宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试卷

宁夏回族自治区银川市第一中学2020届高三第三次模拟考试数学（文）试卷

宁夏回族自治区银川市第一中学 2020 届高 三第三次模拟考试数学（文）试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 }13|{},1|{ 2  xxBxxA ，则 )( BCA R A． }0|{ xx B． }10|{  xx C． }01|{  xx D． }1|{ xx 2．若复数 z 与其共轭复数 z 满足 izz 312  ，则 || z A． 2 B． 3 C．2 D． 5 3．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的离心率为 5 3 ，则其渐近线方程为 A．2x+y=0 B． 2 0x y  C．3 4 0x y  D．4 3 0x y  4．在区间 (0,4] 内随机取两个数 a b、 ，则使得“命题‘ x R  ，不等式 2 2 0x ax b   成立’ 为真命题”的概率为 A． 1 4 B． 1 2 C． 1 3 D． 3 4 5．若向量 )2,1(  xa 与 )1,1( b 平行，则|2 + |=a b   A． 2 B． 3 2 2 C．3 2 D． 2 2 6．F 是抛物线 2 2y x 的焦点，A B、 是抛物线上的两点， 8AF BF  ，则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为 A．4 B． 9 2 C． 7 2 D． 3 7．已知 nm, 是两条不重合的直线， , 是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是 A．若  mnm , ，则 //n B．若  nmnm ,//,// ，则 //n C．若   nmnm ,, ，则   D．若  //,//m ，则 //m 或 m 8．已知函数 y=f(x)的部分图像如图，则 f(x)的解析式可能是 A． ( ) tanf x x x  B． ( ) 2sinf x x x  C． ( ) sinf x x x  D． 1( ) cos2f x x x  9．已知函数 4 1( ) 2 x xf x  ， 0.3 0.3 0.3(2 ), (0.2 ), (log 2)a f b f c f   ，则 , ,a b c 的大小关 系为 A． c b a  B．b a c  C．b c a  D． c a b  10．天文学中，为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus）在公 元前二世纪首先提出了星等这个概念。星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越 大它的光就越暗。到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普 森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用 星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 1 2 2 12.5(lg lg )m m E E   ，其中星等 为 km 的星的亮度为 kE（k=1,2）,已知“心宿二”的星等是 1.00，“天津四”的星等是 1.25， “ 心 宿 二 ” 的 亮 度 是 “ 天 津 四 ” 的 r 倍 ， 则 与 r 最 接 近 的 是 （ 当 | |x 较 小 时 ， 210 1 2.3 2.7x x x   ） A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27 11．已知数列 na 的通项公式是 6n na f      ，其中   sin( ) 0 | | 2f x x           ， 的部分图 像如图所示， nS 为数列 na 的前 n 项和，则 2020S 的值为 A． 1 B． 3 2  C． 1 2 D．0 12．已知函数 2( 1) 1, 2 ( ) 1 ( 2) 22 x x f x f x x        ， ，若函数 ( ) ( )F x f x mx  有 4 个零点，则实数 m 的取值范围为 A． 5 1( 6, )2 6  B． 1 1( , )20 6 C． 1( ,3 2 2)20  D． 5( 6,3 2 2)2   二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．我校高一、高二、高三共有学生 1800 名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划 采用分层抽样的方法，从这 1800 名学生中抽取一个样本容量为 36 的样本，若从高一、 高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数 为_____________ . 14．已知实数 x,y 满足 2 4 0 2 0 x y y x y         ，则 3z x y  的最大值为_____________ . 15．等差数列{a }n 的前 n 项和为 nS ， 3 43 10a S ， ,则 1 1n k kS  _____________. 16．在三棱锥 P ABC 中， 2, 1, 90 PA PC BA BC ABC       ，点 P 到底面 ABC 的距离是 3 ；则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是_________. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分) 17．(12 分) 某年级教师年龄数据如下表： 年龄(岁) 人数(人) 22 1 28 2 29 3 30 5 31 4 32 3 40 2 合计 20 (1)求这 20 名教师年龄的众数与极差； (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名教师年龄的茎叶图； (3)现在要在年龄为 29 岁和 31 岁的教师中选 2 位教师参加学校有关会议，求所选的 2 位教师年龄不全相同的概率． 18．（12 分） 在锐角△ABC 中， 2 3a  ,________， （1）求角 A; （2）求△ABC 的周长 l 的范围． 注：在① ( cos ,sin ), (cos ,sin )2 2 2 2 A A A Am n    ,且 1 2m n    ， ② cos (2 ) cosA b c a C  ，③ 1 1( ) cos cos( ) , ( )3 4 4f x x x f A    这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解． 19．