2018-2019学年云南省云天化中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

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绝密★启用前 云南省云天化中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知直线,则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程可知直线垂直x轴，倾斜角为直角.‎ ‎【详解】‎ 因为直线方程为，所以直线的倾斜角为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的倾斜角，属于容易题.‎ ‎2．在正方体中,分别为棱和棱的中点,则异面直线和所成的角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在正方体中，由中位线性质知MN与平行，与平行，所以即为异面直线和所成的角，连接即可求出.‎ ‎【详解】‎ 连接 因为分别为棱和棱 的中点，‎ 所以MN//,又正方体中，//,‎ 所以即为异面直线和所成的角，‎ 又因为为正三角形，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成的角，属于中档题.‎ ‎3．的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是常数，可利用用均值不等式来求最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 ‎ 由均值不等式可得：‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了均值不等式，属于中档题.‎ ‎4．设某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为5的圆柱与底面半径为2高位3的圆锥的组合体，分别计算体积求和即可.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该组合体为下面圆柱上面圆锥的几何体，，，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三视图及圆柱圆锥的体积计算，属于中档题.‎ ‎5．把化为二进制数为 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“除k取余法”是将十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得余数倒序排列即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了十进制与二进制之间的转化，“除k取余法”是解决此类问题的常用方法，属于中档题.‎ ‎6．过点的直线将圆分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线的方程是(　 　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时, 应与圆心与M点的连线垂直，求出直线斜率即可.‎ ‎【详解】‎ 由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时, 应与圆心与M点的连线垂直,‎ 设圆心为,则， ‎ ‎ ‎ 故直线的斜率，‎ 的方程为，即.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的方程以及直线和圆的方程的应用，属于中档题.‎ ‎7．某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的的值是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图，模拟计算即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 程序执行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循环，输出，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.‎ ‎8．若圆的半径为,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据条件确定圆心纵坐标为1，又直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径求出圆心坐标，写出圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 因为圆C的半径为1，圆心在第一象限且与直线和轴都相切，‎ 所以圆心的纵坐标为1，设圆心坐标，则，又,所以 ‎ 所以该圆的标准方程是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程，圆与切线的关系，属于中档题.‎ ‎9．将函数的图像向左平移个单位后,再向上平移个单位长度,所得图像对应的函数解析式是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数图象的平移法则即可求出函数解析式.‎ ‎【详解】‎ 将函数的图像向左平移个单位,得，再向上平移个单位长度，得，所以函数解析式为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数图象的平移变换，属于中档题.‎ ‎10．已知是坐标原点,点,若点为平面区域上的一个动点,则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式，结合数形结合即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图：‎ 由图象可知当M为A在直线上的射影时，最小，即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性规划的应用，属于中档题.利用点到直线的距离公式是解题的关键.‎ ‎11．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意得到关于实数k的不等式，解不等式即可求出问题的解.‎ ‎【详解】‎ 设圆心到直线的距离为d,‎ 根据弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形可得：，‎ 故，即，化简得，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长，点到直线的距离，属于中档题.‎ ‎12．如图,正方体的棱长为,线段上有两个动点,且．则下列结论中正确的个数为（ ）‎ ‎①;‎ ‎②平面;‎ ‎③三棱锥的体积为定值;‎ ‎④的面积与的面积相等.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结BD,则AC平面BB1D1D,BD//B1D1, 点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此判断A,B,C正确，D错误.‎ ‎【详解】‎ 连结BD,则AC平面BB1D1D,BD//B1D1,‎ 平面ABCD,从而①②正确，‎ 又面积为定值，A到平面BB1D1D距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，‎ 从而③正确，‎ 因为A到B1D1的距离不等于BB1，所以的面积与的面积不相等，④错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正方体中的平行和垂直关系，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知满足约束条件则的最小值为________‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，由可得，则z表示直线在y轴上的截距，截距越小，z最小，结合图象可求z的最小值.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图：‎ 由可得，则z表示直线在y轴上的截距，截距越小，z最小，由图象可知，当过点C时，z最小，由 可得，此时，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下最值的求解，属于中档题.‎ ‎14．