4( )3f 4( )3f  1( )3f  4( )3f 4( )3f  1 1 2 2 ( ),( ) ( ), f x x If x f x x I    1 1 ( ) ( ) x If x a f x a     2 2 ( ) x I f x a    1 0 0x x x a x     , , 11 典例 6 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 在 上为减函数，函数 的图象开口向下，对称轴为 ，所以函数 在区间 上为减函数，且 . 所以函数 在 上为减函数.由 得 ，解得 .故选 A． 【思路点拨】判断分段函数 两段的单调性，当 时， 为 指数函数，可判断函数 在 上为减函数；第二段函数 的图象开口 向下，对称轴为 ，可得函数 在区间 上为减函数. 时，两段函数值 相等.进而得函数 在 上为减函数.根据单调性将不等式 变为 ，从 而解得 即可 【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小； （2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“ ”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用. 变式拓展 6．已知函数 ，则下列结论正确的是 A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 考点冲关   2 e , 0 2 1, 0 x xf x x x x          1f a f a   a 1, 2     1 ,2    10, 2      1 ,12        1e =( )e x xf x   ,0 2 2 1y x x    1x     2 2 1f x x x     0, 0 2e 0 2 0 1       f x  ,     1f a f a   1a a   1 2a    2 e , 0 2 1, 0 x xf x x x x       0x    1e =( )e x xf x    1e =( )e x xf x   ,0 2 2 1y x x    1x     2 2 1f x x x     0, 0x   f x  ,     1f a f a   1a a  1 2a  f 2 1, 0( ) cos , 0 x xf x x x      12 1．函数 的定义域为 A． B． C． D． 2．设函数 ，若 ，则 A．1 B． C．3 D．1 或 3．如图为函数 的图象，则该函数可能为 A． B． C． D． 4．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ 的定义域是 A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 5．已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知函数 满足 ，则    2 1 ln 2 1 4 f x x x     1 ,22     1 ,22     1 ,22     1 ,22         4 2 2 , 4 log 1 , 4 x xf x x x        1 8f a  a  8 1 1 2  8 1 1 2   y f x sinxy x cosxy x sinxy x sinxy x  2 ln f x x    2 4 , ,5f x x x x m     5,4 m  , 1   1,2  1,2  2,5  f x    1 1 2 0f f x x xx x          2f   13 A． B． C． D． 7 ． 已 知 ， 记 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 ， 如 ， 则 的值域为 A． B． C． D． 8．函数 的值域为__________． 9．已知函数 , ，则 __________． 10．设函数 则使得 成立的 的取值范围是__________． 直通高考 1．（2017 年高考山东卷理科）设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ,则 A．（1,2） B． C．（−2,1） D．[−2,1) 2．（2017 年高考天津卷理科）已知函数 设 ，若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 A． B． C． D． 3．（2018 年高考江苏卷）函数 的定义域为________． 4．（2018 年高考浙江卷）已知 λ∈R，函数 f(x)= ，当 λ=2 时，不等式 f(x)<0 的解集是 7 2 9 2 7 2 9 2   sin π1 xf x xx   x x    π 3, e 3       2y f x f x          1  1 2，  01，  01,2，   4 4xf x     ( 0)f x ax b a      4 3f f x x   2f    2 , 0, , 0, x xf x x x        f x f x  x 24y x  A ln(1 )y x  B A B = (1,2] 2 3, 1, ( ) 2 , 1. x x x f x x xx        aR ( ) | |2 xf x a  47[ ,2]16 47 39[ , ]16 16 [ 2 3,2] 39[ 2 3, ]16   2log 1f x x  2 4, 4 3, x x x x x         14 ___________．若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是___________． 5 ．（ 2018 年 高 考 江 苏 卷 ） 函 数 满 足 ， 且 在 区 间 上 ， 则 的值为________． 6．（2017 年高考江苏卷）记函数 的定义域为 ．在区间 上随机取一个数 ，则 的概率是 ． 7．（2016 年高考江苏卷）函数 y= 的定义域是__________． 8．（2017 年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数 ，则满足 的 x 的取值范围 是_________. 参考答案 【名师点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键， 着重考查了推理与运算能力． 2．【答案】 【 解 析 】 由 题 意 得 ， 解 得 ， 即 函 数 的 定 义 域 为  f x     4f x f x x  R  2,2   πcos ,0 2,2 1 , 2 0,2 x x f x x x            15f f 2( ) 6f x x x   D [ 4,5] x x D 23 2x x- - 1 0( ) 2 0x x xf x x     ， ， 1( ) ( ) 12f x f x   变式拓展  1,1 2 1 0 3 4 0 x x x       1 1x     2 1 3 4 f xy x x     15 ． 3．【答案】3 【解析】∵f(x)＝1 2(x－1)2＋1，x∈[1，b]，且 b＞1，则 f(1)＝1 2(1－1)2＋1＝1，f(b)＝1 2(b－1)2＋1， ∴函数值域为[1，1 2(b－1)2＋1]．由已知得1 2(b－1)2＋1＝b，解得 b＝3(b＝1 舍去)． 4．【答案】A 【解析】∵ ，∴ .故选 A． 5．【答案】B 【解析】根据题意，由 f(1)＝f(－1)可得 a＝1－(－1)＝2，故选 B． 1．【答案】D 【解析】要使函数 有意义，需满足 ，解得 ，即函 数 的定义域为 ，故选 D． 2．【答案】A 【解析】当 时， ， ，得 ， 当 时， ，得 ，这与 矛盾，故此种情况下无解， 由上知 ，故选 A． 【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自 变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可.  1,1 2( 1)f x x  2 2( ) [( 1) 1] ( 1) 2 1f x f x x x x        考点冲关    2 1 ln 2 1 4 f x x x     24 0 2 1 0 x x       1 22 x      2 1 ln 2 1 4 f x x x     1 ,22     4a  4 312 28 a   4 3a    1a  4a   2 1log 1 8a   1 82 1a    4a  1a  16 3．【答案】B 【解析】由图可知， 时， ，而 A，C，D 此时对应的函数值 ，故选 B. 【名师点睛】识图常用的方法： (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析 解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 4．【答案】D 【解析】∵f(x)的定义域为[0,2]，∴要使 f(2x)有意义，必有 0≤2x≤2，∴0≤x≤1，∴要使 g(x)有意义，应有 ，∴0

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