(12 分) 如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是正方形，平面 AED  平面 ABCD ， //EF DC ， 01 1, 302ED EF CD EAD     . （1）求证： AE FC ； （2）求点 D 到平面 BCF 的距离． 20．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 (0 1)B ， . （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 : ( 2)l y k x  交椭圆于 ,P Q 两点，若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内，求 实数 k 的取值范围． 21．（12 分） 已知函数   ln ( )f x x ax a R   . （1）若曲线  y f x 与直线 1 ln 2 0x y    相切，求实数 a 的值； （2）若不等式 ( 1) ( ) ln xx f x x e    在定义域内恒成立，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分. 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直 线l 的极坐标方程为 2cos 4 2       ，曲线C 的极坐标方程为 0cos6   . （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点 (1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于 ,P Q 两点， ,P Q 中点为 M，求 | || | | | AP AQ AM 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ( ) | 2 |f x x  . （1）求不等式 ( ) ( 2) 4f x f x x    的解集； （2）若 x R ，使得 )2()()( afxfaxf  恒成立，求 a 的取值范围. 数学（文科）参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D A C C A C A C B D 二、填空题： 13、700 14、22 15. 2 1 n n  16.5 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17【解析】(Ⅰ)年龄为 30 岁的教师人数为 5，频率最高，故这 20 名教师年龄的众数为 30， 极差为最大值与最小值的差，即 40－22＝18. 4 分 (Ⅱ) 8 分 (Ⅲ)设事件“所选的 2 位教师年龄不全相同”为事件 A.年龄为 29，31 岁的教师共有 7 名， 从其中任选 2 名教师共有7×6 2 ＝21 种选法，3 名年龄为 29 岁的教师中任选 2 名有 3 种选法， 4 名年龄为 31 岁的教师中任选 2 名有 6 种选法，所以所选的 2 位教师年龄不全相同的选 法共有 21－9＝12 种，所以 P(A)＝12 21 ＝4 7. 12 分 18．（1）若选①，∵ ( cos ,sin ), (cos ,sin )2 2 2 2 A A A Am n    ，且 1 2m n    2 2 1cos sin ,........32 2 2 1cos .........52 0, ..........62 3 A A A A A              分 分 分 （2） 24, 4sin 4sin 2 3sin 3ABC a l B BA          .........8 分 4 3sin 2 36ABCl B        .............10 分 = 3 6 2ABC A B        锐角 且 ， ............11 分 2, 6 2 3,6 36 3 3 ABCB l              .............12 分 （1）②∵cos A(2b-c)＝acos C 2 cos cos cos 2 cos ...........3 1cos ........52 b A a C c A b A b A        分 分 0, 2 3A A       . .........6 分 （2） 24, 4sin 4sin 2 3sin 3ABC a l B BA          .........8 分 4 3sin 2 36ABCl B        ........10 分 = 3 6 2ABC A B        锐角 且 ， .........11 分 2, 6 2 3,6 36 3 3 ABCB l              . .........12 分 （1）③ 1 3 1( ) cos ( cos sin )2 2 4f x x x x   ＝1 2cos2x＋ 3 2 cos xsin x－1 4 ＝1 2×1＋cos 2x 2 ＋ 3 2 ×sin 2x 2 －1 4 1 1 3 1= ( cos2 sin 2 )= sin(2 )2 2 2 2 6x x x   ........3 分   1 1sin 24 6 2f A A        .........5 分 0, 2 3A A       . .........6 分 （2） 24, 4sin 4sin 2 3sin 3ABC a l B BA          .........8 分 4 3sin 2 36ABCl B        ........10 分 = 3 6 2ABC A B        锐角 且 ， .........11 分 2, 6 2 3,6 36 3 3 ABCB l              . ........12 分 19）解法一：（Ⅰ） 四边形 ABCD 是正方形， CD AD  , 又 ADE ABCD平面 平面 , ADE ABCD AD 平面 平面 , CD ABCD 平面 ， CD ADE  平面 ，···················································································2 分 又 AE ADE 平面 ， CD AE  ，···························································································3 分  在 ADE 中， 2 1 30AD DE EAD    ， ， ， 由余弦定理得， 3AE  ， 2 2AE DE AD 2+ , AE ED  .································4 分 又 CD ED D = , AE EFCD  平面 .··················································································· 5 分 又 FC EFCD 平面 AE FC  . ··························································································· 6 分 （Ⅱ）连结 DF ,由（Ⅰ）可知， AE CDEF 平面 ， 四边形 ABCD 是正方形 //AB DC 又 DC CDEF 面 ， AB CDEF 面 //AB CDEF 面 A 到 CDEF面 的距离等于 B 到 CDEF面 的距离. 