【数学】2020届一轮复习北师大版　集合与常用逻辑用语、复数与平面向量学案

【数学】2020届一轮复习北师大版　集合与常用逻辑用语、复数与平面向量学案

专题一　高考送分专题自检 第1讲　集合与常用逻辑用语、复数与平面向量 年份 卷别 小题考查 ‎2018‎ 全国卷Ⅰ T1·集合的交集运算；T2·复数的运算、复数的模；T7·平面向量的线性运算 全国卷Ⅱ T1·复数的乘法运算；T2·集合的交集运算；T4·平面向量的模及数量积运算 全国卷Ⅲ T1·集合的交集运算；T2·复数的乘法运算；T13·平面向量的坐标运算及向量共线的坐标关系 ‎2017‎ 全国卷Ⅰ T1·集合的运算；T3·复数的运算、复数的概念；T13·平面向量的垂直及数量积的坐标运算 全国卷Ⅱ T1·集合的并集；T2·复数的乘法运算；T4·平面向量的概念及几何意义 全国卷Ⅲ T1·集合的交集运算、集合的概念；T2·复数的乘法运算、复数的几何意义 ‎2016‎ 全国卷Ⅰ T1·集合的交集运算；T2·复数的运算、复数的概念；T13·平面向量数量积的应用 全国卷Ⅱ T1·集合的交集运算、一元二次不等式的解法；T2·复数的减法运算、共轭复数；T13·向量共线定理及向量坐标表示 全国卷Ⅲ T1·集合的补集运算；T2·共轭复数、复数的模及复数的除法运算；T3·平面向量的数量积的定义及坐标表示 一、选择题 ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为(　B　)‎ A．1　 B．2‎ C．3　 D．4‎ 解析　∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．‎ ‎∴A∩B中元素的个数为2.故选B．‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　C　)‎ A．{0} B．{1}‎ C．{1,2} D．{0,1,2}‎ 解析　∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．故选C．‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝(　D　)‎ A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}‎ C．{1,2,3} D．{1,2}‎ 解析　∵x2＜9，∴－3＜x＜3，‎ ‎∴B＝{x|－3＜x＜3}．‎ 又A＝{1,2,3}，‎ ‎∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}．故选D．‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　A　)‎ A．A∩B＝ B．A∩B＝∅‎ C．A∪B＝ D．A∪B＝R 解析　因为B＝{x|3－2x>0}＝，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．故选A．‎ ‎5．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　D　)‎ A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i．‎ 故选D．‎ ‎6．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　C　)‎ A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)‎ C．(1＋i)2 D．i(1＋i)‎ 解析　A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．‎ B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．‎ C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．‎ D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．‎ 故选C．‎ ‎7．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　C　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C．‎ ‎8．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(　C　)‎ A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i 解析　由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴＝3＋2i，故选C．‎ ‎9．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝(　C　)‎ A．1 B．－1‎ C．i D．－i 解析　因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C．‎ ‎10．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　D　)‎ A．－8 B．－6‎ C．6 D．8‎ 解析　方法一　因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，‎ 所以a＋b＝(4，m－2)．‎ 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8．‎ 方法二　因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－‎2m＋32＋(－2)2＝16－‎2m＝0，解得m＝8．‎ ‎11．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　A　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|>|b|‎ 解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2．‎ ‎∴a2＋b2＋‎2a·b＝a2＋b2－‎2a·b．‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A．‎ 方法二　利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A．‎ ‎12．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　A　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ 解析　因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A．‎ 二、填空题 ‎13．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝__2__．‎ 解析　∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，‎ ‎∴a·b＝0，即－2×3＋‎3m＝0，解得m＝2．‎ ‎14．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝__－6__．‎ 解析　∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，‎ ‎∴－‎2m－4×3＝0.∴m＝－6．‎ ‎15．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝__7__．‎ 解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，‎ ‎∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．‎ 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，‎ 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7．‎ ‎16．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(‎2a＋b)，则λ＝____．‎ 解析　由题意得‎2a＋b＝(4,2)，因为c∥(‎2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝．‎