【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-8函数与方程学案
第 8 讲 函数与方程
1．函数的零点
函数零点的概念
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零
点
方程的根与函数零点的关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔
函数 y＝f(x)有零点
函数零点的存在定理
函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
若 f(a)·f(b)<0，则 y＝f(x)在(a，b)内存在零点
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 两个 一个 零个
3.二分法
(1)函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；
条件
(2)在区间端点的函数值满足 f(a)·f(b)＜0
方法
不断地把函数 y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点
逐步逼近零点，进而得到零点近似值
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0 时没有零点．( )
(5)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数 y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2 个 B．3 个
C．4 个 D．5 个
解析：选 B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间
(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数 y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有
3 个．
函数 f(x)＝x
1
2
－(1
2 ) x
的零点有________个．
解析：函数 f(x)＝x
1
2
－(1
2 ) x
的零点个数是方程 x
1
2
－(1
2 ) x
＝0 的解
的个数，即方程 x
1
2
＝(1
2 )x
的解的个数，也就是函数 y＝x
1
2
与 y＝
(1
2 ) x
的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为 1.
答案：1
已知函数 f(x)＝2ax－a＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得 f(x 0)＝0，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：依题意可得 f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得 a<－3 或 a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
函数零点所在区间的判断
[典例引领]
函数 f(x)＝ln x－
2
x的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)
【解析】 因为 f′(x)＝
1
x＋
2
x2>0(x>0)，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 f(3)＝ln 3－
2
3>0，
f(2)＝ln 2－1<0，所以 f(2)·f(3)<0，所以 f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选 B.
【答案】 B
判断函数零点所在区间的方法
方法 解读 适合题型
定理法
利用函数零点的存在性定理进行
判断
能够容易判断区间端点值所对应
函数值的正负
图象法
画出函数图象，通过观察图象与 x
轴在给定区间上是否有交点来判
断
容易画出函数的图象
[通关练习]
1．在下列区间中，函数 f(x)＝3x－x2 有零点的区间是( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[－2，－1] D．[－1，0]
解析：选 D.因为 f(0)＝1，f(1)＝2，所以 f(0)f(1)＞0，
因为 f(2)＝5，f(1)＝2，
所以 f(2)f(1)＞0，
因为 f(－2)＝
1
9－4＝－
35
9 ，f(－1)＝
1
3－1＝－
2
3，
所以 f(－2)f(－1)＞0，
因为 f(0)＝1，f(－1)＝
1
3－1＝－
2
3，
所以 f(0)f(－1)＜0，
易知[－1，0]符合条件，故选 D.
2．若 x0 是方程(1
2 ) x
＝x
1
3
的解，则 x0 属于区间( )
A.(2
3，1 ) B.(1
2，
2
3 )
C.(1
3，
1
2 ) D.(0，
1
3 )
解析：选 C.令 g(x)＝(1
2 )x
，f(x)＝x
1
3
，
则 g(0)＝1>f(0)＝0，g(1
2 )＝(1
2 ) 1
2
f(1
3 )＝(1
3 ) 1
3
，
所以由图象关系可得
1
30 时，f(x)＝2x＋x－3，则 f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 (1)当 x≤1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0；
当 x＞1 时，由 f(x)＝1＋log2x＝0，
解得 x＝
1
2，
又因为 x＞1，
所以此时方程无解．
综上函数 f(x)的零点只有 0.
(2)因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)＝0，所以 0 是函数 f(x)的一个零点．当 x>0
时，令 f(x)＝2x＋x－3＝0，则 2x＝－x＋3.分别作出函数 y＝2x 和 y＝－x＋3 的图象如图所示，
可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数 f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的
对称性知，当 x<0 时函数 f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为 3.故选 C.
