陕西省西安交大附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

陕西省西安交大附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

‎2019学年度上学期9月月考高一数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题,每题只有一个正确答案,每小题5分,共60分）‎ ‎1.已知全集，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得,所以.‎ 考点：几何的运算.‎ ‎2.在映射中，，且，则与A中的元素在B中的象为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：令，得，即与A中的元素在B中的象为.‎ 考点：映射的概念.‎ ‎3.下列哪组中的两个函数是同一函数（　　）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】A中两函数定义域不同；‎ B中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数；‎ C中两函数定义域不同；‎ D中两函数定义域不同 故选B.‎ ‎4.已知函数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入对应的分段求解函数值即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了分段函数值的求解,属于基础题型.‎ ‎5.函数的定义域为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：要使函数有意义，须，解得；所以其定义域为.‎ 考点：函数的定义域.‎ ‎6. 在区间（0，+∞）上不是增函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：在为增函数，在为增函数，在为增函数；而在 为减函数，‎ 故选D.‎ 考点：基本函数的单调性.‎ ‎7.设集合,,若,则的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合数轴分析即可.‎ 详解】画出数轴可得,若则.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了根据集合的关系求参数的问题,属于基础题型.‎ ‎8.若函数f(x)＝ 为奇函数，则a＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义得到f(－x)＝－f(x)，代入表达式化简得到(‎2a－1)x＝0.∴a＝.‎ ‎【详解】∵函数为奇函数，所以由定义得到f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴ ‎ ‎∴化简得到(‎2a－1)x＝0.∴a＝.‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，已知函数的奇偶性求参数值，首先奇偶函数的定义域关于原点对称，其次根据奇偶函数的定义域f(x)和f(-x)的关系得到结果即可.‎ ‎9.函数 ，则满足＜的取值范围是 ( )‎ A. B. ［ ，）‎ C. （，） D. ［，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数 ，＜， ‎ 故答案选D.‎ 点睛：这是抽象函数解不等式问题，没有表达式，要解不等式，只能是赋值法；这个题目，利用函数单调性直接比较括号内自变量的大小关系，列出不等式：‎ 注意定义域是，因此还要加上.‎ ‎10.若,,则( )‎ A. 1 B. ‎15 ‎C. 4 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令求得再代入求解即可.‎ ‎【详解】令,故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了复合函数的求值问题,属于基础题型.‎ ‎11.设是定义在上的偶函数，则的值域是（ ）．‎ A. B. C. D. 与有关，不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得，即，即；，；‎ 则，即函数的值域为．‎ 考点：二次函数的奇偶性与值域．‎ ‎12.定义在上的奇函数,,且对任意不等的正实数,都满足,则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性与单调性画草图分析即可.‎ ‎【详解】∵对任意不等的正实数,都满足,‎ ‎∴函数在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎∵定义在R上的奇函数,‎ ‎∴在(−∞,0)上单调递增。‎ ‎∴不等式等价为,即.‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 作出函数的草图,由图像可知,‎ 不等式等价为或,‎ 即或,‎ 即不等式的解集为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性与奇偶性求解抽象函数不等式的方法等.需要根据题意画出草图分情况讨论分析.属于中等题型.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在横线上）‎ ‎13.已知集合，则集合__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由交集的运算可知，故填：．‎ ‎14.已知,则______．‎ ‎【答案】,．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原函数用配方法配方,再将整个换元即可.‎ ‎【详解】解：‎ ‎.‎ 则,．‎ 故答案为,．‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式的求法,常用直接法、配方法、换元法、待定系数法,需要注意定义域的的取值.‎ ‎15.