2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§3-6　函数的图象（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§3-6　函数的图象（讲解部分）

考点一　函数图象的识辨 1.利用描点法作函数的图象 (1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单 调性、周期性等);(4)列表(尤其注意特殊点,零点,最大值与最小值,与坐标 轴的交点);(5)描点;(6)连线.(用平滑的曲线连点) 2.图象变换 (1)平移变换 考点清单 (2)对称变换 y = f ( x )   ①      y =- f ( x )     ; y = f ( x )   ②      y = f (- x )     ; y = f ( x )   ③      y = f (2 a - x )     ; y = f ( x )   ④      y =- f (- x )     . (3)伸缩变换 y = f ( x )   ⑦      y = f ( ωx )     ; y = f ( x )   ⑧      y = Af ( x )     . (4)翻折变换 y = f ( x )   ⑨      y =| f ( x )|     . y = f ( x )   ⑩      y = f (| x |)     . 3.函数图象的对称性 (1)若 y = f ( x )满足 f ( a + x )= f ( b - x ),则 f ( x )的图象关于直线        x =        对称. (2)若 y = f ( x )满足 f ( x )=2 b - f (2 a - x ),则 f ( x )的图象关于点   　( a , b )     中心对称. (3)函数 y = f ( a + x )与 y = f ( b - x )的图象的对称轴方程为        x =        . (4)函数 y = f ( x - a )+ b 与 y =- f ( a - x )+ b 的图象关于点   　( a , b )     对称. 考点二　函数图象的应用 　　函数图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,是体现数形结合思 想的基础,应解决好以下三个方面的问题: (1) 作图 :应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一部分点; (2) 识图 :在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势、具有的 性质、解析式与图象的关系; (3) 用图 :函数的图象形象地显示了函数的性质,充分利用图象提供的信息 可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等问题,利用函 数 y = f ( x )与 y = g ( x )的图象交点个数判断 f ( x )= g ( x )的解的个数及求不等式的 解集等. 考法一 　作函数的图象 知能拓展 例1 　作出下列函数的图象:(1) y =   ;(2) y =   . 解析　 (1)首先要化简解析式: y =   易知 y =   为奇函数,作出 y = x 2 , x >0的图象后,再根据奇函数的图象关于原点 对称,作出 x <0时的图象,如图①所示. (2) y =   =1+   ,先作出 y =   的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上 平移一个单位,即得 y =   的图象,如图②所示. 方法总结 　画函数图象的一般方法: 1.直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画 图象. 3.图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出. 提醒 　 (1) 画函数的图象一定要注意定义域 . (2) 利用图象变换法时要注意变换顺序 , 对不能直接找到熟悉的基本初等函 数的要先变形 , 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式 的影响 . 考法二 　识图与辨图问题的常见类型及解题策略 例2 　(1)(2019山西太原名校联盟,4)函数 y = x 2 -2 | x | ( x ∈R)的部分图象可能是   (　　) (2)(2018安徽淮北一模,8)函数 f ( x )=   +ln| x |的图象大致为   (　　) (3)已知函数 y = f ( x )的大致图象如图所示,则函数 y = f ( x )的解析式可能为   (　　) A. f ( x )=e x ln x 　    B. f ( x )=e - x ln| x | C. f ( x )=e x ln| x |　    D. f ( x )=e | x | ln| x | 解析 　(1)显然函数是偶函数,排除B,D.取 x =0,则 y =-1.排除A.故选C. (2)当 x <0时,函数 f ( x )=   +ln(- x ),易知函数 f ( x )=   +ln(- x )在(- ∞ ,0)上递减,排除 C,D;当 x >0时,函数 f ( x )=   +ln x , f (2)=   +ln 2 ≠ 2,故排除A,选B. (3)由题图知,函数定义域中有负数,排除选项A.函数不是偶函数,排除选项 D.当 x →+ ∞ 时, f ( x )增长速度越来越快,与B选项不符合,故排除B.故选C. 答案　 (1)C　(2)B　(3)C 方法总结 　识图与辨图问题的常见类型及解题策略 1.由解析式确定函数图象.此类问题往往需要化简函数解析式,利用函数的 性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法. 2.已知函数图象确定相关函数的图象.此类问题主要考查函数图象的变换 (如平移变换、对称变换等),要注意函数 y = f ( x )与 y = f (- x )、 y =- f ( x )、 y = - f (- x )、 y = f (| x |)、 y =| f ( x )|等的相互关系. 3.借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析 式后再判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的 位置处考察图象的变化特征,从而作出选择. 考法三 　函数图象的应用 例3　 已知函数 f ( x )=   若 a , b , c 互不相等,且 f ( a )= f ( b )= f ( c ),则 a + b + c 的取值范围是   (　　) A.(1,2 017)　    B.(1,2 018)　     C.[2,2 018]　    D.(2,2 018) 解析 　设 f ( a )= f ( b )= f ( c )= m ,作出函数 f ( x )的图象与直线 y = m ,如图所示,不妨设 a < b < c ,当0 ≤ x ≤ 1时,函数 f ( x )的图象与直线 y = m 的交点分别为 A , B ,由正弦曲 线的对称性,可得 A ( a , m )与 B ( b , m )关于直线 x =   对称,因此 a + b =1.令log 2 017 x = 1,解得 x =2 017,结合图象可得1< c <2 017,因此可得2< a + b + c <2 018,即 a + b + c ∈(2,2 018).故选D. 答案     D 方法总结 　利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶 性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与 图象特征的对应关系. 例4　 若关于 x 的不等式   > x + m 的解集为   .求实数 m 的值. 解题导引 　作出 y =   =(2 x +1   , y = x + m 的图象,根据图象的上下位置求 出 m 的值. 解析 　作函数 y =   及 y = x + m 的图象如图所示,则原不等式的解集等价 于函数 y =   的图象在 y = x + m 的图象上方部分的横坐标 x 的取值范围.由 图可知,要使原不等式的解集为   ,则 x =4是两图象的交点的横坐 标,即方程   = x + m 的解.∴ m =   -4=-1.   方法总结 　利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化 为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解. 例5　 若函数 f ( x )=   与 g ( x )=| x + a |+1的图象上存在关于 y 轴对称的 点,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.R　　B.(- ∞ ,-e]　     C.[e,+ ∞ )　    D. ⌀ 解题导引       解析 　设 y = h ( x )与 y = f ( x )的图象关于 y 轴对称, 则 h ( x )= f (- x )=   作出 y = h ( x )与 y = g ( x )的函数图象,如图所示: ∵ f ( x )与 g ( x )的图象上存在关于 y 轴对称的点, ∴ y = h ( x )与 y = g ( x )的图象有交点,∴- a ≤ -e,即 a ≥ e.故选C. 答案     C 方法总结 　利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f ( x )=0的根就是函数 f ( x )的图象与 x 轴的交点的横坐标,方程 f ( x )= g ( x )的根就 是函数 f ( x )与 g ( x )图象的交点的横坐标.