2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题

齐齐哈尔市实验中学2017—2018学年度高二上学期期中考试 ‎ 数学试题（理科）‎ 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.抛物线的准线方程是，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在极坐标系中，若点，则的面积为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.如图，空间四边形中，.点在上，且，点为的中点，则等于 （ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.设点，的周长为，则的顶点的轨迹方程为（ ）‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若动点在曲线上运动，则的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设是棱长为的正方体，则有 （ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是 ‎（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为 （ ）‎ A.1 B.1或3 C.2 D.2或6‎ ‎11.已知是椭圆上的点，分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差一定是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13.在极坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ‎ ‎14.如图，平行六面体中，‎ ‎，则的长为 ‎ ‎15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是 ‎ ‎16.若等轴双曲线的左、右顶点分别为椭圆的左、右焦点，点是双曲线上异于的点，直线的斜率分别为，则 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，分别为与轴、轴的交点.‎ ‎（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并求的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设的中点为，求直线的极坐标方程.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆相交于两点，点的坐标为，试求的值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在直四棱柱中，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，侧面是正三 角形且与底面垂直，底面是矩形，‎ 是的中点，与平面所成的角为.‎ ‎（Ⅰ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅱ）当为多长时，点到平面的 距离为2？‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.‎ ‎（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.、是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设是椭圆上异于、的任意一点，作轴于点，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为线段的中点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.‎ 齐齐哈尔市实验中学2017～2018学年度高二上学期期中考试 ‎ 数学试题评分标准（理）‎ 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B B C A C D A B D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13. 14.根号下11 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解析：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为 ……3分 当时，，所以 ……4分 当时，，所以 ……5分 ‎（Ⅱ）点的直角坐标分别为 点P的直角坐标为 则P点的极坐标为 直线的极坐标方程为 ……10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解析：（Ⅰ）圆C的方程可化为，即 圆C的直角坐标方程为 ……4分 ‎（Ⅱ）把直线的参数方程与圆C的直角坐标方程联立，‎ 可得： ……6分 设点A、B对应的参数分别为，则 ……8分 ‎ ……12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解析：以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎（Ⅰ）‎ ‎ ……4分 ‎（Ⅱ）设平面的法向量为 ‎，‎ 则 ……8分 设直线与平面所成角为 ‎ 直线与平面所成角的正弦值为 ……12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解析：（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO.是正三角形 ‎ 又面面 面. ……1分 以O为原点，过且平行于AB的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，则为与面所成的角，.‎ 设，则 ……2分 设平面的一个法向量为 则 ……5分 连接DE，易知平面DEC的一个法向量为 ……6分 二面角的大小为 ……8分 ‎（Ⅱ），则 到面的距离 当，即时，‎ 所以当时，点D到平面PCE的距离为. ……12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为 由题意知 解得 故椭圆C的方程为 ……4分 ‎（2）由题意知椭圆C的方程为 当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意； ……5分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由得 ……7分 设，则 即 解得：，即 ……11分 故直线的方程为或 ……12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解析：（Ⅰ）由题意：到直线的距离为，则 椭圆C的标准方程为 ……4分 ‎（Ⅱ）设，则 直线的方程为 ……6分 与联立得： ‎ 则直线的方程为 ……8分 即 ‎ 方程可化为 ……10分 到直线的距离为 故直线与以AB为直径的圆O相切. ……12分