已知函数,,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为奇函数,计算即可.‎ ‎【详解】由题,设,易得为奇函数.故,‎ 即.‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的运用,属于基础题型.‎ ‎16.若集合有8个子集,则实数的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合有8个子集,可以判断出集合中共有3个元素,即有3个根,转化为与的图像有三个交点,画出图像即可解得的值．‎ ‎【详解】∵集合有8个子集,根据集合中有个元素,则集合有个子集, ∴,解得, ∴集合中有3个元素,即有3个根, ∴函数与的图像有三个交点, 作出与的图像如图所示,‎ ‎ ∴实数的值． 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了子集与真子集的性质,数形结合求解函数零点个数的问题.属于中等题型.‎ 三、解答题（共6道题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合.‎ ‎（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）且；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）中至多有一个元素等价于一元二次方程无解或只有一解.‎ ‎【详解】（1）由于中有两个元素，‎ ‎∴关于的方程有两个不等的实数根，‎ ‎∴，且，即，且.‎ 故实数的取值范围是且.‎ ‎（2）当时，方程为，，集合；‎ 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时，‎ 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时.‎ 综上可知，实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查集合描述法特点及一元二次方程根的个数的讨论，考查基本的运算求解能力.‎ ‎18.(Ⅰ)已知函数的定义域,求的定义域;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据复合函数的定义域即可求解； （Ⅱ）根据定义域,利用换元法即可求解值域．‎ ‎【详解】(Ⅰ)函数的定义域,即,可得 又分母,可得.‎ ‎∴的定义域为 ‎ ‎(Ⅱ)函数,‎ 设,则 ‎∵,∴‎ 那么函数转化为 其对称轴,‎ ‎∴在上单调递增 ‎∴‎ 即 故得的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合函数的定义域与值域的方法等,包括换元法以及二次函数的最值范围问题等.属于中等题型.‎ ‎19.已知二次函数，当时函数取最小值，且．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在区间上不单调，求实数取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 解题思路：（1）根据题意，设出二次函数的顶点式方程，再利用求值；‎ ‎（2）利用二次函数对称轴与区间的关系进行求解.‎ 规律总结：已知函数类型（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等），求解析式一般利用待定系数法，特别要注意的是二次函数的解析式的三种形式（一般式、顶点式、两根式），要根据题意合理选择.‎ 试题解析：（1） 由条件， 设；‎ 又， 则 所以 ‎（2）当时，由题意，，因其在区间上不单调，‎ 则有，解得.‎ 考点：1.二次函数的解析式；2.二次函数的单调性.‎ ‎20.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，先求出集合和，然后再求；（2）由，得，由此能够求出实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）因为，‎ 所以，‎ 或,‎ 又 ，‎ 所以.‎ ‎（2）若，由，‎ 得 当，即时，，此时有，‎ 综上，实数的取值范围是：.‎ ‎21.已知函数是定义在上的奇函数，且.‎ ‎(1)确定函数的解析式；‎ ‎(2)用定义证明函数在区间上是增函数；‎ ‎(3)解不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；‎ ‎（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；‎ ‎（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，‎ 得到不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数，‎ 则，即有，‎ 且，则，解得，，‎ 则函数的解析式：；满足奇函数 ‎（2）证明：设，则 ‎，由于，则，，即，‎ ‎，则有，‎ 则在上是增函数；‎ ‎（3）解：由于奇函数在上是增函数，‎ 则不等式即为，‎ 即有，解得，‎ 则有，‎ 即解集为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎22.设函数对于任意都有且时 ‎．‎ ‎（1）求； （2）证明：是奇函数；‎ ‎（3）试问在时是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由．‎ ‎【答案】（1）0，（2）证明过程见解析，（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解决抽象函数问题常用的一种方法是赋值法，（1）令x=y=0，可求得值，（2）令x=-y，‎ 再结合奇函数的定义知是奇函数，（3）根据减函数的定义，在结合奇函数的定义可证明数单调递减，故在有最大值和最小值，再由赋值法去求的值．‎ 试题解析：（1）令x=y=0，． 3分 ‎（2）令x=-y，即得，又，‎ 则，所以是奇函数． 7分 ‎（3）R上任取，则，‎ 则，‎ 即，所以函数单调递减，‎ 从而在有最大值和最小值，‎ ‎12分．‎ 考点：（1）赋值法，（2）减函数的定义，（3）奇函数的定义．‎ ‎ ‎