陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

陕西省宝鸡市金台区2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

‎2019-2020学年度第一学期期末检测题 高二理科数学 ‎ 一、选择题 ‎ ‎1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）．‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了..‎ ‎【详解】因为原命题”若，则”是假命题;所以其逆否命题也是假命题,‎ 因为逆命题”若,则”是真命题.所以否命题也是真命题.‎ 所以命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个.‎ 故选B.‎ 点睛】本题考查了四种命题,属基础题.‎ ‎2.若向量，，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的坐标，再求模长即可.‎ ‎【详解】则=‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.‎ ‎3.命题“存在，使得成立”的否定是（ ）‎ A. 对任意的，成立 B. 对任意的，成立 C. 存在，成立 D. 不存在，使得成立 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：利用特称命题的否定分析解答得解.‎ 详解：由题得命题“存在，使得成立”的否定是：对任意的，成立.‎ 故答案为A.‎ 点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题,特称命题的否定.‎ ‎4.对于实数a，b，则“a＜b＜‎0”‎是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可．‎ ‎【详解】若“”即，则“”，故“”是“”的充分条件， 若“”，假设，则“”，得且， 故“”是“” 的不必要条件；对于实数，则“”是“” 充分不必要条件,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，是此类问题常用的思维方法，是基础题．‎ ‎5.已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线渐近线方程可知；利用椭圆焦点坐标和双曲线中可构造方程求得，进而得到双曲线方程.‎ ‎【详解】由双曲线渐近线方程知：，即 椭圆焦点坐标为 ‎ ‎，解得： ‎ 双曲线的方程为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题.‎ ‎6.给出如下四个命题：‎ ‎①若“且”为假命题，则均为假命题；‎ ‎②命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题；‎ ‎③若是的必要条件，则是的充分条件；‎ ‎④在中，“”是“”充要条件.‎ 其中正确的命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎①：若“且”为假命题，则中至少有一个假命题，故①错误；‎ ‎②：若只有一个零点,则当时,只有一个零点,或当时即,故只有一个零点,有或,故②不正确;‎ ‎③若是的必要条件，则q是p的充分条件，因为若,所以若是的必要条件，则是的充分条件；故③正确；‎ ‎④：充分性：中，若，则a>b，根据正弦定理，可得到 ，反之也成立，故④项正确.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.如图，分别是四面体的边的中点，是的中点，设 ，用表示，则( ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量的加法和减法的运算，将表示为的线性和的形式.‎ ‎【详解】依题意，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于基础题.‎ ‎8.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 （ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出抛物线的焦点，‎ 再由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得求解即可．‎ ‎【详解】由抛物线，所以抛物线的焦点为，‎ 又因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，‎ 所以 解得或（舍去） ‎ ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的定义，属于基础题．‎ ‎9.已知方程的曲线为，下面四个命题中①当时，曲线一定是椭圆；②当或时，曲线一定是双曲线；③若曲线是焦点在轴上的椭圆，则；④若曲线是焦点在轴上的双曲线，则；正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在①中，时，曲线是圆；②当或时，；在③中，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则；在④中，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 ‎．‎ ‎【详解】解：由方程的曲线为，知：‎ 在①中，当时，曲线不一定是椭圆，比如时，曲线是圆，故①错误；‎ ‎②当或时，，曲线一定是双曲线，故②正确；‎ 在③中，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故③正确；‎ 在④中，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故④正确．‎ 故正确的有个.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查圆锥曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．‎ ‎10.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案.‎ ‎【详解】若“，”为真命题，可得恒成立 只需，‎ 所以时，，”为真命题，‎ ‎“，”为真命题时推出，‎ 故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，‎ 选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题.‎ ‎11.如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是( ) ‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.‎ ‎【详解】以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：‎ ‎,，，，‎ 向量,，‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.已知椭圆左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可知，转化成关于，，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，则椭圆的离心率可得．