【数学】2019届高考一轮复习北师大版理5-1平面向量的概念及线性运算学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理5-1平面向量的概念及线性运算学案

知识点 考纲下载 平面向量的实际 背景及基本概念 ‎ 了解向量的实际背景.‎ ‎ 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.‎ ‎ 理解向量的几何表示.‎ 向量的线性运算 ‎ 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.‎ ‎ 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.‎ ‎ 了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 平面向量的基本 定理及坐标表示 ‎ 了解平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎ 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.‎ ‎ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 平面向量的数量 积及向量的应用 ‎ 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎ 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎ 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎ 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 第1讲　平面向量的概念及线性运算 ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；‎ 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　‎ 续　表 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0‎ λ(μ a)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．‎ ‎[说明]　三点共线的等价关系 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(　　)‎ ‎(2)＋＋＝.(　　)‎ ‎(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)‎ ‎(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ ‎ 给出下列命题：‎ ‎①零向量的长度为零，方向是任意的；‎ ‎②若a，b都是单位向量，则a＝b；‎ ‎③向量与相等．‎ 则所有正确命题的序号是(　　)‎ A．① B．③‎ C．①③ D．①②‎ 解析：选A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．‎ ‎ (教材习题改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)‎ A. a＋b　　　　　　　 B. a－b C．－a－b D．－a＋b 解析：选D.＝＝(b－a)＝－a＋b，故选D.‎ ‎ 已知平面内四点A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．‎ 解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.‎ 答案： ‎　　　　　　平面向量的有关概念 ‎ [典例引领]‎ ‎ 给出下列命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；‎ ‎③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．‎ ‎③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ ‎【答案】　③‎ 平面向量有关概念的四个关注点 ‎(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　 ‎ ‎ 给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；‎ ‎③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．‎ ‎　　　　　　平面向量的线性运算(高频考点) ‎ 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)用已知向量表示未知向量；‎ ‎(2)求参数的值．‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　用已知向量表示未知向量 ‎ 如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ ‎【解析】　在△CEF中，有＝＋.‎ 因为点E为DC的中点，所以＝.‎ 因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，‎ 所以＝.‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－，故选D.‎ ‎【答案】　D 角度二　求参数的值 ‎ 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ ‎【解析】　因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.‎ 因为点M为AH的中点，‎ 所以＝＝(＋)‎ ‎＝ ‎＝＋，‎ 又＝λ＋μ，‎ 所以λ＝，μ＝，‎ 所以λ＋μ＝.‎ ‎【答案】　 向量线性运算的解题策略 ‎(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．化简－＋－得(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 解析：选D.因为－＋－＝＋＋＋＝0.‎ ‎2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)‎ A．2－ B．－＋2 C .－ D．－＋ 解析：选A.因为2＋＝0，所以A为BC的中点，所以2＝＋，所以＝2－.‎ ‎3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．‎ 解析：因为D为边BC的中点，所以＋＝2，‎ 又＋＋＝0，‎ 所以＝＋＝2，‎ 所以＝－2，‎ 与＝λ比较，得λ＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎　　　　　　平面向量共线定理的应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ 设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，‎ 所以，共线，又它们有公共点B，‎ 所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)因为ka＋b与a＋kb共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ 又a，b是两个不共线的非零向量，‎ 所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.‎ 所以k＝±1.‎ ‎ 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？‎ 解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，‎ 所以所以k＝±1.‎ 又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.‎ 故当k＝－1时，两向量反向共线．‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是(　　)‎ A．λ＝0 B．λ＝－1‎ C．λ＝－2 D．λ＝－ 解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，‎ 因为a，b共线⇔b＝a⇔b＝e1－e2⇔λ＝－.‎ ‎2．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________．