即 B 到面 DFC 的距离为 AE. ············································································································· 7 分 在直角梯形 EFCD 中， =1EF ， DE=1， DC=2 , C= 2F , ······························································································8 分 1 12CDFS DC DE     , 1 3 3 3B CDF CDFV S AE    ······································ 9 分 在直角梯形 EFBA 中， =1EF ， AE= 3， AB=2， 可得 BF=2，在等腰 BFC 中， 2BC BF  ， 2FC  1 14 722 2 2BFCS     , ······································································ 10 分 设点 D 到平面 BFC 的距离为 d,  D BCF B CDFV V  ，即 1 3 3 3D BCF BFCV S d    ， 3 2 21= 7BFC d S   点 D 到平面 BCF 的距离为 2 21 7 ．···························································· 12 分 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）过点 E 做 ,EH AD AD H 交 于点 连结 FD . 平面ADE 平面ABCD , 平面ADE 平面ABCD=AD , EH ADE 平面  EH ABCD 平面 , 在 Rt AED 中， 3= 2EH ，··········································· 7 分 又 //EF DC , DC CD 面AB ， EF CD 面A B //EF ABCD 面 E 到面 ABCD 的距离等于 F 到面 ABCD 的距离············································8 分 1 1 3 323 3 2 3F BCD BCDV S EH        ． 9 分 在直角梯形 EFBA 中， =1EF ， AE= 3， DC=2 , AB=2 ,可得 =2BF ， 1 14 722 2 2BFCS     ·········································································10 分 设 D 点到平面 BFC 的距离为 d, ,D BCF F BCDV V  即 1 3 BCFS d  = 3 3 3 2 21= 7BFC d S   ， 点 D 到平面 BCF 的距离 2 21 7 ． 20、（本题满分 12 分） 解：（1）由题意知， ， （4 分）椭圆的标准方程为： . （4 分） （2）设 联立 ，消去 ，得： （5 分） 依题意：直线 恒过点 ，此点为椭圆的左顶点，所以 ① ， 由（*）式， ②，得 ③ ， 由①②③， （8 分） 由点 B 在以 PQ 为直径圆内，得 为钝角或平角，即 . 2 2( 2, 1), ( , 1)BP BQ x y      . 即 （10 分） 整理得 ，解得. 12 分 21．(1)由 f(x)=lnx-ax, 得 f’(x)= 1 ax  , 设切点横坐标为 x0, 得 0 0 0 0 1 1 1 ln 2 ln ax x x ax         3 分 解之得 0 1 2 1 x a     即实数 a 的值为 1。 5 分 （2）由(x+1)f(x)=(x+1)(lnx-ax)≤lnx- x e 在定义域内恒成立。 得 ln 1 1 ( 1) xa x e x    在定义域内恒成立。 7 分 令 g(x)= ln 1 1 ( 1) x x e x   (x>0) g’(x)= 2 1 11 ln ( 1) xe x x     再令 h(x)= 1 11 ln xe x    h’(x)= 2 1 1 0x x    所以 h(x)在（0，+∞）递减， 又 h(e)=0. 9 分 当 x∈(0,e) h’(x)>0, h(x)在（0，e）上递增 当 x∈(e,+∞), h’(x)<0, h(x)在(e,+∞)上递减。 所以 g(x)在 x=e 处取得最大值 g(e)= 1 e 11 分 所以 a≥ 1 e 12 分 22.解：（1）因为直线 2: cos 4 2l       ，故 cos sin 1 0      ， 即直线l 的直角坐标方程为 1 0x y   .……………2 分 因 为 曲 线 : 6cos 0C    ， 则 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2 6 0x y x   ， 即 2 2( 3) 9x y   .………4 分 （2）设直线l 的参数方程为 21 ,2 2 2 x t y t      （t 为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标系方程得 2 2 2 5 0t t   . 设 P ，Q 对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 1 2 5t t   ， 1 2 2 2t t  ， ……………6 分 所以 M 对应的参数 1 2 0 22 t tt   ，……………8 分 故 1 2 0 |t ||t || || | 5 5 2=| | | | 22 AP AQ AM t   ……………10 分 23.解：（1）不等式 ( ) ( 2) 4f x f x x    可化为| 2 | | | 4x x x    ， 当 2x „ 时， 2 2 4x x    ， 2x   ，所以无解；……………1 分 当 2 0x  „ 时， 2 4x  ，所以 2 0x  „ ；……………2 分 当 0x  时， 2 2 4x x   ， 2x  ，所以 0 2x  .……………3 分 综上，不等式 ( ) ( 2) 4f x f x x    的解集是 | 2 2x x   .……………5 分 （2） ( ) ( )f x a f x  | 2 | | 2 | | |x a x a     … ， 又 x R ，使得 ( ) ( ) (2 )f x a f x f a  … 恒成立，则| | | 2 2 |a a … ，……………8 分 2 2(2 2)a a … ，解得 22 3a „ „ . 所以 a 的取值范围为 22, 3      .……………10 分