2013陕西卷（文）数学试题

2013陕西卷（文）数学试题

‎2013·陕西卷(文科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁M为(　　)‎ A．(－∞，1) B．(1，＋∞) ‎ C．(－∞，1] D．[1，＋∞)‎ ‎1．B　[解析] M＝{x|1－x≥0}＝{x|x≤1}，故∁M＝ (1，＋∞)．‎ ‎2． 已知向量＝(1，m)，＝(m，2)，若∥，则实数m等于(　　)‎ A．－ B. C．－或 D．0‎ ‎2．C　[解析] 因为∥，且＝(1，m)，＝(m，2)，可得＝，解得m＝或－.‎ ‎3． 设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)‎ A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac ‎3．B　[解析] 利用对数的运算性质可知C，D是错误的．再利用对数运算性质logab·logcb≠logca.又因为logab·logca＝×＝＝logcb，故选B.‎ ‎4． 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)‎ 输入x；‎ If x≤50 Then y＝0.5*x Else y＝25＋0.6*(x－50)‎ End If 输出y.‎ A．25 B．30 C．31 D．61‎ ‎4．C　[解析] 算法语言给出的是分段函数y＝输入x＝60时，y＝25＋0.6(60－50)＝31.‎ ‎5．， 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)‎ 图1－1‎ A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45‎ ‎5．D　[解析] 利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.‎ ‎6．， 设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0‎ D．若z是纯虚数，则z2<0‎ ‎6．C　[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则 即b＝0，故z是实数，A正确．若z2<0，则即 故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则 z2＝－b2<0，故D正确．‎ ‎7． 若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是(　　)‎ A．－6 B．－2 C．0 D．2‎ ‎7．A　[解析] 结合题目可以作出y＝∣x∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－2，2)时，z取最小值，为2×(－2)－2＝－6.‎ ‎8． 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎8．B　[解析] 由题意点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则满足a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线ax＋by＝1与圆O相交．‎ ‎9． 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎9．A　[解析] 结合已知bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，即sin (B＋C)＝sin 2A⇒sin A＝sin 2A⇒sin A＝1，故A＝90°，故三角形为直角三角形．‎ ‎10． 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有(　　)‎ A．[－x]＝－[x] B.＝[x]‎ C．[2x]＝2[x] D．[x]＋＝[2x]‎ ‎10．D　[解析] 可取特值x＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A错．[x＋]＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B错. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C错．[x]＋ [x＋]＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D正确．‎ ‎11． 双曲线－＝1的离心率为________．‎ ‎11.　[解析] 由双曲线方程中a2＝16, b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，则e＝＝.‎ ‎12． 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表面积为________．‎ 图1－2‎ ‎12．3π　[解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S＝×4π×12＋π×12＝3π.‎ ‎13． 观察下列等式 ‎(1＋1)＝2×1‎ ‎(2＋1)(2＋2)＝22×1×3‎ ‎(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为______________．‎ ‎13．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)‎ ‎[解析] 结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n项，且从(n＋1)一直到(n＋n)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为(2n－1)，故所求表达式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．‎ ‎14． 在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．‎ 图1－3‎ ‎14．20　[解析] 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y，则＝，所以y＝40－x，又有xy ≤＝400，当且仅当x＝y时等号成立，则x＝40－x，即x＝20，故矩形面积最大时x的值为20.‎ ‎15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)‎ A． (不等式选做题)设a，b∈，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．‎ ‎(－∞，＋∞)　[解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又由|a－b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．‎ B． (几何证明选做题)如图1－4所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．‎ 图1－4‎ 　[解析] 利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝.‎ C． (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．‎ ‎(1，0)　[解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y2＝4x，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．