已知向量满足,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，展开利用数量积的性质计算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 而 ‎ 所以 ，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数量积的运算性质，属于中档题.‎ ‎15．在平面直角坐标系中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为,则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－13,13)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心，半径，满足圆心到直线的距离小于半径与1的差即可.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程可知，半径为2，圆心，‎ 圆上有且只有四个点到直线的距离为，只需 圆心到直线的距离小于1，即，‎ 解得，故填(－13,13).‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆与直线的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.‎ ‎16．过点引直线与曲线相交于、两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的斜率为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出曲线的图象，数形结合分析k的取值范围，表示出的面积，利用基本不等式即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 曲线的图象如图所示：‎ 若直线与曲线相交于A,B两点，则直线的斜率，‎ 设：，则点O到直线的距离，‎ 则的面积，‎ 当且仅当，即 时，S有最大值，此时，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，均值不等式，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．直线与直线相交于点,‎ 求（Ⅰ）过点与直线平行的直线方程;‎ ‎（Ⅱ）过点与直线垂直的直线方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据直线与已知直线平行可知斜率，又过交点，利用点斜式写出即（Ⅱ）根据垂直写出直线的斜率为，又过交点P（1，3，点斜式写出方程即可.‎ ‎【详解】‎ 由直线与直线，联立可求交点P（1，3）,‎ ‎（1）设所求直线方程为，交点P（1，3）代入直线中，可得，所以直线方程为,即 ‎（2）设所求直线方程为，交点P（1，3）代入直线中得：， 所以直线方程为，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的平行与垂直位置关系，点斜式方程，属于中档题.‎ ‎18．设的内角所对应的边长分别是，且.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当的面积为时，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由得，再利用正弦定理即可求出（Ⅱ）由可得，再利用余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵∴，‎ 由正弦定理可知： ，∴‎ ‎（Ⅱ）∵ ‎ ‎∴ ‎ 由余弦定理得： ‎ ‎∴，即 则： ‎ 故：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎19．已知数列的前项和为,首项,且对于任意,都有 ‎（Ⅰ）求的通项公式;‎ ‎（Ⅱ）设,且数列的前项之和为,求证:‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用累乘法求通项公式（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列的和即可求证.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）解法一：由①‎ 得当时，②，‎ 由①﹣②可得，，‎ 所以，‎ 即当时， ，‎ 所以，，‎ 将上面各式两边分别相乘得，，‎ 即（），‎ 又，所以（），‎ 此结果也满足，‎ 故对任意都成立． ‎ 解法二：由及，‎ 得，即，‎ ‎∴当时，（此式也适合），‎ ‎∴对任意正整数均有，‎ ‎∴当时，（此式也适合），‎ 故． ‎ ‎（Ⅱ）依题意可得：‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求数列前n项的和，属于中档题.‎ ‎20．已知四棱锥的底面为菱形,且 ,,与相交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证:底面;‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离;‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ），，O是中点，可得POAC，POBD，即可证明结论（Ⅱ）过O作OFCD于F,连PF，可证平面POF平面PCD，作OMPF于M，可证OM为O到平面PCD的距离，解三角形即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：∵O为AC中点，PB=PD ‎∴POBD 同理 POAC 又BD交AC于O ‎∴PO平面ABCD ‎（Ⅱ）过O作OFCD于F,连PF ‎∵OP平面ABCD ∴PFCD ∴ CD平面POF ‎ ‎ ∴平面POF平面PCD 作OMPF于M ∴ OM平面PCD ‎ 则OM为O到平面PCD的距离 ‎ 在中 ‎ ∴OM=‎ ‎∴O到平面PCD的距离为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直的证明，面面垂直的证明以及点到平面的距离，属于中档题.‎ ‎21．已知圆,在圆上存在不同两点关于直线对称.‎ ‎（Ⅰ）求的值;‎ ‎（Ⅱ）当以为直径的圆经过原点时,求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆上存在不同两点关于直线对称，知直线必过圆心，即可求解（2）由（1）知，设直线AB方程，联立圆的方程，消元得一元二次方程，设，根据知即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆C可化为，圆心为C（1，-2）‎ 在圆C上存在两点A,B满足条件，‎ 则圆心C（1，-2）在直线上，即 ‎（2）由（1）可知，，设，‎ 代入圆C的方程，整理得：，‎ 由，解得 ‎ 设 则 由题意知，则有 ‎ 也就是 得,均满足,所以，‎ 即直线的方程为或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想与计算能力，属于难题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为1,圆心在上.‎ ‎（Ⅰ）若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;‎ ‎（Ⅱ）若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或； ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点到直线的距离等于半径求切线的方程（2）设点，由求出轨迹方程为圆，根据该圆与已知圆有公共点可知两圆相交或相切，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）联立得：解得，所以圆心 若不存在，不合题意；若存在，设切线为：，‎ 可得圆心到切线的距离，即，解得或，‎ 则所求切线为或； ‎ ‎（2）设点，由，知，‎ 化简得：，点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆，又点在圆上，，所以圆与圆的关系为相交或相切，‎ ‎，其中，，‎ 解得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆相切，两个圆相交相切，属于中档题.解决直线与圆的位置关系时，利用圆心到直线的距离与半径的关系较简单，判定两圆的位置关系主要考虑圆心距与半径的和差之间的关系.‎