宁夏石嘴山市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

石嘴山第三中学第三次适应性训练 理科数学 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：,‎ ‎,所以，故选C．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎2.若是异面直线，且//平面，那么与平面的位置关系是（ ）‎ A. B. 与相交 C. D. 以上三种情况都有可能 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 若a、b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得：b∥a或者b⊂α或者b与α相交．‎ 故选：D．‎ 点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面之间的相互平行、相互垂直的判定定理与性质定理，熟记相关的结论 ‎3.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可.‎ 详解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”，‎ 命题“”的否定是 ‎，故选B.‎ 点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等，‎ ‎ 所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.‎ ‎4.过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.‎ ‎【详解】由得两条直线交点坐标为：‎ 又所求直线与垂直 直线斜率为：‎ 所求直线为：，即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.‎ ‎5.在长方体中，，则异面直线与 所成角的余弦值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在长方体中，连接，可得,得即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】在长方体中，连接，可得,‎ 所以异面直线与所成的角，即为直线与直线所成的角，‎ 即为异面直线与所成的角，‎ 在长方体中，设，‎ 则，‎ 在中，由余弦定理得，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（ ）．‎ A. 1 B. ‎6 ‎C. 7 D. 6或7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列 的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎7.四棱锥的底面为正方形，底面，，，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.‎ ‎【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：‎ 由图可知在长方体中的四棱锥完全满足题意，‎ 故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，‎ 故外接球半径，‎ 故该球的表面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.‎ ‎8.设圆的圆心为，点是圆内一定点，点为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由垂直平分线的性质可知，从而得到，可知轨迹满足椭圆定义，可得，进而求得，从而得到所求轨迹方程.‎ ‎【详解】为垂直平分线上的一点 ‎ 点的轨迹是以为焦点的椭圆 ， ‎ 的轨迹方程为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够通过垂直平分线的性质得到所求动点轨迹满足椭圆定义.‎ ‎9.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，得到该函数的单调区间，只需让成为函数单调区间的子集即可.‎ ‎【详解】因为，其定义域为，故可的 令，解得，‎ 故只需让成为的子集，‎ 即且 解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用求导求函数的单调区间，属基础题.‎ ‎10.已知两圆和恰有三条公切线，若， ，且，则最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到的等量关系，再根据均值不等式求最小值即可.‎ ‎【详解】因为两圆和恰有三条公切线，‎ 故两圆外切，则圆心到圆心的距离等于半径和半径1的和，‎ 即，整理得，‎ 故 当且仅当时，即时取得最小值1.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.‎ ‎11.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵kAB==1,‎ ‎∴直线AB的方程为y=x-3.‎ 由于双曲线的焦点为F(3,0),‎ ‎∴c=3,c2=9.‎ 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),‎ 则-=1.整理,得 ‎(b2-a2)x2+‎6a2x‎-9a2-a2b2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2==2×(-12),‎ ‎∴a2=‎-4a2+4b2,∴‎5a2=4b2.‎ 又a2+b2=9,‎ ‎∴a2=4,b2=5.‎ ‎∴双曲线E的方程为-=1.故选B.‎ ‎12.已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．‎ ‎【详解】函数f（x）的图象如下图所示：‎ 当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，‎ ‎|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，‎ ‎|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，‎ 且x1+x2+x3+x4＝8，‎ 若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，‎ 则k恒成立，‎ 由[（x1+x2）﹣48]≤2‎ 故k≥2，‎ 故实数k的最小值为2，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上 ‎13.已知，则的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】， ‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎14.已知向量，，则在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果.‎ ‎【详解】在方向上的投影为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量投影的计算公式，属基础题.‎ ‎15.双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线平行则斜率相等，求得之间的等量关系，再求离心率即可.‎ ‎【详解】因为渐近线与直线平行，‎ 故可得，根据双曲线离心率的计算公式可得：‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.‎ ‎16.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第棵树种植在点处，其中，，当时，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案第棵树种植点的坐标应为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合累加法，求得与，再代值计算即可.‎ ‎【详解】由题意知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故可得 解得，当时，；‎ ‎，当时，.‎ 故第棵树种植点的坐标应为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.‎ 三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎17.如图，在平面四边形中，与为其对角线，已知，且．‎ ‎（1）若平分，且，求的长；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据余弦的倍角公式，求得的余弦值，再在三角形中利用余弦定理即可求得；‎ ‎（2）先利用内角和为，求得，再在三角形中利用正弦定理即可求得.‎ ‎【详解】（1）若对角线平分，即，‎ 则，又，，‎ 在中，，，，由余弦定理可得 ‎，即，‎ 解得，或（舍去），‎ 故的长为；‎ ‎（2），‎ 又，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理，‎ 可得，‎ 即的长为．‎ 点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属综合性基础题.‎ ‎18.在等差数列{an}中，，其前n项和为，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12， ．‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比，等差数列的公差，即可求解；（Ⅱ）利用裂项法求和，即可得到结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设的公差为，∵，‎ ‎∴，解得或 (舍)，. ‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴，‎ ‎∴，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎19.已知.‎ ‎(1)求的最小正周期及单调递减区间;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角的正弦公式，余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；‎ ‎（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴的最小正周期.‎ 由，得，‎ ‎∴的单调递减区间为.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 当，即时，函数取得最小值，为；‎ 当，即时，函数取得最大值，为.‎ 故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周期，单调区间，最值，属于中档题.‎ ‎20.如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；‎ ‎（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：‎ 在中，因为 为的中点，‎ ‎，且，‎ 又为的中点，，‎ ‎，且，‎ ‎，且，‎ 四边形为平行四边形，‎ 又平面，平面，‎ 平面，即证.‎ ‎（2）取中点，连结，，则，平面，‎ 以为原点，分别以，，为，，轴，‎ 建立空间直角坐标系，如下图所示：‎ 则，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则，则，‎ 令．则，‎ 同理得平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.‎ ‎21.已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上存在一点，满足.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a，再根据b2＝a2﹣c2＝3，可得椭圆的方程;（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，表示出△F1AB的周长与面积，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为．‎ ‎【详解】（1）设，则内，‎ 由余弦定理得，化简得，解得 故，得 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）设，设得内切圆半径 的周长为 所以 根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为 由得 由韦达定理得 ‎ ‎ 令，则 令，则时，单调递增，‎ 即当时，的最大值为，此时.‎ 故当直线的方程为时，内圆半径的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；‎ ‎（3）证明：且 ‎【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数定义域，再求导，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；‎ ‎（2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性以及最大值，即可求得参数的取值范围；‎ ‎（3）根据（1）中的结论，构造不等式，进而利用数列求和，即可证明.‎ ‎【详解】（1）易知的定义域为，又 当时，；当时，‎ 在上是增函数，在上是减函数．‎ ‎（2）当时，，不成立，故只考虑的情况 又 当时，当时，；当时，‎ 在上是增函数，在时减函数 此时 要使恒成立，只要即可 解得：．‎ ‎（3）当时，有在恒成立，‎ 且在上是减函数，，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 即，‎ 即：成立．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数对具体函数单调性的求解，由不等式恒成立求参数的范围，以及证明不等式恒成立；本题第三问要学会善于利用题目中的结论去证明不等式.‎ ‎ ‎