【答案】 (1)D (2)C
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，再结合函
数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
[通关练习]
1．函数 f(x)＝{x2＋x－2，x ≤ 0，
－1＋ln x，x > 0 的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
解析：选 B.法一：由 f(x)＝0 得{x ≤ 0，
x2＋x－2＝0或{x > 0，
－1＋ln x＝0，解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
法二：函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．函数 f(x)＝{ex－x－2，x ≥ 0
x2＋2x，x < 0 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 C.当 x<0 时，令 f(x)＝0，即 x2＋2x＝0，解得 x＝－2，或 x＝0(舍去)．所以当 x<0
时，只有一个零点；当 x≥0 时，f(x)＝ex－x－2，而 f′(x)＝ex－1，显然 f′(x)≥0，所以 f(x)在
[0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(2)＝e2－4>0，所以当 x≥0 时，函数 f(x)
有且只有一个零点．综上，函数 f(x)只有 2 个零点，故选 C.
函数零点的应用[学生用书 P33]
[典例引领]
(1)(分离参数法)若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数 a 的取值范围是
________．
(2)(数形结合思想)已知函数 f(x)＝{log2（x＋1），x＞0，
－x2－2x，x ≤ 0， 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，
则实数 m 的取值范围是________．
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，
所以方程 4x－2x－a＝0 在[－1，1]上有解，
即方程 a＝4x－2x 在[－1，1]上有解．
方程 a＝4x－2x 可变形为 a＝(2x－
1
2)2－
1
4，
因为 x∈[－1，1]，
所以 2x∈[1
2，2 ]，
所以(2x－1
2) 2
－
1
4∈[－1
4，2].
所以实数 a 的取值范围是[－1
4，2].
(2)函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，转化为 f(x)－m＝0 的根有 3 个，进而
转化为 y＝f(x)，y＝m 的交点有 3 个．画出函数 y＝f(x)的图象，则直线 y＝
m 与其有 3 个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数 m 的取
值范围是(0，1)．
【答案】 (1)[－1
4，2] (2)(0，1)
已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法
[通关练习]
1．(2018·河南新乡模拟)若函数 f(x)＝log 2(x＋a)与 g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零
点，则 a 的值为( )
A．4 或－
5
2 B．4 或－2
C．5 或－2 D．6 或－
5
2
解析：选 C.g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令 g(x)＝0，得 x＝－4 或 x＝a＋
5，则 f(－4)＝log2(－4＋a)＝0 或 f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得 a＝5 或 a＝－2.
2．(2018·四川绵阳模拟)函数 f(x)＝2x－
2
x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数 a 的取值范
围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选 C.由题意，知函数 f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，
所以{f（1） < 0，
f（2） > 0，即{－a < 0，
4－1－a > 0，
解得 0 0，
x2＋x，x ≤ 0，若函数 g(x)＝f(x)－m 有三个零
点，则实数 m 的取值范围是________．
解析：令 g(x)＝f(x)－m＝0，得 f(x)＝m，则函数 g(x)＝f(x)－m 有三个零
点等价于函数 f(x)与 y＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数 f(x)的
图象如图：
当 x≤0 时，f(x)＝x2＋x＝(x＋1
2 ) 2
－
1
4≥－
1
4，若函数 f(x)与 y＝m 的图象
有三个不同的交点，则－
1
40，即
f(0)·f(1)<0 且函数 f(x)在(0，1)内连续不断，所以 f(x)在区间(0，1)内有一个零点．
2．已知实数 a>1，01，00，由
零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
3．(2018·辽宁大连模拟)已知偶函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x)＝x 2－3x(x≥0)，若函数 g(x)＝
{log2x，x > 0，
－1
x，x < 0， 则 y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选 B.作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有 3 个不同的交点，所以
函数 y＝f(x)－g(x)有 3 个零点，故选 B.
4．(2018·云南省第一次统一检测)已知 a，b，c，d 都是常数，a>b，c>d.若 f(x)＝2 017－(x－
a)(x－b)的零点为 c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选 D.
f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又 f(a)＝f(b)＝2
017，c，d 为函数 f(x)的零点，且 a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中
作出函数 f(x)的大致图象，如图所示，由图可知 c>a>b>d，故选 D.
