江苏省徐州市第一中学2021届高三新高考全国卷第一次适应性考试数学试题 Word版含答案

江苏省徐州市第一中学2021届高三新高考全国卷第一次适应性考试数学试题 Word版含答案

绝密★启用前 试卷类型：A 徐州一中2021届新高考全国卷第一次适应性考试 数 学 注意事项： 2020.6‎ ‎1．本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上。‎ ‎3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷或草稿纸上均无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎ 1．设集合A＝{(x，y)|x－y＋1＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝5}，则A∩B＝‎ A．{(1，2)} B．{(－2，－1)}‎ C．{(1，2)，(－2，－1)} D．Ø ‎ 2．已知a＋bi(a，b∈R)是(1＋i)2＋的共轭复数，则2a＋b＝‎ A．3 B．－3 C．－1 D．1‎ ‎ 3．设向量a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且a⊥b，则k＝‎ A．－5 B．5 C．3 D．－3‎ ‎ 4．温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高10 K，化学反应的反应速率大约增加2～4倍．瑞典科学家Arrhenius总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius公式：‎ - 16 -‎ 式中A为碰撞频率因子(A＞0)，e为自然对数的底数，Ea为活化能，R为气体常数．通过Arrhenius公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为T1时，化学反应的速率常数为k1；温度为T2时，化学反应的速率常数为k2．则 A． B． C． D．‎ ‎ 5．的展开式中的常数项为 A．－160 B．－64 C．160 D．64‎ ‎ 6．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则命题p：“V1，V2相等”是命题q：“S1，S2总相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 7．已知函数，设a＝f(π－1)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则 A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c ‎ 8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝±x，|MF1|－|MF2|＝4，点N在圆A：x2＋y2－4y＝0上，则|MN|＋|MF1|的最小值为 A． B．5 C．6 D．7‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ - 16 -‎ ‎ 9．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2019年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．‎ 根据该走势图，下列结论不正确的是 A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度与时间具有比较明显的线性相关性 B．2019年10月网民对该关键词的搜索指数变化的走势图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故当月搜索指数的平均值约为29 000‎ C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2019年10月的方差小于11月的方差 D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值 ‎10．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜)的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图像关于点(，0)对称，则下列结论正确的是 A．函数f(x)的图像关于直线对称 B．当时，函数f(x)的最小值为－ C．若，则sin4α－cos4α的值为 D．要得到函数f(x)的图像，只需要将g(x)＝cos 2x的图像向右平移个单位 ‎11．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则 A．三棱锥D－BEF的体积为6‎ B．直线PB与直线DF垂直 C．平面DEF截三棱锥P－ABC所得的截面面积为12‎ D．点P与点A到平面BDE的距离相等 - 16 -‎ ‎12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，．则下列结论正确的是 A．当x＜0时，f(x)＝－ex(x＋1)‎ B．函数f(x)在R上有且仅有三个零点 C．若关于x的方程f(x)＝m有解，则实数m的取值范围是f(－2)≤m≤f(2)‎ D．∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次．则取得小球标号最大值是3的取法有__________种．（用数字作答）‎ ‎14．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_______________________．‎ ‎15．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，P是抛物线在第一象限的一点，且点P到抛物线的对称轴和准线的距离相等，则点P的坐标为__________；O为坐标原点，PQ⊥OP交抛物线的准线于点Q，则三角形OPQ内切圆的面积为__________．