2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．若－<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 (　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：∵－<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B ‎【考点】本题考查了三角函数值的符号 点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题 ‎2．函数的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期.‎ 详解：由题得函数的最小正周期为，故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查正弦型函数的最小正周期，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是,注意一定要注意加绝对值. 三角函数的周期公式中代表的是的系数，不是什么地方都是. 函数中的系数是，最小正周期，不是.‎ ‎3．若，则tana的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，∴=，故选B ‎4．如果在第三象限，则必定在第（ ）象限 A．一、二 B．一、三 C．三、四 D．二、四 ‎【答案】D ‎【解析】根据在第三象限，可得，，解不等式求得的范围，‎ ‎，分为偶数和为奇数分别讨论所在的象限．‎ ‎【详解】‎ 在第三象限，，，，‎ 当为偶数时，如，可得是第二象限角，‎ 当为奇数时，如，可得是第四象限角，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查象限角，终边相同的角的表示方法，得到，，是解题的关键．‎ ‎5．给出下列命题：‎ ‎①第二象限角大于第一象限角；‎ ‎②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；‎ ‎③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；‎ ‎④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；‎ ‎⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.‎ ‎6．设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是 A． B． C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象向右平移个单位后 所以有 ‎ 故选C ‎7．要得到的图像, 需要将函数的图像( )‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】由,所以将函数的图像向右平移个单位得到的图像.‎ ‎8．若函数y＝tanωx在内是减函数，则(　　)‎ A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0‎ C．ω≥1 D．ω≤－1‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为在上单调递增，而y＝tan在（－，）内是减函数，则 ‎，因为，所以，则，故，综上。‎ ‎9．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin=a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．[-，2] B．[，2] C．(，2] D．(，2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，函数的图象和直线有2个交点，故得，从而得到．‎ ‎【详解】‎ ‎，， ．‎ 因为关于的方程有两个不同的实数解，‎ 所以函数的图象和直线有2个交点，‎ 可得，‎ ‎ ，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，属于中档题．‎ ‎10．已知函数,对定义域内任意的x，都满足条件,若,则有( )‎ A．A＞B B．A=B C．A＜B D．AB ‎【答案】B ‎【解析】由，得到周期为6，根据周期公式及大于0，求出的值，把求出的值 代入和两式中，利用诱导公式化简后，即可得到两式的结果相等．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 函数的周期为6，又，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 则．‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了诱导公式，根据题意得出函数的周期为6‎ 是解本题的关键．‎ ‎11．同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：因为函数的周期为，因此w=2，排除A,C，然后根据图像关于x=对称，排除选项D，选C ‎12．函数的单调递增区间为 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 函数的定义域为,所以其单调增区间为 二、解答题 ‎13．如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－，)．‎ ‎（1）求 的值 ‎（2）若OP⊥OQ，求3sin-4cos的值 ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】(1) 由题得cos= ，sin= ，代入已知即得解.(2),所以所以，求出sin和cos的值即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得cos= ，sin= ，所以 . ‎ ‎(2),所以，‎ 所以所以3sin-4cos=.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．已知为第三象限角，．‎ ‎(1)化简 ‎ ‎(2)若，求的值 ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】利用指数运算、指对互化、对数运算求解试题分析：‎ ‎（1）‎ ‎（2）由，得。又已知为第三象限角，‎ 所以，所以，‎ 所以=………………10分 ‎【考点】本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符号的判定。‎ 点评：解决此类问题的关键是掌握诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符好的判定方法。