5．(2018·河北承德模拟)若函数 f(x)＝{2x－2a，x ≤ 0，
x2－4ax＋a，x > 0有三个不同的零点，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(1
2，＋∞)
B．(1
4，
1
2 ]
C．(－∞，0)∪(1
4，
1
2 ]
D．(－∞，0)∪(1
4，＋∞)
解析：选 B.由题意知，当 x≤0 时，函数 f(x)有 1 个零点，即 2x－2a＝0 在 x≤0 上有根，所
以 0<2a≤1 解得 00 时函数 f(x)有 2 个零点，只需{16a2－4a > 0，
2a > 0，
a > 0，
解得 a>
1
4，综
上可得实数 a 的取值范围是
1
40，所以 f(1)f(2)<0，所以 x0∈(1，
2)．
答案：(1，2)
8．已知函数 f(x)＝{2x－a，x ≥ 1，
ln（1－x），x < 1有两个零点，则实数 a 的取值范围是________．
解析：当 x<1 时，显然函数 f(x)存在唯一零点 x＝0，所以当 x≥1 时，函数 f(x)存在唯一零点，
又因为 y＝2x 在[1，＋∞)上单调递增且值域为[2，＋∞)，所以 a 的取值范围为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
9．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当 a＝1，b＝－2 时，求函数 f(x)的零点；
(2)若对任意 b∈R，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1，b＝－2 时，f(x)＝x2－2x－3，令 f(x)＝0，得 x＝3 或 x＝－1.
所以函数 f(x)的零点为 3 或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0 有两个不同实根，所以 b2－4a(b－1)>0 恒成立，即对于
任意 b∈R，b2－4ab＋4a>0 恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得 00)．
(1)作出函数 f(x)的图象；
(2)当 0 2，函数 g(x)＝f(2－x)－
1
4b，
其中 b∈R.若函数 y＝f(x)＋g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是( )
A．(7，8) B．(8，＋∞)
C．(－7，0) D．(－∞，8)
解析：选 A.由已知可得 f(x)＝{（x－2）2，x > 2
2－x，0 ≤ x ≤ 2，f（2－x）
2＋x，x < 0
＝{4－x，x > 2
x，0 ≤ x ≤ 2，
x2，x < 0
将 f(x)＋
g(x)＝0 转化为 f(x)＋f(2－x)＝
1
4b，令函数 F(x)＝f(x)＋f(2－x)，则 F(x)＝{x2－5x＋8，x > 2
2，0 ≤ x ≤ 2
x2＋x＋2，x < 0
，
作出函数 F(x)的图象，如图，要使 F(x)的图象与直线 y＝
1
4b 有四个交点，则有
7
4<
1
4b<2，解得
7 0 有两个不同的零点，则实数 a 的
取值范围为________．
解析：当 x≤0 时，令|x2＋2x－1|＝0，解得 x＝－1－ 2(x＝－1＋ 2舍去)，所以函数 f(x)在(－
∞，0]上有一个零点，因此 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又因为 y＝2x－1＋a 在 x∈(0，＋∞)
上单调递增，所以只需 2－1＋a<0，解得 a<－
1
2.
答案：(－∞，－1
2)
4．函数 f(x)＝(1
2 )|x－1|
＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．
解析：原问题可转化为求 y＝(1
2 )|x－1|
与 y＝－2cos πx 的图象在[－4，6]内的交点的横坐
标的和，因为上述两个函数图象均关于 x＝1 对称，所以 x＝1 两侧的交点关于 x＝1 对称，
那么两对应交点的横坐标的和为 2，分别画出两个函数在[－4，6]上的图象(图略)，可知在 x
＝1 两侧分别有 5 个交点，所以所求和为 5×2＝10.
答案：10
5．已知函数 f(x)＝－x2－2x，
g(x)＝{x＋ 1
4x，x > 0，
x＋1，x ≤ 0.
