2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设复数z满足，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由得，所以，故选C.‎ ‎【考点】 复数的运算，共轭复数 ‎【名师点睛】复数的共轭复数是，据此先化简再计算即可.‎ ‎2．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1）‎ C．（1，+∞） D．（–1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.‎ ‎【考点】复数的运算 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎3．将曲线按曲线伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，然后代入即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由得，代入得 所以 所以将曲线按伸缩变换后得到的曲线方程为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查的是伸缩变换，较简单.‎ ‎4．给出下列结论，正确的个数是（ ）‎ ‎（1）在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；‎ ‎（2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；‎ ‎（3）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：（1）正确；（2）错误，残差平方和越小，拟合效果越好；（3）正确。‎ ‎【考点】回归分析的应用。‎ ‎5．已知复数满足，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则，，故选B.‎ ‎6．圆的圆心的极坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再化为极坐标.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 所以，即 所以此圆的圆心为 所以圆心的极坐标是 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查的是极坐标和直角坐标的互化，较简单.‎ ‎7．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元） ‎ ‎8.2 ‎ ‎8.6 ‎ ‎10.0 ‎ ‎11.3 ‎ ‎11.9 ‎ 支出（万元） ‎ ‎6.2 ‎ ‎7.5 ‎ ‎8.0 ‎ ‎8.5 ‎ ‎9.8 ‎ ‎ ‎ 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题，，所以 ‎．‎ 试题解析：由已知，‎ 又因为，‎ 所以，即该家庭支出为万元．‎ ‎【考点】线性回归与变量间的关系．‎ ‎8．设，，都大于0，则三个数，，的值（ ）‎ A．至少有一个不小于2 B．至少有一个不大于2‎ C．至多有一个不小于2 D．至多有一个不大于2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 ‎【详解】‎ 因为，，都大于0‎ 当且仅当时取得最小值 若，，‎ 则，与前面矛盾 所以三个数，，的值至少有一个不小于2‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.‎ ‎9．在某次考试中，甲、乙、丙三人的成绩互不相等，且满足：①如果乙的成绩不是最高，那么甲的成绩最低；②如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高；由此可知，三人中成绩最低的是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据所给的两个结论，利用假设的方法分析即可 ‎【详解】‎ 假设甲的成绩最低，那么乙的成绩不是最高，丙的成绩最高（不是最低）‎ 与“如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高”矛盾 假设丙的成绩最低，那么甲的成绩不是最高（不是最低），乙的成绩最高，符合题意 假设乙的成绩最低（不是最高），那么甲的成绩最低，矛盾 综上：丙的成绩最低 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查的是推理的知识，较简单.‎ ‎10．已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离即可 ‎【详解】‎ ‎，即，化为 配方为：‎ 可得圆心为，半径 直线展开可得 可得直角坐标方程为：‎ 则点到直线的距离的最大值为：‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 极坐标的相关问题一般是将极坐标方程转化为直角坐标方程处理.‎ ‎11．若数列是等差数列，则数列 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：数列是等差数列，则，‎ 数列也为等差数列 正项数列是等比数列，设首项为，公比为，‎ 则 是等比数列 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．‎ ‎12．观察下图：‎ 则第 行的各数之和等于（ ）‎ A．2017 B．1009 C．1010 D．1011‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图可得：第行的第一个数为，有个数，且这 个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 ‎【详解】‎ 由图可得：第行的第一个数为，有个数 且这个数成公差为1的等差数列 所以第行的各数之和为：‎ 令，得 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.‎ 二、填空题 ‎13．观察下列不等式：1，11，1，12，1，…，由此猜测第n个不等式为_____（n∈N）．‎ ‎【答案】1＋＋＋…＋>‎ ‎【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，‎ 可猜测：1＋＋＋…＋>‎ ‎14．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹方程是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，利用条件即可得出 ‎【详解】‎ 设，， 因为，‎ 即，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹方程是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是复数的模的计算及其几何意义.‎ ‎15．已知，，且恒成立，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由得，然后由基本不等式求出右边的最小值即可 ‎【详解】‎ 因为 由恒成立得恒成立 因为 当且仅当即时等号成立 所以，即 所以的最大值为2‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ ‎1.恒成立问题一般通过分离变量，然后转化为最值问题 ‎2.基本不等式常用来求最值，需满足“一正二定三相等”.‎ ‎16．已知，且对任意都有①；②则的值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，由得，然后算出即可.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以 因为 所以 因为，所以 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题解答的关键是看清条件的实质，算出即可.‎ 三、解答题 ‎17．已知i为虚数单位，当实数m为何值时，复数是：‎ ‎（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？‎ ‎【答案】（1）；（2）且；（3）.