‎ 解析：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.‎ 由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，‎ 即nb－ma＝λa＋λb，‎ 从而 消去λ，得＋＝3.‎ 答案：3‎ ‎ 求解向量共线问题的五个策略 ‎(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．‎ ‎(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.‎ ‎(4)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．‎ ‎(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．‎ ‎(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．下列各式中不能化简为的是(　　)‎ A. ＋(＋)‎ B．(＋)＋(－)‎ C. －＋ D. ＋－ 解析：选D.＋(＋)＝＋＋＝＋＝；‎ ‎(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；‎ －＋＝＋＝；‎ ＋－＝－，‎ 显然由－得不出，‎ 所以不能化简为的式子是D.‎ ‎2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a|‎ D．|－λa|≥|λ|a 解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．‎ ‎3．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　)‎ A.＝－　　　　 B.＝－ C.＝－ D.＝－ 解析：选A.＝＋＝－＝－－＝－，选A.‎ ‎4．(2018·山东临沂模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 解析：选D.因为A，B，C三点共线，所以∥.设＝m(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.‎ ‎5．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)‎ A．a B．b C．c D．0‎ 解析：选D.依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.‎ ‎6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．‎ 解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3＜||＜13.综上可知3≤||≤13.‎ 答案：[3，13]‎ ‎7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ 解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝‎ ‎－a－b.‎ 答案：b－a　－a－b ‎8．(2018·豫西五校联考)若M是△ABC的边BC上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．‎ 解析：由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，则＝＝＝，从而＝，又＝λ＋μ＝＋＝＋，所以λ＝.‎ 答案： ‎9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解：＝(＋)＝a＋b.‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ ‎10．设a，b是不共线的两个非零向量．‎ ‎(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；‎ ‎(2)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．‎ 解：(1)证明：由已知得，‎ ＝－＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，＝－＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，‎ 故＝－2，‎ 又与有公共点B，所以A，B，C三点共线．‎ ‎(2)＝＋＝3a－2b，＝2a－kb.‎ 因为A、C、D三点共线，所以＝λ，即3a－2b＝2λa－kλb，‎ 所以所以 综上，k的值为.‎ ‎1．(2018·广州市综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.‎ ‎2．(2018·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝－λ＋(λ＋1)，则，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－‎ ＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.‎ ‎3．给出下列四个命题：‎ ‎①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；‎ ‎②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；‎ ‎③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；‎ ‎④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．‎ 其中为真命题的有________(填上序号)．‎ 解析：由向量的平行四边形法则知道，若a＋b与a－b是共线向量，则必有a与b也是共线向量．所以①是真命题；若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b同向，或b是零向量或a，b均为零向量，所以a与b是共线向量，所以②是真命题；若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b方向相反，或a，b中至少有一个零向量，所以a与b是共线向量，所以③是真命题；当a是零向量，b是非零向量时，||a|－|b||＝|a|＋|b|成立，而b不能与任何向量都共线，所以④是假命题．‎ 答案：①②③‎ ‎4．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，‎ 所以＝2.‎ 因为点E在线段CD上，‎ 所以＝λ(0≤λ≤1)．‎ 因为＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ 所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.‎ 答案： ‎5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.‎ ‎(1)用a，b表示；‎ ‎(2)证明A，M，C三点共线．‎ 解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，‎ 又E为AD中点，‎ 所以＝＝a＋b，‎ 因为EF是梯形的中位线，且＝2，‎ 所以＝(＋)＝＝a，‎ 又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，‎ 所以＝＋＝a＋b＋a ‎＝a＋b.‎ ‎(2)证明：由(1)知＝＝a，‎ 所以＝＋＝a＋b＝，‎ 又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．‎ ‎6．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.‎ 证明：充分性：若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，‎ 所以－＝m(－)，‎ 即＝m，‎ 所以与共线．‎ 又因为与有公共点B，则A，P，B三点共线．‎ 必要性：若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，‎ 所以－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ 因为O，A，B不共线，所以，不共线，‎ 所以所以m＋n＝1.‎ 所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.‎