（本题第一空2分，第二空3分．）‎ ‎16．已知点P是单位正方体（棱长均为1）ABCD－A1B1C1D1的对角面BB1D1D上的一动点，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的侧面相交于M，N两点，则△BMN的面积的最大值为__________．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）在①Sn＝2bn－1；②－4bn＝bn－1(n≥2)；③bn＝bn－1＋2(n≥2)．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．‎ 已知数列{an}为等比数列，a1＝，a3＝a1a2，数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，__________，是否存在k，使得对于任意n∈N*，anbn≤akbk恒成立？‎ 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，点D为BC边上的中点，△ABC的面积为．‎ - 16 -‎ ‎（1）求sin∠BAD·sin∠BDA的值；‎ ‎（2）若BC＝6AB，AD＝2，求b．‎ ‎19．（12分）如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC＝6，现沿对角线AC把△ADC翻折到△APC的位置得到四面体P－ABC，如图2所示．已知PB＝4．‎ ‎（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎（2）若Q是线段AP上的点，且＝，求二面角Q－BC－A的余弦值．‎ ‎20．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．‎ - 16 -‎ ‎（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；‎ ‎（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；‎ 男 女 总计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 总计 ‎100‎ ‎（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：‎ 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 ‎80‎ ‎40‎ ‎16‎ ‎24‎ 乙 ‎90‎ ‎60‎ ‎18‎ ‎12‎ 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为X，求X的数学期望．‎ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．‎ 临界值表：‎ P(χ2≥x0)‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ x0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21．（12分）如图所示，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，点P - 16 -‎ ‎(0，1)在短轴CD上，且·＝－1．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数f(x)＝ln (2x＋a) (x＞0，a＞0)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线在y轴上的截距为ln 3－．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）讨论函数g(x)＝f(x)－2x (x＞0)和h(x)＝(x＞0)的单调性；‎ ‎（3）设a1＝，an＋1＝f(an)，求证：(n≥2)．‎ - 16 -‎ 徐州一中2021届新高考全国卷第一次适应性考试 数学参考答案与评分标准 试卷整体评析：‎ 本张试卷的命题工作主要依据《中国高考评价体系》、《新高考过渡时期数学学科考试范围说明》与《课标（2017年版2020年修订）》中的学业质量标准和课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好了数学学科核心素养与知识技能的关系。考查内容围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧；同时也融入了数学文化（试题第6题）。‎ 试题第9、13、20题是应用问题，试题第14、17题是开放性问题，试题第16、21题是探究性问题，这些题目重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识。试题第4题通过化学背景旨在考查学生的数学应用意识，数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养，体现了《中国高考评价体系》中提及的“学科交叉渗透”理念与《课标（2017年版2020年修订）》中对数学建模的基本要求。‎ 试题设置了单项选择题（包括逻辑题）、多项选择题、填空题（包括多空题）和解答题四种题型，单项选择题和填空题主要加大了试卷考查的覆盖度；逻辑题（试题第6题）主要考查学生的逻辑推理能力与空间想象能力；多项选择题与多空题主要帮助考生在文理合卷之后能够在自己的能力水平上多得分，增加了试卷的区分度，同时也处理好了考试时间和试卷整体题量的关系；解答题主要考查学生对学科必备知识与计算、逻辑推理、创新等能力的掌握情况，同时考查学生书写解答过程的规范性问题。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．ABC 10．BD 11．ACD 12．