‎ ‎【解析】（1）由实数定义可知实部为零，由此可构造方程求得结果；‎ ‎（2）由虚数定义可知虚部不为零，结合分式分母不为零可构造不等式组求得结果；‎ ‎（3）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此可构造方程组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得： 当时，复数是实数 ‎（2）由得：且 当且时，复数是虚数 ‎（3）由得： 当时，复数是纯虚数 ‎【点睛】‎ 本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，关键是熟练掌握实数、虚数和纯虚数的定义；易错点时忽略无论复数为什么类型，分式分母不能为零的要求.‎ ‎18．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）求关于的回归方程；‎ ‎（2）用所求回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款.‎ 附：回归方程中，，‎ ‎【答案】（1）；（2）10.8（千亿元）‎ ‎【解析】（1）利用公式直接算出即可 ‎（2）将代入回归方程算出即可 ‎【详解】‎ 解：（1）列表计算如下：‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎21‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎15‎ ‎36‎ ‎55‎ ‎120‎ 这里，，‎ ‎，‎ 从而，，‎ 故所求回归方程.‎ ‎（2）将代入回归方程，‎ 可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为（千亿元）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是线性回归方程的计算，注意线性回归方程所在的直线经过样本中心点，本题属于简单题.‎ ‎19．东亚运动会将于2013年10月6日在天津举行．为了搞好接待工作，组委会打算学习北京奥运会招募大量志愿者的经验，在某学院招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜欢运动．‎ ‎(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：‎ 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 ‎10‎ ‎16‎ 女 ‎6‎ ‎14‎ 总计 ‎30‎ ‎(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？‎ ‎(3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？‎ 参考公式：K2＝，其中 n＝a＋b＋c＋d.‎ 参考数据：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ k ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）不能；（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利用总数和喜爱运动人数可求得不喜爱运动人数，从而得出喜爱运动、不喜爱运动总人数；‎ ‎（2）利用公式计算出可得结论；‎ ‎（3）从6人中选2人，至少有1人胜任翻译工作的对立事件是没有1人胜任翻译工作，可把6人编号，写出选2人的所有可能，从中得出不胜任翻译的选法数，利用对立事件概率公式可计算概率．‎ 试题解析：‎ ‎　(1)‎ 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 女 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 总计 ‎16‎ ‎14‎ ‎30‎ ‎(2)根据已知数据可求得：‎ K2＝≈1.157 5<2.706，‎ 因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．‎ ‎(3)喜欢运动的女志愿者有6人，设喜欢运动的女志愿者分别为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D会外语，则从这6人中任取2人，共15种取法．其中两人都不会外语的只有EF一种取法．故抽出的志愿者之中至少有1人能胜任翻译工作的概率是P＝1－＝.‎ ‎20．某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（如图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2））.已知图（1）中身高在的男生有16名.‎ ‎（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？‎ ‎（2）根据频率分布直方图，完成下面的列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为身高与性别有关？‎ 身高 身高 总计 男生 女生 总计 参考公式：，其中 参考数据：‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）男生40名，女生40名；（2）列联表见解析，‎ ‎【解析】（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，设抽取的学生中，男生有名，由算出即可 ‎（2）由（1）及频率分布直方图知，身高的男生有（名），身高的女生有 ‎（名），然后列表算出即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由图（1）可知，身高在的男生的频率为，‎ 设抽取的学生中，男生有名，‎ 则，解得.‎ 所以女生有（名）.‎ ‎（2）由（1）及频率分布直方图知，‎ 身高的男生有（名），‎ 身高的女生有（名），所以可得下列列表：‎ 身高 身高 总计 男生 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女生 ‎4‎ ‎36‎ ‎40‎ 总计 ‎34‎ ‎46‎ ‎80‎ 由列联表中数据得的观测值为，‎ 所以能有的把握认为身高与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是统计的相关知识，注意根据观察值与临界值的大小关系得出结论，本题较简单.‎ ‎21．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；‎ ‎（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.‎ 试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知 ‎|OP|=，=.‎ 由|OP|=16得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积 当时， S取得最大值.‎ 所以△OAB面积的最大值为.‎ 点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎22．在数列中，，，．‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）证明不等式，对任意皆成立．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）由条件可构造 ‎，从而数列为等比数列，即可求出；（2）写出数列的通项，分组求和即可；（3）作差后分析差的正负即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：由题设，得 ‎，． ‎ 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． ‎ ‎（2）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为 ‎． 所以数列的前项和． ‎ ‎（3）证明：对任意的，‎ ‎．‎ 所以不等式，对任意皆成立．‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程的思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．‎