(1)求 g[f(1)]的值；
(2)若方程 g[f(x)]－a＝0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得 g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令 f(x)＝t，则原方程化为 g(t)＝a，易知方程 f(x)＝t 在 t∈(－∞，1)内有 2 个不同的解，
则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 y＝
g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当 1≤a<
5
4时，函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 有 2 个不同的交
点，即所求 a 的取值范围是[1，
5
4 ).
6．已知二次函数 f(x)的最小值为－4，且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3，x∈
R}．
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)求函数 g(x)＝
f（x）
x －4ln x 的零点个数．
解：(1)因为 f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
所以 f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且 a>0.
所以 f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－2x－3.
(2)因为 g(x)＝
x2－2x－3
x －4ln x＝x－
3
x－4ln x－2(x>0)，
所以 g′(x)＝1＋
3
x2－
4
x＝
（x－1）（x－3）
x2 .
令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝3.
当 x 变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 极大值 极小值
当 00 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化
随 x 值增大，图象与
y 轴接近平行
随 x 值增大，图象与
x 轴接近平行
随 n 值变化而不同
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝xα(α>0)的增
长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )
(4)不存在 x0，使 ax0 100.
答案：y＝{0.5x，0 < x ≤ 100，
0.4x＋10，x > 100
(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x
为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y
＝alog4x＋b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得{alog48＋b＝1
alog464＋b＝4，
即{3
2a＋b＝1，
3a＋b＝4.
解得 a＝2，b＝－2.
所以 y＝2log4x－2，当 y＝8 时，即 2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
答案：1 024
一次函数与二次函数模型(高频考点)
高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主
要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：
(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；
(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
[典例引领]
角度一 单一考查一次函数或二次函数模型的
建立及最值问题
某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万
元)为 y1＝4.1x－0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y2＝2x，其中 x 为销售量(单位：
辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5 万元 B．11 万元
C．43 万元 D．43.025 万元
【解析】 该公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆，
所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－
21
2 )2＋0.1×
212
4 ＋32.
因为 x∈[0，16]且 x∈N，
所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元，故选 C.
【答案】 C
角度二 以分段函数的形式考查一次函数和二
次函数
(2018·山西孝义二轮模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自
行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元．根
据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超
过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，
并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日
净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数 y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解】 (1)当 x≤6 时，y＝50x－115，令 50x－115>0，解得 x≥2.3，因为 x 为整数，所以
3≤x≤6.
当 x>6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有 3x2－68x＋115<0，结合 x 为整数得 6185，
所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多．
一次函数、二次函数及分段函数
模型的选取与应用策略
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，
一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等
一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求
法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，
如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：
①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．
[通关练习]
1．某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函数 y＝f(x)的图象，当血
液中药物残留量不小于 240 毫克时，治疗有效．设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，
则第二次服药最迟的时间应为( )
A．上午 10：00 B．中午 12：00
C．下午 4：00 D．下午 6：00
解析：选 C.当 x∈[0，4]时，设 y＝k1x，
把(4，320)代入，得 k1＝80，所以 y＝80x.
当 x∈[4，20]时，设 y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，0)分别代入
可得{k2＝－20，
b＝400. 所以 y＝400－20x.
所以 y＝f(x)＝{80x，0 ≤ x ≤ 4，
400－20x，4 < x ≤ 20.由 y≥240，
得{0 ≤ x ≤ 4，
80x ≥ 240 或{4 < x ≤ 20，
400－20x ≥ 240.
