四川省德阳市2019届高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题（解析版）

四川省德阳市2019届高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题（解析版）

四川省德阳市高中2016级高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知全集U=R，，则A∪B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在全集U下，先由集合A的补集求出集合A，再与集合B进行并集运算。‎ 详解】‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。‎ ‎2.复数z满足（1+i）=2i（i为虚数单位），则复数z=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简，在由共轭复数的性质即可求出。‎ ‎【详解】复数可变形为 则复数。‎ 故选A.‎ ‎【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。‎ ‎3.展开式中项的系数是（　　）‎ A. 270 B. 180 C. 90 D. 45‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把按照二项式定理展开，可得展开式中项的系数．‎ 详解】∵，‎ ‎∴展开式中项的系数为 270， ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题可用二项式定理展开，即可得出所求系数。‎ ‎4.运行如图程序框图，输出m的值是（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图进行模拟运算即可．‎ ‎【详解】a=16，a≤0否，‎ a=4，a≤0否， ‎ a=2，a≤0否， ‎ a=1，a≤0否， ‎ a=0，a≤0是，输出m=4， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义。‎ ‎5.已知α为锐角，且tan，则cos（2）=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用诱导公式对进行化简，按二倍角公式展开，对进行适当变形，结合即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题的关键是对的变形的处理，结合平方关系即可得出，利用化弦为切简化运算量。‎ ‎6.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y=，则此双曲线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由焦距为8可得,利用渐近线方程得出的关系，再结合即可得出双曲线方程。‎ ‎【详解】依题意可得： ，‎ 即双曲线方程为：，‎ 故选D。‎ ‎【点睛】解决本题的关键是要从双曲线的渐近线方程中得到的关系，从而列出等式。‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图确定该几何体的直观图，利用三角形面积公式、正方形面积公式得出该几何体表面积。‎ ‎【详解】由题意该几何体的直观图是一个四棱锥构成，如下图所示，则该几何体的表面积为 ‎、正方形的面积之和，‎ 即该几何体表面积为 故选C.‎ ‎【点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.‎ ‎8.已知抛物线的准线与圆C：相切，则抛物线的方程为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的准线与圆C：相切，知，‎ 解得．由此能求出抛物线方程．‎ ‎【详解】圆C：，抛物线准线为，‎ 抛物线的准线与圆C：相切，‎ ‎ ，解得．‎ 抛物线方程为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了怎么求抛物线的方程，根据题意确定抛物线的开口方向，是向上还是向下，再由准线方程确定的值.‎ ‎9.已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3，AC=5，则的值是（　　）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可画出图形，并将O和AC中点D相连，O和AB的中点E相连，从而得到，根据数量积的计算公式及条件可得出，而，即可得出的值。‎ ‎【详解】如图，取AC中点D,AB中点E,并连接OD,OE,‎ 则；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】解题的关键是要熟练的运用数量积的公式以及三角形法则。‎ ‎10.公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为1，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得．‎ ‎【详解】解：阴影部分面积等于，‎ 所以根据几何概型得阴影所示月牙形区域的概率．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】求与面积有关的几何概型的概率时，关键是弄清某事件所有结果对应的平面区域的形状并能准确的计算面积，必要时可根据题意构造两个变量，利用平面直角坐标系，找到全部实验结果构成的平面图形及某事件所有结果构成的平面图形，以便求解。‎ ‎11.△ABC中，BD是AC边上的高，A=，cosB=-，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式和正弦定理分别求出，，从而确定的比值。‎ ‎【详解】解：‎ 由正弦定理可知 ‎，即 ‎ ‎ ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】在求解三角形时我们不仅可以利用正弦定理、余弦定理，还可以结合三角形面积公式来解决问题。‎ ‎12.函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将有且只有一个零点转化为与只有一个交点，根据函数的单调性，从而确定实数的取值范围。‎ ‎【详解】当时，函数，没有零点，即。‎ 当时，依题意只有一个根，‎ 等价于与只有一个交点，‎ ‎ ‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。