BD - 16 -‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分（第15题第一空2分，第二空3分），共20分。‎ ‎13．19 14．若a＞b，a＜0且b＜0，则＜．（或若＜，a＜0且b＜0，则a＞b．）‎ ‎15．(4，2) (30－20)π 16． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．选①：根据题意，∵a1＝，a3＝a1a2，{an}是等比数列，∴{an}的公比q＝a1＝，（通过设{an}的公比为q，由a1q2＝a1·a1·q得q＝或q＝0(舍去)的，亦正确）……………………2分 ‎∴an＝·()n－1＝()n．…………………………………………………………………………3分 ‎∵Sn＝2bn－1(n≥2)，∴Sn－1＝2bn－1－1(n≥2)，作差可得bn＝2bn－1(n≥2)，……………5分 又∵b1＝1，∴{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，∴bn＝1·2n－1＝2n－1 ……………7分 令cn＝anbn，则cn＝()n·2n－1，∴，∴{cn}是一个单调递增数列，（通过作差，得{cn}是一个单调递增数列，亦正确）‎ ‎∴不存在k，使得对于任意n∈N*，anbn≤akbk恒成立．…………………………………10分 选②：根据题意，∵a1＝，a3＝a1a2，{an}是等比数列，∴{an}的公比q＝a1＝，（通过设{an}的公比为q，由a1q2＝a1·a1·q得q＝或q＝0(舍去)的，亦正确）……………………2分 - 16 -‎ ‎∴an＝·()n－1＝()n．…………………………………………………………………………3分 ‎∵－4bn＝bn－1(n≥2)，所以bn＝－bn－1(n≥2)，又∵b1＝1，‎ ‎∴{bn}是首项为1，公比为－的等比数列，∴bn＝1·(－)n－1＝(－)n－1 …………………5分 令cn＝anbn，则cn＝()n·(－)n－1＝(－1)n－1··，当n为偶数时，cn＜0；…………6分 当n为奇数时，可令φn＝c2n－1＝·＞0(n∈N*)，∴‎ ‎∴{φn}是一个单调递增数列，（通过作差，得{φn}是一个单调递增数列，亦正确）‎ ‎∴当n为奇数时，{cn}是一个单调递增数列，∴0＜cn≤c1(n为奇数)，…………………8分 又∵当n为偶数时，cn＜0，∴cn≤c1(n∈N*)，‎ ‎∴存在k＝1，使得对于任意n∈N*，anbn≤akbk恒成立．…………………………………10分 选③：根据题意，∵a1＝，a3＝a1a2，{an}是等比数列，∴{an}的公比q＝a1＝，（通过设{an}的公比为q，由a1q2＝a1·a1·q得q＝或q＝0(舍去)的，亦正确）……………………2分 ‎∴an＝·()n－1＝()n．…………………………………………………………………………3分 ‎∵bn＝bn－1＋2(n≥2)，b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，‎ ‎∴bn＝1＋2(n－1)＝2n－1 ……………………………………………………………………5分 令cn＝anbn，则cn＝(2n－1)·()n，若存在k满足题意，至少有，‎ ‎∴，∴，又∵k∈N*，∴k＝3，‎ - 16 -‎ 当n≥3，且n∈N*时，，‎ 当n＝1，2时，，…………7分 ‎∴当n＝1，2，3时，{cn}是一个单调递增数列；当n≥3，且n∈N*时，{cn}是一个单调递减数列，∴cn≤c3(n∈N*) （通过的正负或者通过与1的大小关系，直接推断出{cn}的单调性，从而得到cn≤c3(n∈N*)的，亦正确）‎ ‎∴存在k＝3，使得对于任意n∈N*，anbn≤akbk恒成立．…………………………………10分 ‎18．∵根据题意，S△ABC＝，D为BC边上的中点，∴S△ABD＝·＝，‎ 由三角形面积公式，S△ABD＝AB·BD·sin B，∴AB·BD·sin B＝，…………………2分 在△ABD中，由正弦定理，得，∴3sin∠BAD·sin∠BDA＝1，‎ ‎∴sin∠BAD·sin∠BDA＝ ……………………………………………………………………5分 ‎∵BC＝6AB，D为BC边上的中点，∴BD＝BC＝3AB，‎ 在△ABD中，由正弦定理，得，∴sin∠BAD＝3sin∠BDA，‎ 又∵sin∠BAD·sin∠BDA＝，∴sin∠BAD＝，sin∠BDA＝1，…………………………8分 又∵∠BDA∈(0，π)，∴∠BDA＝90°，又∵AD＝2，∴在△ABD中，AB2＋(2)2＝BD2，又∵BD＝BC＝3AB，∴AB＝1，BD＝3，BC＝6，………………………………………10分 ‎∵∠BDA＝90°，∴cos B＝sin (90°－B)＝sin∠BAD＝，所以在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋36－2×1×6×＝33，∴．…………………………12分 - 16 -‎ ‎19．在三棱锥P－ABC中，取AC的中点O，连接PO，BO得到△PBO，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴PA＝PC，PO⊥AC，又∵DC＝5，AC＝6，‎ ‎∴OC＝3，PO＝OB＝4，又∵PB＝4，∴PO2＋OB2＝PB2，‎ ‎∴PO⊥OB，又∵PO⊥OC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC． ……………………5分 ‎∵AB＝BC，O为AC中点，∴OB⊥OC，∴OB，OC，OP两两垂直，‎ ‎∴以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，‎ 则B(4，0，0)，C(0，3，0)，P(0，0，4)，A(0，－3，0)，设点Q(x1，y1，z1)，由＝，得Q(0，－2，)，∴＝(－4，3，0)，‎ ＝(－4，－2，)，………………………………………………7分 设平面BCQ的法向量n＝(x，y，z)，∴，即，解得，‎ 不妨取z＝15，则n＝(3，4，15)， …………………………………………………………9分 又∵PO⊥平面ABC，∴＝(0，0，4)是平面ABC的一个法向量， …………………10分 ‎∴，设二面角Q－BC－A的平面角为θ，‎ 由图可知θ为锐角，∴cos θ＝，∴二面角Q－BC－A的余弦值为 ……………12分 ‎20．