解得 3≤x≤4 或 40)模型
[典例引领]
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子
产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 W(x)万元，在年产
量不足 8 万件时，W(x)＝
1
3x2＋x(万元)．在年产量不小于 8 万件时，W(x)＝6x＋
100
x －38(万
元)．每件产品售价为 5 元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固
定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】 (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，
依题意得，当 00)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)＝ax 与反比例函数 f(x)＝
b
x叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)＝ax＋
b
x的模型，有时可以将所列函数解析式转化
为 f(x)＝ax＋
b
x的形式．
[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型 f(x)＝ax＋
b
x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、
右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，当矩形温室的边
长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为 x m，则后侧边长为
800
x m，
所以蔬菜种植面积 y＝(x－4)(800
x －2)＝808－2(x＋1 600
x )(4200，即 1.12x>
2
1.3⇒x>
lg
2
1.3
lg 1.12＝
lg 2－lg 1.3
lg 1.12 ≈
0.30－0.11
0.05 ＝3.8，所以该公司全
年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019 年．
(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设 9 级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为 A1，A2，则 9＝lg A1－lg A0＝lg
A1
A0，则
A1
A0＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg
A2
A0，则A2
A0＝105，所以
A1
A2＝104.
即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍．
【答案】 (1)B (2)6 10 000
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表
示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，
往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析
式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际
意义．
(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢
慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半
的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当 t＝0 时，y＝a；
当 t＝8 时，y＝ae－8b＝
1
2a，故 e－8b＝
1
2.
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 y＝ae－bt＝
1
8a，e－bt＝
1
8＝(e－8b)3＝e－24b，则 t＝
24，所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
解决实际应用问题的四大步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立
相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
“对勾”函数的性质
函数 f(x)＝x＋
a
x(a>0)．
(1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a]上单调递减．
(2)当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a；
当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
易错防范
(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
1.如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BC 是圆弧，直
线 l⊥AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把图形 ABCD 分
成两部分，设 AE＝x，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为( )
解析：选 D.因为左侧部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，
最后缓慢增加，只有 D 选项适合．
2．在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对 x，y 最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选 D.根据 x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x＝2.01，y＝0.98，代
入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 y＝log2x，可知满足题意．
3．利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间，年生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)
之间的关系可近似地表示为 y＝
x2
10－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240 吨 B．200 吨
C．180 吨 D．160 吨
解析：选 B.依题意，得每吨的成本为
y
x＝
x
10＋4 000
x －30，则
y
x≥2 x
10·4 000
x －30＝10，
当且仅当
x
10＝
4 000
x ， 即 x＝200 时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为 200 吨．
4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原
来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，
用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测
不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选 C.设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过 n(n∈N*)个“半衰期”后的含量
为(1
2 ) n
，由(1
2 ) n
<
1
1 000得 n≥10.所以，若探测不到碳 14 含量，则至少经过了 10 个
“半衰期”．故选 C.
5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆
汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析：选 D.根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；以相
同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，
故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程
为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车
高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对．
6.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的
地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形
(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计)
解析：设矩形的长为 x m，宽为
200－x
4 m，
则 S＝x·
200－x
4 ＝
1
4(－x2＋200x)．
当 x＝100 时，Smax＝2 500 m2.
答案：2 500 m2
7．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联
通的 130 网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为
计费单位)
网络 月租费 本地话费 长途话费
甲：联通 130 12 元 0.36 元/分 0.06 元/秒
乙：移动“神州行” 无 0.60 元/分 0.07 元/秒
若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的 5 倍，若用联通 130 应最少打
________秒长途电话才合算．
解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为 x 分钟，所需话费为 y 元，若使用联通 130，则
所需话费 y 元与通话时间 x 分钟的函数关系式为 y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用
移动“神州行”，则所需话费 y 元与通话时间 x 分钟的函数关系式为 y＝0.6×5x＋4.2x＝
7.2x.若用联通 130 合算，则 5.4x＋12≤7.2x，解得 x≥
20
3 (分钟)＝400(秒)．
答案：400
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加
投资 1 万元，年产量为 x(x∈N*)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当 x＞20
时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万
元)与 x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年
利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当 0＜x≤20 时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当 x＞20 时，y＝260－100
－x＝160－x.