‎ 函数与只有一个交点必须满足：‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】利用导数研究参函数的零点主要有两种方法：‎ ‎（1）利用导数研究函数的最值，从而转化为的图像与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想。‎ ‎（2）分离参变量，即由=0分离参变量，得，研究与的图像的交点问题。（本题采用这一种方法）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为0.8，若连续射击10次，记击中气球的次数为ξ，则D（ξ）=______．‎ ‎【答案】1.6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，求出方差即可．‎ ‎【详解】由题意可知各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为0.8，若连续射击10次，记击中气球的次数为 可得 所以 故答案为：1.6．‎ ‎【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，在解题过程中注意：若，则性质的运用。‎ ‎14.若实数x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值是______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法.‎ ‎【详解】易求得 由变形为，‎ 绘制不等式组表示的可行域，当目标函数经过点处取得最大值， ‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：‎ ‎①截距型，，即 ，主要根据目标函数在坐标轴上的截距判断最值。‎ ‎②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；‎ ‎③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；‎ ‎④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ ‎15.正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，设正四面体ABCD的棱长为，由已知求得，进一步求出外接球半径，代入体积公式求解．‎ ‎【详解】解：如图，‎ 设正四面体ABCD的棱长为，过A作AD⊥BC，‎ 设等边三角形ABC的中心为O，则，‎ ‎，‎ ‎，即．‎ 再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，‎ 则，即．‎ ‎∴正四面体ABCD的外接球的体积为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查正四面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，正确的找到外接球的半径是关键。‎ ‎16.已知函数，若在区间上单调递增，则的最小值是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．‎ ‎【详解】解：函数，若 在区间[-，]上单调递增，‎ ‎，可得 可得，即所以.‎ 所以的最小值为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，求解参数时．可将参数分离出来，转化为求解函数的最值，从而得到参数的取值范围。‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.已知数列的前n项和为，且满足．‎ ‎（1）求证为等比数列；‎ ‎（2）数列{}满足=，求{ }的前n项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由结合已知条件推出为等比数列，即可证明结论．‎ ‎（2）由（1）可得数列的通项公式，进而求出数列{}的通项公式，利用错位相减法即可得出前n项和．‎ ‎【详解】（1） 证明：由，时，‎ 化为：‎ 时，解得 为等比数列，首项为2，公比为2．‎ ‎（2）解：由（1）可得： ‎ 的前n项和 相减可得：‎ 整理为：‎ ‎【点睛】1.利用求通项公式时，要注意检验的情况。‎ ‎2.如果数列是等差数列，数列是等比数列，求数列的前项和时，常采用错位相减法。‎ ‎18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 销量y（kg）‎ ‎120‎ ‎118‎ ‎112‎ ‎110‎ ‎108‎ ‎104‎ ‎（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知表格中数据求得与，则可求得线性回归方程；‎ ‎（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎=112．‎ ‎=═，．‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为；‎ ‎（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．‎ ‎∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，‎ P（ξ=0）=，‎ P（ξ=1）=，‎ P（ξ=2）=，‎ P（ξ=3）=．‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ P ‎ ‎ 期望为E（ξ）=．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求 离散型随机变量的分布列与均值的方法：‎ ‎（1）理解离散型随机变量的意义，写出的所有可能取值；‎ ‎（2）求取每个值的概率；‎ ‎（3）写出的分布列；‎ ‎（4）根据均值的定义求 ‎19.如图四棱锥中，平面平面， ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由勾股定理得到，再结合两平面垂直的性质，得到平面，从而平面平面．‎ ‎（2）以B为原点，BC为轴，BA为轴，过B作平面ABCD的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值．‎ ‎【详解】证明：（1）‎ ‎，‎ 又平面 平面平面 平面平面 平面 平面，∴平面平面．