在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35，‎ - 16 -‎ 后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内，‎ 设直方图的面积平分线为15＋x，则0.06x＝0.5－0.35＝0.15，得x＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为15＋2.5＝17.5(千元) …………………………………………3分 补全的2×2列联表如下：‎ 男 女 总计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎………………………………………4分 提出假设，‎ H0：网购迷与性别没有关系，‎ 根据列联表中的数据，可以求得 χ2＝＝≈6.593＞5.024， …………………………………………6分 因为当H0成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”，…………………………………………………………………………………8分 方法一：由表可知，P(甲每次网购采用支付宝支付)＝，P(乙每次网购采用支付宝支付)＝，‎ X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝×××＝，P(X＝1)＝××××2＋××××2＝，‎ P(X＝2)＝×××＋×××＋××××4＝，‎ P(X＝3)＝××××2＋××××2＝，P(X＝4)＝×××＝，‎ ‎∴X的概率分布为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P - 16 -‎ ‎……………………………………10分 ‎∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝ ……………………12分 方法二：由表可知，P(甲每次网购采用支付宝支付)＝，P(乙每次网购采用支付宝支付)＝，‎ 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为Y，Z，‎ 由题意知Y～B(2，)，Z～B(2，)，∴E(Y)＝2×＝1，E(Z)＝2×＝ ………………10分 又∵X＝Y＋Z，∴E(X)＝E(Y＋Z)＝E(Y)＋E(Z)＝，∴X的数学期望为．………………12分 ‎21．由题意知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)，‎ 又∵点P的坐标为(0，1)，·＝－1，∴，解得a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1， ………………………………………………………………4分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立，得(4k2＋1)x2＋8kx－4＝0，其判别式Δ＝(8k)2＋16(4k2＋1)＞0，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，………………………………………………………6分 从而·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]‎ ‎＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2，‎ ‎∴当λ＝－时，－－λ－2＝－，即·＋λ·＝－为定值．………………9分 - 16 -‎ 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，‎ 此时，·＋λ·＝·－·＝－2＋＝－．……………………………11分 综上所述，存在常数λ＝－，使得·＋λ·为定值－．…………………………12分 ‎22．由题意知，f(x)＝ln (2x＋a) (x＞0，a＞0)，∴(x＞0)，∴，‎ 又∵f(1)＝ln (2＋a)，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为，即，由题意，，显然a＝1是方程的解，‎ ‎…………………………………………………2分 令(a＞0)，∴(a＞0)，∴φ(a)在(0，＋∞)上是增函数，∴a＝1是方程的唯一解，∴a的值为1．…………………………………………3分 由（1）可知，f(x)＝ln (2x＋1) (x＞0)，∴g(x)＝ln (2x＋1)－2x (x＞0)，‎ ‎∵(x＞0)，‎ ‎∴g(x)＝ln (2x＋1)－2x在(0，＋∞)上是减函数．……………………………………………4分 ‎∵h(x)＝(x＞0)，∴(x＞0)，‎ ‎∴h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．…………………………………………6分 由题意知，a1＝，an＋1＝f(an)＝ln (2an＋1)，∴an＞0，∴，‎ 由（2）可知，g(x)＝f(x)－2x在(0，＋∞)上是减函数，∴当x＞0时，g(x)＜g(0)＝0，‎ 即f(x)＜2x，令x＝an－1(n≥2)，得f(an－1)＜2an－1，即an＜2an－1，∴当n≥2时，‎ an＜2an－1＜22an－2＜…＜2n－1a1＝，∴成立．…………………………8分 - 16 -‎ 由（2）可知，h(x)＝＝在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即，∴，即，‎ 令x＝an－1(n≥2)，得，即，‎ 当n＝2时，，‎ ‎∵，∴，∴， ……………………………10分 又∵当n≥3时，，‎ ‎∴当n≥2时，成立，‎ 综上所述，当n≥2时，成立．………………………………………12分 - 16 -‎