故 y＝{－x2＋32x－100，0＜x ≤ 20，
160－x，x＞20 (x∈N*)．
当 0＜x≤20 时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16 时，ymax＝156.而当 x＞20 时，
160－x＜140，故 x＝16 时取得最大年利润．
答案：y＝{－x2＋32x－100，0＜x ≤ 20，
160－x，x＞20 (x∈N*) 16
9．A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供电，为保
证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供
电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电量为每月 10 亿度．
(1)求 x 的取值范围；
(2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数；
(3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
解：(1)x 的取值范围为 10≤x≤90.
(2)y＝5x2＋
5
2(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为 y＝5x2＋
5
2(100－x)2＝
15
2 x2－500x＋25 000＝
15
2 (x－100
3 )2
＋
50 000
3 ，所以当 x＝
100
3 时，
ymin＝
50 000
3 .故核电站建在距 A 城
100
3 km 处，能使供电总费用 y 最少．
10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定
为 x 元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改
革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30 元，浮动
价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售每
套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为 100 元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为 100 元时，
销售量为 15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为 30＋
10
5 ＝32(元)，
故书商所获得的总利润为 5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为 x 元时，由{15－0.1x > 0，
x > 0， 得 00，所以 P＝－[(150－x)＋
100
150－x]＋120，
又(150－x)＋
100
150－x≥2 （150－x）· 100
150－x＝2×10＝20，
当且仅当 150－x＝
100
150－x，即 x＝140 时等号成立，
所以 Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．
1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金 120
万元，他可以在 t1 至 t4 的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不
计)．如果他在 t4 时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40 万元 B．60 万元
C．120 万元 D．140 万元
解析：选 C.甲 6 元时该商人全部买入甲商品，可以买 120÷6＝20(万份)，在 t2 时刻全部卖出，
此时获利 20×2＝40(万元)，乙 4 元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，
在 t4 时刻全部卖出，此时获利 40×2＝80(万元)，共获利 40＋80＝120(万元)，故选 C.
2．我们定义函数 y＝[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)为“下整函数”；定义 y＝{x}({x}表示
不小于 x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收
费标准为每小时 2 元，即不超过 1 小时(包括 1 小时)收费 2 元，超过一小时，不超过 2 小时
(包括 2 小时)收费 4 元，以此类推．若李刚停车时间为 x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选 C.如 x＝1 时，应付费 2 元，
此时 2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除 A，B；当 x＝0.5 时，付费为 2 元，此时{2x}＝1 排除
D，故选 C.
3．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…
为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保
鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得 192＝eb，
所以 b＝ln 192.
又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
所以 e11k＝( 48
192)
1
2
＝(
1
4)
1
2
＝
1
2.
设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时，则 t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×(
1
2)3＝
24.
答案：24
4．某超市 2017 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模
型．
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
(1)能较准确反映超市月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为________．
(2)若所选函数满足 f(1)＝10，f(3)＝2，则 f(x)min＝________．
解析：(1)因为 f(x)＝pqx，f(x)＝logpx＋q 是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q 中，f′(x)＝2x＋p，
令 f′(x)＝0，得 x＝－
1
2p，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应
选③f(x)＝x2＋px＋q 模拟函数．
(2)因为 f(1)＝10，f(3)＝2，
所以{1＋p＋q＝10，
9＋3p＋q＝2，
解得，p＝－8，q＝17，
所以 f(x)＝x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，所以 f(x)min＝f(4)＝1.
答案：(1)③ (2)1
5．声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y＝10lg ( I
10－12)给出，其中 I 为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为 10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级 Y≤50 分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为
5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为 10－6W/m2 时，由公式 Y＝10lg ( I
10－12)得 Y＝10lg( 10－6
10－12)＝10lg 106＝60(分
贝)．
(2)当 Y＝0 时，由公式 Y＝10lg( I
10－12)
得 10lg( I
10－12)＝0.
所以
I
10－12＝1，即 I＝10－12W/m2，
则最低声强为 10－12W/m2.