‎ ‎16．， 已知向量＝，＝(sin x，cos 2x)，x∈，设函数f(x)＝‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎16．解： f(x)＝·(sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sin cos 2x＝sin .‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ 由正弦函数的性质，‎ 当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，‎ 当2x－＝π，即x＝时，f＝，‎ ‎∴f(x)的最小值为－.‎ 因此，f(x)在[0，]上最大值是1，最小值是－.‎ ‎17． 设Sn表示数列的前n项和．‎ ‎(1)若是等差数列，推导Sn的计算公式；‎ ‎(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断是否为等比数列，并证明你的结论．‎ ‎17．解： (1)方法一：设的公差为d，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，‎ 又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，‎ ‎∴2Sn＝n(a1＋an)，‎ ‎∴Sn＝.‎ 方法二：设的公差为d，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，‎ 又Sn＝an＋an－1＋…＋a1‎ ‎＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，‎ ‎∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]‎ ‎＝2na1＋n(n－1)d，‎ ‎∴Sn＝na1＋d.‎ ‎(2)是等比数列．证明如下：‎ ‎∵Sn＝，‎ ‎∴an＋1＝Sn＋1－Sn ‎＝－＝＝qn.‎ ‎ ∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有 ＝＝q.‎ 因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．‎ ‎18．， 如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.‎ 图1－5‎ ‎(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；‎ ‎(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．‎ ‎18．解： (1)证明：由题设知，BB1綊DD1，‎ ‎∴四边形BB1D1D是平行四边形，‎ ‎∴BD∥B1D1.‎ 又BD⃘平面CD1B1，‎ ‎∴BD∥平面CD1B1.‎ ‎∵A1D1綊B1C1綊BC，‎ ‎∴四边形A1BCD1是平行四边形，‎ ‎∴A1B∥D1C.‎ 又A1B⃘平面CD1B1，‎ ‎∴A1B∥平面CD1B1.‎ 又∵BD∩A1B＝B，‎ ‎∴平面A1BD∥平面CD1B1.‎ ‎(2)∵A1O⊥平面ABCD，‎ ‎∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．‎ 又∵AO＝AC＝1，AA1＝，‎ ‎∴A1O＝＝1，‎ 又∵S△ABD＝××＝1，‎ ‎∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.‎ ‎19． 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ ‎(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，‎ 其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎6‎ ‎(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．‎ ‎19．解： (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从和中各抽取1人的所有结果为：‎ 图1－6‎ 由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.‎ ‎20．， 已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．‎ ‎(1)求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．‎ ‎20．解： (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.‎ 由此得|4－x|＝2.‎ 化简得＋＝1，‎ 所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)方法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，‎ 其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0.‎ 由求根公式得，x1＋x2＝－，①‎ x1x2＝.②‎ 又因A是PB的中点，故x2＝2x1.③‎ 将③代入①，②，得 x1＝－，x＝，‎ 可得＝，且k2>，‎ 解得k＝－或k＝，‎ 所以，直线m的斜率为－或.‎ 方法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎∵A是PB的中点，‎ ‎∴x1＝，①‎ y1＝.②‎ 又＋＝1，③‎ ＋＝1，④‎ 联立①，②，③，④解得或 即点B的坐标为(2，0)或(－2，0)，‎ 所以，直线m的斜率为－或.‎ ‎21．， 已知函数f(x)＝ex，x∈‎ ‎(1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；‎ ‎(3)设a0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，‎ 即φ′(x)在上的最小值为φ′(0)＝0，‎ ‎∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在上是单调递增的，‎ ‎∴φ(x)在上有唯一的零点．‎ 故曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点．‎ 方法二：∵ex>0，x2＋x＋1>0，‎ ‎∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于 曲线y＝与直线y＝1公共点的个数．‎ 设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点．‎ 又φ′(x)＝＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在上单调递减，‎ ‎∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，‎ 故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．‎ ‎(3)－f＝－e ＝＝.‎ 设函数u(x)＝ex －－2x(x≥0)，则u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0.‎ ‎∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴u(x)单调递增．‎ 当x>0时，u(x)>u(0)＝0.‎ 令x＝，则得e－e－(b－a)>0.‎ ‎∴>f.‎