2013届人教A版理科数学课时试题及解析(41)空间向量及运算

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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(41)空间向量及运算

课时作业(四十一) [第41讲 空间向量及运算]‎ ‎[时间:45分钟  分值:100分]‎ ‎1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-‎2a,则x等于(  )‎ A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)‎ C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)‎ ‎2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与‎2a-b互相垂直,则k的值是(  )‎ A.1 B. C. D. ‎3.与向量a=(6,7,-6)平行的单位向量是(  )‎ A. B.或 C. D.或 ‎4.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是(  )‎ A. B. C. D. ‎5.如图K41-1,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,B1E=A1B1,则等于(  )‎ 图K41-1‎ A. B. C. D. ‎6.已知a⊥b,〈a,c〉=,〈b,c〉=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|=(  )‎ A.17+6 B.17-6 C. D. ‎7.如图K41-2,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )‎ 图K41-2‎ A. B. C.1‎ D. ‎8. 到点A(-1,-1,-1)和点B(1,1,1)的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足(  )‎ A.x+y+z+1=0 B.x+y+z-1=0‎ C.x+y+z=0 D.x+y-z=0‎ ‎9.若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是(  )‎ A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b ‎10.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b的方向上的投影为________.‎ ‎11.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是________.‎ ‎12. 在平面直角坐标系中,由点A(a,0),B(0,b)(ab≠0)确定的直线的方程为+=1,类比到空间直角坐标系中,由A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(abc≠0)确定的平面的方程可以写成________.‎ ‎13.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为________.‎ ‎14.(10分)若(a+b)⊥(‎2a-b),(a-2b)⊥(‎2a+b),试求cos〈a,b〉.‎ ‎15.(13分)把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E、F分别是AD、BC的中点,点O是原正方形的中心,求:‎ ‎(1)EF的长;‎ ‎(2)折起后∠EOF的大小.‎ ‎16.(12分)已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,求点Q的坐标.‎ 课时作业(四十一)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1.B [解析] 由于b=x-‎2a,则x=2b+‎4a=2(-4,-3,-2)+4(2,3,-4)=(0,6,-20).‎ ‎2.D [解析] 由于ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),‎2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),而两向量互相垂直,则有(k-1)×3+k×2+2×(-2)=0,解得k=.‎ ‎3.B [解析] 设与a平行的单位向量为b=(x,y,z),则x2+y2+z2=1,且x=6λ,y=7λ,z=-6λ,所以λ=±,则b=或.‎ ‎4.C [解析] 由于b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0),‎ 则|b-a|===≥.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.C [解析] B点坐标为(1,1,0),E点坐标为,则==.‎ ‎6.C [解析] 由|a+b+c|=求得正确选项为C.‎ ‎7.D [解析] =++,∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.‎ ‎8.C [解析] 由空间两点间距离公式可得x+y+z=0.‎ ‎9.C [解析] 对于实数λ、μ,形如λa+μb的向量都与向量a,b是共面向量.因为a=+(a-b),故选项A中的三个向量共面;因为b=(a+b)-(a-b),故选项B中的三个向量共面;因为a+2b=(a+b)-(a-b),故选项D中的三个向量共面.对选项C,我们设c=λ(a+b)+μ(a-b),则(λ+μ)a+(λ-μ)b-c=0,由于{a,b,c}为空间的一个基底,故a,b,c不共面,所以(λ+μ)a+(λ-μ)b-c=0⇔λ+μ=0,λ-μ=0,-1=0,这显然是不可能成立的,故选项C中的三个向量是不共面的,正确选项为C.‎ ‎10. [解析] 向量a在向量b的方向上的投影等于|a|·cos〈a,b〉=|a|==.‎ ‎11.120° [解析] 由于=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),则cosθ=cos〈,〉==-,‎ 则θ=120°.‎ ‎12.++=1 [解析] 根据平面上点的坐标、距离公式、中点坐标公式到空间的情况进行类比.通过直线方程的结构形式,可以类比得出平面的方程为++=1.‎ ‎13. [解析] 如图,=++=++,‎ 所以|AC′|=||=|++|‎ ‎= ‎==.‎ ‎14.[解答] 由于(a+b)⊥(‎2a-b),‎ 则(a+b)·(‎2a-b)=‎2a2-b2+a·b ‎=2|a|2-|b|2+|a|·|b|cos〈a,b〉‎ ‎=0,即cos〈a,b〉=,‎ 又(a-2b)⊥(‎2a+b),则 ‎(a-2b)·(‎2a+b)=‎2a2-2b2-‎3a·b ‎=2|a|2-2|b|2-3|a|·|b|cos〈a,b〉‎ ‎=0,‎ 即cos〈a,b〉=,‎ 所以=,即5|b|2=8|a|2,即|b|=|a|,‎ 所以cos〈a,b〉===-.‎ ‎15.[解答] 如图,以O点为原点建立空间直角坐标系O-xyz,则A0,-a,0,Ba,0,0,C0,a,0,D0,0,a,E0,-a,a,Fa,a,0.‎ ‎(1)||2=2+2+2=a2,∴|EF|=a.‎ ‎(2)=,=,‎ ·=0×a+×+a×0=-,‎ ‎||=,||=,cos〈,〉==-,‎ ‎∴∠EOF=120°.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] 设=λ=(λ,λ,2λ),‎ 则=(1-λ,2-λ,3-2λ),‎ =(2-λ,1-λ,2-2λ),‎ ‎∴·=(1-λ)·(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-16λ+10=62-,‎ ‎∴当λ=时,·取得最小值-,‎ 此时=,即Q.‎ ‎ ‎
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