2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题A卷（解析版）

2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题A卷（解析版）

‎2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题A卷 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集定义直接求解可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由交集定义可得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2．下列四组函数中，与相等的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别判断各个选项中函数的定义域和解析式是否全相同，由此可确定结果.‎ ‎【详解】‎ 中，定义域为，定义域为，不是同一函数，错误；‎ 中，定义域为，定义域为，不是同一函数，错误；‎ 中，与定义域均为，且，是同一函数，正确；‎ 中，定义域为，定义域为，不是同一函数，错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同一函数的判断，关键是明确若两函数表示同一函数，则函数的定义域和解析式均相同，属于基础题.‎ ‎3．已知函数，则的值为（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代入解析式求得，求解即为所求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.‎ ‎4．如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．‎ ‎【详解】‎ 直观图正方形的边长为，，‎ 原图形为平行四边形，其中，高，‎ ‎，原图形的周长.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜二测直观图的相关计算，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由偶次根式、分式和对数有意义的要求可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：或 定义域为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是明确偶次根式、分式和对数有意义的具体要求.‎ ‎6．函数的值域为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将指数-x2+2x看作整体，求出指数范围，再结合指数函数性质即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎-x2+2x=-（x-1）2+1≤1；‎ ‎∴；‎ ‎∴f（x）的值域为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数求值域，考查二次函数和指数函数图像的性质.‎ ‎7．设，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、各数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 指数函数为上的减函数，则；‎ 对数函数为上的增函数，则；‎ 指数函数为上的增函数，则，即.‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎8．已知函数的一个零点，用二分法求精确度为的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二分法的概念可知，第次等分区间后，区间长度变为，由此可得出不等式，解出满足此不等式的正整数的最小值，即为所求.‎ ‎【详解】‎ 设对区间二等分次，开始时区间长为，第次等分后区间长为，第次等分区间后区间长为，第次等分区间后区间长为，，第次等分区间后区间长为，‎ 依题意可得，即，所以的最小值为，故最多需要次.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二分法求方程的近似解，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．‎ ‎9．定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由偶函数的性质可得在上单调递增且；分别在和两种情况下根据单调性得到自变量的大小关系，由此得到不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为上的偶函数且在上单调递减 在上单调递增 又 ‎ 当，即时，，解得：‎ 当，即时，，解得：‎ 综上所述：的解集为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，奇偶性的作用在于求解对称区间的解析式和函数值；单调性的作用在于将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.‎ ‎10．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：几何体是正方体挖去一个圆柱和一个半球，正方体的棱长为，圆柱的底面半径为，高为，半球的半径为，凿去部分的体积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何体体积的求法，三视图求解几何体的体积．考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11．生活中万事万物都是有关联的，所有直线中有关联直线，所有点中也有相关点，现在定义：平面内如果两点、都在函数的图像上，而且满足、两点关于原点对称，则称点对（、）是函数的“相关对称点对”（注明：点对（、）与（、）看成同一个“相关对称点对”）.已知函数，则这个函数的“相关对称点对”有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】设，将“相关对称点对”个数转化为方程根的个数上，进而将问题转化为与图象交点个数问题，利用数形结合的方式可确定交点个数，得到“相关对称点对”个数；通过验证关于原点的对称点不在上，可得到最终结论.‎ ‎【详解】‎ 设，则，则其“相关对称点对”为 在平面直角坐标系中画出与如下图所示：‎ 由图象可知与有且仅有一个交点 有且仅有一个解 “相关对称点对”有且仅有一个 又，则关于原点的对称点为不在上 的“相关对称点对”有且仅有一个 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数中的新定义问题，关键是能够通过新定义的含义将问题转化为方程根的个数的求解问题，即两函数交点个数的求解问题，进而通过数形结合的方式求得结果.‎ ‎12．定义在上的函数满足，且当时，，若方程有9个不同的实根，则正实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由知函数为以为周期的周期函数，由此可得到图象，将问题转化为与有个不同交点的问题；由数形结合可知，若要满足题意则需在上有两个不等实根且，结合二次函数图象可得到不等式组，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ 是以为周期的周期函数 则可得图象如下图所示：‎ 在上有两个不等实根且 当时， ‎ 由得：，令 ‎，解得：‎ ‎ ‎ 综上所述：正实数的取值范围为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的分布求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数的问题，通过数形结合的方式确定不等关系.‎ 二、填空题 ‎13．函数的单调减区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数真数大于零可求得函数的定义域；分别在和两种情况下，根据复合函数单调性可求得的单调性，进而得到所求单调减区间.‎ ‎【详解】‎ 由得： 定义域为 当时，为增函数；当时，为减函数 的单调递减区间为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型复合函数单调区间的求解问题，涉及到分类讨论思想的应用；关键是能够明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.‎ ‎14．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺.（注：丈等于尺）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意知圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是三个矩形相连所成对角线的长．‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：‎ 一条直角边（即圆木的高）长尺，另一条直角边长尺，‎ 因此葛藤长为尺.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了旋转体侧面上的最短距离计算问题，正确运用圆柱的侧面展开图是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.‎ ‎15．定义区间，，，的长度均为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的和为______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由奇偶性定义可知函数为偶函数；当，根据值域可确定定义域为；利用偶函数的对称性可知当时，值域为；由此可确定区间长度的最大值和最小值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ 为偶函数 当时，‎ ‎ ‎ 由偶函数性质可知：当时，值域为 区间最长时为，最短时为或 区间长度的最大值与最小值之和为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据值域求解函数定义域的问题，关键是能够利用指数函数单调性确定当时，自变量的取值范围，进而结合奇偶性确定区间最长时的情况.‎ 三、解答题 ‎16．（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据指数幂的运算法则化简求解即可得到结果；‎ ‎（2）根据对数运算法则化简求解即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎ ‎ ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂、对数运算化简求值的问题，关键是熟练掌握指数幂运算和对数运算的运算法则，属于基础题.‎ ‎17．下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为，高为，连杆圆柱的底面半径为，高为.‎ ‎（1）求该健身哑铃的体积；‎ ‎（2）求该健身哑铃的表面积.‎ ‎【答案】（1）体积为；（2）表面积为.‎ ‎【解析】（1）哑铃的体积等于两个大圆柱和一个连杆圆柱（位于中间部分）的体积之和，即可得出结果；‎ ‎（2）哑铃的表面积等于两个大圆柱的表面积与连杆圆柱（位于中间部分）侧面积之和减去连杆圆柱两个底面积，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设该健身哑铃的体积为，，，‎ ‎，因此，该健身哑铃的体积为；‎ ‎（2） 设该健身哑铃的表面积为，，‎ ‎， ，，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查组合体表面积与体积的计算，解题关键就是要弄清组合体的构成，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎18．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增，函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，记，的值域分别为集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得或，代入验证可知不合题意，从而得到结果；‎ ‎（2）根据两函数单调性可求得集合，由并集结果知，由此可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为幂函数 ，解得：或 当时，，在上单调递减，不合题意；‎ 当时，，为偶函数，且在上单调递增，符合题意 综上所述：‎ ‎（2）由（1）知：‎ 当时，，单调递增 ，‎ ‎ ，解得：‎ 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据幂函数的定义和性质求解参数值、函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；关键是能够根据函数的单调性准确求得函数值域，进而根据包含关系得到不等式组.‎ ‎19．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前三年，平台会员的个数如下表所示：‎ 建立平台第年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 会员个数（千人）‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎29‎ ‎（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式；‎ ‎①，②（且），③（且）‎ ‎（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；‎ ‎（2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，进而得到的取值范围，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，‎ 函数增长的速度越来越快 选择③（且）‎ 代入表格中的三个点可得：，解得：‎ ‎，.‎ ‎（2）由（1）可知：，‎ 故不等式对恒成立 对恒成立 令，则 ，‎ 在单调递增，则 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查选择合适的函数模型解决实际问题，涉及到函数模型的求解、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系，进而结合二次函数的性质得到函数的最值.‎ ‎20．已知函数,且.‎ ‎（1）若函数在上恒有意义，求的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在求出的值，若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据在上恒有意义,则在上恒成立.讨论对称轴的位置,即可求得的取值范围.‎ ‎（2）讨论与两种情况,结合复函函数单调性即可判断是否符合单调递增.再根据最大值为,代入的值,解方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数在上恒有意义 即在上恒成立 令 对称轴为,开口向上 当时,只需,即,解得,所以 当时,只需,即,解得,所以 当时, 只需,即,解得,所以 综上可知, 的取值范围为 ‎（2）函数对称轴为 ‎ 由复合函数单调性的性质可知:‎ 当时为单调递减函数, 在上为单调递增函数,所以在上单调递减,不合题意 当时, 为单调递增函数, 若在 上单调递增,则在上为单调递增函数.‎ 所以由对称轴在左侧可得 因为最大值为2,则 即 即,化简可得 ‎ 解得或 ‎ 因为 所以 当函数在区间上为增函数，且最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数在区间内恒成立问题,复合函数单调性的判断与应用,函数最值的应用,属于中档题.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）若，求证：函数恰有一个负零点；（用图象法证明不给分）‎ ‎（2）若函数恰有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由单调性的性质可判断出在上单调递减，利用零点存在定理可知存在唯一的使得，由此可证得结论；‎ ‎（2）令，结合函数图象可知，若恰有三个零点，则方程必有两根，且，或，；当时可求得，不合题意；当，时，根据二次函数图象可得到不等式组，由此解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，则 时，单调递减，单调递减 当时，单调递减 又，，则存在唯一的使得 即函数在区间恰有一个零点 ‎（2）令，，要使得函数恰有三个零点 图象如下图所示：‎ 则方程必有两根，且，或，‎ ‎①若，时，令 则，即，解得：‎ ‎②若，则，即 ，不合题意 综上所述：实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查零点存在定理的应用、根据函数零点个数求解参数范围的问题；本题解题关键是能够通过换元法将问题转化为一元二次方程根的分布问题的求解，进而通过二次函数图象来确定不等关系.‎