‎ 解：（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，‎ ‎=（0，4，0），=（0，4，a），=（2，2，0），‎ 设平面PBD的法向量=，‎ 则，取，得=（1，-1，），‎ ‎∵AB与平面PBD所成的角的正弦值为，‎ ‎∴| ＜＞|===，‎ 解得=，∴=（1，-1，），‎ ‎=（2，0，0），=（0，4，），‎ 设平面PBC的法向量=，‎ 则，取z=3，得=（0，-2，3），‎ 设二面角C-PB-D的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角C-PB-D的余弦值为．‎ ‎【点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题, 主要体现在以下几个方面：‎ ‎① 求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；‎ ‎② 求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；‎ ‎③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.多用空间向量解决.多用空间向量解决.‎ ‎20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的动点P到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，Q是椭圆C的左顶点，若|+|=||，试证明直线l经过不同于点Q的定点．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，求解可得的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由，得，设直线方程为 ‎ 联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积可得即或，验证判别式后可得直线经过不同于点Q的定点．‎ ‎【详解】（1）解：由已知可得，，解得 ‎∴椭圆的方程；‎ ‎（2）证明：由|+|=||，得，‎ 设直线方程为 ‎ 联立，得 ‎，．‎ 由题意，Q（-2，0），则，，‎ 由，得 ‎==0，‎ ‎∴，‎ 即 即或．‎ 当时，满足△＞0，此时直线方程：，过定点（）；‎ 当时，满足△＞0，此时直线方程为：y=，过定点Q（-2，0），不合题意．‎ 综上，直线经过不同于点Q的定点（）．‎ ‎【点睛】与圆锥曲线有关的定点问题主要步骤为：‎ 第一步：求（或设）方程 求出（或设出）圆锥曲线和直线的方程。‎ 第二步：代入或联立 将直线方程代入圆锥曲线方程，或联立直线方程与圆锥曲线方程，消去（或者），得到关于（或 ‎）的一元二次方程。‎ 第三步：列式 列出关于直线方程的系数的方程（组）或有关参数的方程（组）或写出与定点有关的式子，并化简。‎ 第四步：得出结论 ‎21.已知函数 ‎（1）当时，求在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，是否存在两个极值点，若存在，求实数的最小整数值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程． ‎ ‎（2）求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为有两个不同的根，构造函数转化为函数与轴的交点问题，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】（1）函数导数 当时，‎ 即在点（1，）处的切线斜率，‎ 则对应的切线方程为即．‎ ‎（2）当时，若存在两个极值点，‎ 则有两个不同的解，‎ 即有两个根，‎ 即有两个不同的根，‎ 设 当时，‎ 所以上单调递增，不符合题意。‎ 当时，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增 要使函数与轴有两个不同的交点，必须 ‎，得 设，则，‎ 即在（1，+∞）上为减函数，‎ 存在使得.‎ 即当时，‎ 此时有最小正整数，使得函数与轴有两个不同的交点.‎ 即当时，是存在两个极值点，此时最小的的整数值为4‎ ‎【点睛】本题利用数形结合思想和函数与方程思想，先将函数的零点问题转化为函数的图像的交点问题，利用数形结合思想，通过直函数图像与轴的交点个数来确定参数的取值范围。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（α为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，求|PQ|的最小值及此时P的坐标．‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据消参即可得到的普通方程，由可得 的直角坐标方程． ‎ ‎（2）设出点的直角坐标,利用点到直线的距离公式求出最小距离以及点P的坐标。‎ ‎【详解】（1）因为，∴，‎ ‎①2+②2得，即的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为 由可得的直角坐标方程为： ‎ ‎（2）点P在曲线上，‎ 设点的直角坐标为 又曲线为直线 点到的距离为 ‎ 当且仅当时，‎ ‎ ，‎ ‎ P点坐标为.‎ 综上，点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，则|PQ|的最小值为，此时P点坐标为．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、直线的极坐标方程，曲线上的点，到直线上一点的距离的最小值的求法等知识，在求点到直线最小距离时，先用参数形式写出点P的直角坐标，代入点到直线的距离公式结合辅助角公式得到距离的最小值．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时利用分段函数表示，再求不等式的解集； ‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，再将不等式转化为化为，即可求得的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 即=，‎ 不等式即为或或，‎ 即有或或，‎ 则为或，‎ 所以不等式的解集为{ 或}；‎ ‎（2）‎ 若恒成立，则 即或 解得： 或 ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】（1）在解时，常用零点分段法将绝对值函数转化成分段函数的形式来求解；‎ ‎（2）在解决型的不等式恒成立问题时，可利用绝对值三角不等式对不等式进行化简。‎