‎ ‎【详解】据题意，，，，‎ ‎，即，即.‎ 又，，同除得，即（舍）或.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13.抛物线的准线方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.‎ ‎【详解】抛物线方程可化为： 抛物线准线方程为：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.‎ ‎14.若，且为共线向量,则的值为______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两向量共线的坐标表示，列出方程求出的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ 且为共线向量, ‎ 存在实数，使得，‎ 即，解得，‎ 则，故答案为6.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量共线的性质，属于简单题. 非零向量共线的充要条件是存在实数使得.‎ ‎15.已知p:(x+2)(x-3)≤0,q:|x+1|≥2,若“p∧q”为真,则实数x的取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出p，q的x的范围，再利用命题“p∧q”为真即可得出 ‎【详解】p：（x+2）（x-3）≤0，解得-2≤x≤3． q：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤-3． 命题“p∧q”为真，∴ ，‎ 解得1≤x≤3． 则实数x的取值范围是[1，3]． 故答案为[1，3]．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.已知两定点，点在椭圆上，且满足，则=_______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P(x，y)，可得P的轨迹方程为：（x≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得，可得的值.‎ ‎【详解】解：设P(x，y)，由，，可得点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的右支，且‎2a=2，c=2，b=，‎ P的轨迹方程为：（x≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得：，‎ 可得，‎ ‎===9,‎ 故答案：9.‎ ‎【点睛】本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.‎ 三、解答题 ‎ ‎17.写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：原命题是“若则”，逆命题是“若 则”，否命题是“若则”，逆否命题是“若则”，互为逆否命题的命题是同真同假.‎ 试题解析：∵原命题是“若，则且”，‎ ‎∴它的逆命题是：若且，则，是真命题；‎ 否命题是：若，则或，是真命题；‎ 逆否命题是：若或，则，是真命题.‎ ‎18.设椭圆的焦点为，且该椭圆过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若椭圆上的点满足，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；(2)由垂直关系得到又点在椭圆上，即可解得的值.‎ ‎【详解】(1)由题意得，，且，解得 ‎，所以椭圆的标准方程为. ‎ ‎（若用定义先解出也可，或用通径长解出基本量也可）‎ ‎（2）点满足，则有且，则 ‎① ‎ 而点在椭圆上，则②‎ 联立①②消去，得，所以.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，椭圆的几何性质，以及数量积的代数运算，属于基础题.‎ ‎19.已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）过作直线，交（1）中轨迹于两点，若中点的纵坐标为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用直接法，求动圆圆心P的轨迹T的方程；‎ ‎（2）法一：由（1）得抛物线E的焦点C（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，求出线段AB中点的纵坐标，得到直线的斜率，求出直线方程．‎ 法二：设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与抛物线方程，设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理，求出m即可．‎ ‎【详解】（1）设P（x，y），则由题意，|PC|﹣（x），‎ ‎∴x+1，‎ 化简可得动圆圆心P的轨迹E的方程为y2＝4x；‎ ‎（2）法一：由（1）得抛物线E方程为y2＝4x，焦点C（1，0）‎ 设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则 两式相减．整理得 ‎∵线段AB中点的纵坐标为﹣1‎ ‎∴直线l的斜率 直线l的方程为y﹣0＝﹣2（x﹣1）即2x+y﹣2＝0.‎ 法二：由（1）得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点C（1，0）‎ 设直线l的方程为x＝my+1‎ 由消去x，得y2﹣4my﹣4＝0‎ 设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB中点的纵坐标为﹣1‎ ‎∴‎ 解得 直线l的方程为即2x+y﹣2＝0.‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，难度较小．‎ ‎20.如图，在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AA‎1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA‎1C1C， AB=3，BC=5.‎ ‎（1）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（3）求点C到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面ABC⊥平面AA‎1C1C. (2)利用空间向量法求二面角A1-BC1-B1的余弦值. (3)利用空间向量法求点C到平面的距离.‎ 试题解析：‎ 证明：（1）因为为正方形，所以.‎ 因为平面ABC⊥平面AA‎1C1C，且平面ABC平面AA‎1C1C，所以⊥平面ABC. ‎ ‎（2）由（1）知，⊥AC, ⊥AB.‎ 由题意知，所以.‎ 如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则 ‎.‎ 设平面的法向量为，则即 令，则，所以.‎ 同理可得，平面的法向量为.‎ 所以.‎ 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. ‎ ‎（3）由（2）知平面的法向量为，‎ 所以点C到平面距离.‎ 点睛：本题主要是利用空间向量法解答，所以大家主要是在计算时要认真仔细，不要计算出错.‎