(3)当声强为 5×10－7W/m2 时，声强级 Y＝10lg(5 × 10－7
10－12 )＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，
因为 50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单
位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金 y(单位：万元)随投资收益 x(单
位：万元)的增加而增加且资金不超过 5 万元，同时资金不超过投资收益的 20%.
(1)若建立函数模型 y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝
1
20x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为 y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当 x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当 x∈[10，100]时，f(x)≤5 恒成立．
③当 x∈[10，100]时，f(x)≤
x
5恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝
1
20x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当 x＝80 时，y＝5，因此，当 x>80 时，y>5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100 时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即 f(x)≤5 恒成立．满足条件②，
设 h(x)＝log2x－2－
1
5x，则 h′(x)＝
log2e
x －
1
5，
又 x∈[10，100]，
所以
1
100≤
1
x≤
1
10，
所以 h′(x)<
log2e
10 －
1
5<
2
10－
1
5＝0，
所以 h(x)在[10，100]上是递减的，因此 h(x)0，b>0 时
[特例] 当 a＝b＝1 时，函数化为 f(x)＝x＋
1
x.
①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－x＋
1
－x＝－
(x＋1
x )＝ － f(x) ， 函 数 为 奇 函 数 ． 之 后 只 需 讨 论 x>0 时 的 情 况 .
当x > 0时，③单调性：Δy＝
x2－x1
x1x2 (x1x2－1)，令 x1＝x2＝x，x1x2－1＝
0，解得 x＝1，当 0 0时，③单调性：Δy＝ax2＋
b
x2－ax1－
b
x1＝
x2－x1
x1x2 ·(ax1x2－b)，令 x1＝x2＝
x，ax1x2－b＝0 解得 x＝
ab
a ，当 00，b>0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶
性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数.当x > 0时，③单调性：Δy＝
x1－x2
x1x2
(ax1x2－b)，同情况 1，x＝
ab
a ，得 f(x)在(0，
ab
a )上为增函数，在
( ab
a ，＋∞)上为减函数．④渐近线：当 x→0＋时，y→－
b
x；当 x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象
略．⑥值域：当 x＝
ab
a 时，f(x)＝－a
ab
a －
ab
ab＝－2 ab，即为最大值－2 ab，值域为
(－∞，－2 ab).
当 a>0，b<0 时
[特例] 当 a＝1，b＝－1 时，函数化为 f(x)＝x－
1
x.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇
偶性：f(－x)＝－(x－1
x )＝－f(x)，函数为奇函数.当x > 0时，③单调性：Δy＝
x2－x1
x1x2 (x1x2＋1)，
得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当 x→0＋时，y→－
1
x；当 x→＋∞时 y→x＋.⑤作出函数
图象，如图 3.⑥值域为(－∞，＋∞)．
[推广] 改函数为 f(x)＝ax－
b
x(此时 b>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－
x)＝－(ax－b
x)＝－f(x)，函数为奇函数.当x > 0时，③单调性：Δy＝
x2－x1
x1x2 (ax1x2＋b)，得Δ
y>0，f(x)为增函数．④渐近线：当 x→0＋时，y→－
b
x；当 x→＋∞时，y→ax＋.⑤图象略．⑥
值域为(－∞，＋∞)．
当 a<0，b>0 时
此情况与情况 3 基本相同，作出函数图象，如图 4.设函数为
f(x)＝－ax＋
b
x(此时 a>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇
偶 性 ： f( － x) ＝ － f(x) ， 函 数 为 奇 函 数 ． ③ 单 调 性 ： Δ y ＝
x1－x2
x1x2 ·(ax1x2＋b)(x>0)，得Δy<0，f(x)为减函数．④渐近线：当 x→0
＋ 时 ， y →
b
x；当 x→ ＋ ∞ 时 ， y → － ax ＋ . ⑤ 图 象 略 ． ⑥ 值 域 为
(－∞，＋∞).
