安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测数学（理）试题

安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测数学（理）试题

黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.‎ ‎2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.‎ ‎4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.‎ 参考公式：球的表面积公式 球的体积公式 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎1. 已知复数满足,则 A. 5 B. ‎3 ‎ C. D. ‎ ‎2. 设U＝R，A＝，B＝，则＝‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知，，，则 A． B． C． D．‎ B A C D ‎4. 函数的大致图象为 ‎5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎6．将向量绕原点O顺时针方向旋转75°得到，则＝‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知数列满足，数列的前 项和为，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是 A． B． C． D． ‎ ‎9. 函数在内单调递增，且图象关于直线对称，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆 锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A．2 B．‎4 ‎ C．6 D．8‎ ‎11.已知函数有4个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎12.如图，,分别为双曲线的左、右焦点，过点作 直线，使直线与圆相切于点,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎13. 已知函数则 .‎ ‎14. 已知实数满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎15. 函数 与函数的图象有两个不同 的公共点,则实数的取值范围是 .‎ ‎16. 如图，在棱长为 1 的正方体中，点是 的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），‎ 若平面，则长度的取值范围是 ． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知在中,角,,所对的边分别为,,,且,‎ ‎（1）求角的大小; ‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 公 子 的 马 获 胜 的 概 率 田忌的马 田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:‎ 上等马 中等马 下等马 上等马 ‎0.5‎ ‎0.8‎ ‎1‎ 中等马 ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.9‎ 下等马 ‎0‎ ‎0.05‎ ‎0.4‎ 比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.‎ ‎（1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;‎ ‎（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知是以为直径的圆周上一点，，平面 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若异面直线与所成的为，求二面角的余弦值。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的焦距为，过点。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 函数， ‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）在函数的图象上取，两个不同的点，令直线的斜率 为，则在函数的图象上是否存在点，且，使得？若存 在，求，两点的坐标，若不存在，说明理由。‎ 考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线。以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。‎ ‎（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与直线相交于，两点，求的取值范围.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）解不等式;‎ ‎（2）若恒成立,求的取值范围.‎ 黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C ‎7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 解: （1）由则 ‎ …………………………………………………………3分 所以 而 故 ………………6分 ‎（2）由 且 ‎ 所以 ……………………………………………10分 又 ‎ 所以的取值范围是 …………………………………………………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解： （1）记事件：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，‎ 对于事件，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，‎ 故 ……………………………………………………………………4分 ‎（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量（金），则的取值为和。‎ 若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负 ………………………………………………………………………………6分 设在该月的比赛中田忌获胜的概率为，则 ‎ …………8分 ‎ ……………………………………………10分 因此田忌一年赛马获利的数学期望为（金） …………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：因为为圆的直径，所以，‎ 又平面，而平面，所以，‎ 又,所以平面，‎ 而平面，所以平面平面 ……………………5分 ‎（2）解法1：建系如图所示，令，而，则,，‎ 则，,，令 所以，，‎ 因为异面直线与所成的角为，‎ 故，解得 令平面的一个法向量为，‎ 而，‎ 由,,所以 由，所以，即 而平面的一个法向量为 所以 解法2：过作的平行线交圆于，连接，，所以直线与所成的角即为与所成的角，‎ 因为为圆的直径，所以，‎ 又平面，而平面，所以 又,所以平面 而平面，所以，则 令，且所以，‎ ‎，，‎ ‎,‎ 过作交于，过作交于,连接，由三垂线定理知，‎ 所以即为二面角的平面角 ……………………………………8分 ‎，‎ ‎ ， ‎ 即为二面角的余弦值为 ……………………………………12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ 解： （1）由题知 解得，，‎ 所以椭圆的方程为 …………………………………………………………4分 ‎（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：‎ 由 得 则，， …………………………………………6分 因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则 则，故的方程为： ……………………8分 由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则 而，，‎ 所以 故直线恒过定点，且定点为 ………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解： （1）由题知定义域为，‎ ‎ ………………1分 ‎①当时，，‎ 令，解得，，解得 即函数在上单调递增，在 及上单调递减；‎ ‎②当时，，在上，‎ 即函数在上单调递减；‎ ‎③当时，‎ 令，解得，，解得 即函数在上单调递增，在 及上单调递减；‎ ‎④当时，‎ 令，解得，，解得 即函数在上单调递增，在 上单调递减； …………………………5分 综上所述：‎ 当时，增区间为，减区间为及；‎ 当时，减区间为；‎ 当时，增区间为，减区间为及；‎ 当时，减区间为，增区间为； ……………………………………6分 ‎（2）假设存在，即满足 因为已知，不妨令 则 ‎ ‎ 而由 得存在，也就是证存在 …………9分 只要证存在，令，故转化为存在 即需要证明令 则有故在上单调递增，所以，故不存在。 ………………………………………………………………………………12分 ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）的参数方程：（为参数） …………………………………2分 曲线的直角坐标方程： ………………………………………………5分 ‎（2）将的参数方程代入曲线的方程得 ‎ ①‎ 由于恒成立，所以方程①有两个不等实根，‎ 由于，所以异号 则 …10分 ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）当，则 ‎ 当时，则 ‎ 当时，则，此时无解 故解集为 ……………………………………………………5分 ‎（2）由（1）知，所以当时，的最小值为，则 ‎ 所以 ……………………………………………10分