诱导公式的记忆应结合图形记忆较好，难度一般。‎ ‎15．已知函数 的部分图象如图所示：‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若的图象是将的图象向右平移1个单位得到的，求的单调递增区间．‎ ‎【答案】（1） （2）．‎ ‎【解析】(1)由图象知，即得函数的解析式.(2)由题得，再求函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由图象知. ‎ ‎.‎ ‎(2)由题得 ，‎ 令，所以 的单调递增区间为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.‎ ‎16．某港口的水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎9.9‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎10.1‎ ‎7‎ ‎10‎ 经过长期观测， 可近似的看成是函数 ‎（1）根据以上数据，求出的解析式 ‎（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2），，‎ ‎【解析】第一问由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，，‎ ‎∴A+b=13, -A+b=7 解得 A=3, b=10‎ 第二问要想船舶安全，必须深度，即 ‎∴ ‎ 解得： 得到结论。‎ ‎17．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中,相邻两条对称轴之间的距离为,且图象上一个最低点为M.‎ ‎(1)求ω,φ的值；‎ ‎(2)求f(x)的图像的对称中心；‎ ‎(3)当x∈时,求f(x)的值域.‎ ‎【答案】（1）ω=2, φ=（2）见解析（3）[-1,2]‎ ‎【解析】(1) 由最低点为M得A=2. 由相邻的两条对称轴之间的距离为求出ω的值，再根据最小值点求出φ=.（2）令求出函数的对称中心.(3)先求出 2x+∈，再利用三角函数的图像和性质求出函数的最大值和最小值，即得函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由最低点为M得A=2.‎ 由相邻的两条对称轴之间的距离为得=,即T=π,ω===2,‎ 由点M在图象上得,‎ 即,故+φ=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,‎ 因为0<φ<，所以φ=.‎ ‎（2）令，‎ 所以f(x)的图像的对称中心为.‎ ‎(3)因为x∈,所以2x+∈.‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,‎ 故f(x)的值域为[-1,2].‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的解析式和值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．已知关于 的方程的两根为和，.求：‎ ‎（I）m的值；‎ ‎（II） 的值；‎ ‎（III）方程的两根及此时的值.‎ ‎【答案】（I） （II ）（III）见解析 ‎【解析】【详解】‎ ‎（I）由韦达定理得：,‎ ‎∴ , ‎ ‎∴ . ‎ 由韦达定理得∴ . ‎ ‎（II）∵‎ ‎ ∴原式. ‎ ‎（III）∵ ‎ ‎∴ ,‎ 因为 ‎∵和同号，又∵同正号 ‎ ‎∵∴‎ ‎∵，且，‎ ‎∴；或，‎ 所以方程的两个根为和，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查韦达定理和同角的三角函数关系，考查三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、填空题 ‎19．已知扇形的圆心角为1200，半径为3，则扇形的面积是_______‎ ‎【答案】3π ‎【解析】试题分析：利用角度弧度互化公式，扇形面积公式求解 方法一 扇形面积 方法二 因为所以扇形面积，则 故选择D ‎【考点】本小题主要考查了扇形面积公式。‎ 点评：解决此类问题的关键是掌握扇形面积公式，并能熟练应用，难度较小。‎ ‎20．已知直线y=b(0＜b＜1)与函数f(x)=sinωx(ω＞0)在y轴右侧依次的三个交点的横坐标为x1=,x2=,x3=,则ω的值为______‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题得函数的周期为解之即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得函数的周期为.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．已知函数，若当y取最大值时，；当y取最小值时，，且，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数配方，转化为二次函数最值问题，结合，，，可得最值，从而求解出 的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得函数；‎ ‎，，，‎ ‎，，；‎ 当取最大值时，，即，‎ 可得；‎ 当取最小值时，，即，‎ 可得；‎ 那么.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图像和性质，考查了二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎22．给出下列五个命题：‎ ‎①函数的一条对称轴是；‎ ‎②函数的图象关于点(,0)对称；‎ ‎③正弦函数在第一象限为增函数；‎ ‎④若，则，其中 以上四个命题中正确的有__________（填写正确命题前面的序号）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】分析：利用三角函数的图象与性质处理有关命题的正误.‎ 详解：把x=代入函数得 y=1，为最大值，故①正确． ‎ 结合函数y=tanx的图象可得点（，0）是函数y=tanx的图象的一个对称中心，故②正确．‎ ‎③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如390°＞60°，都是第一象限角，但sin390°＜sin60°．‎ 若 ，则有 2x1﹣=2kπ+2x2﹣，或 2x1﹣=2kπ+π﹣（2x2﹣），k∈z，‎ ‎∴x1﹣x2=kπ，或x1+x2=kπ+，k∈z，故④不正确．‎ 故答案为①②．‎ 点睛：本题考查正弦函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，掌握正弦函数的图象和性质，是解题的关键，属于中档题．‎