第章　函数的应用章末复习课、章末检测

第章　函数的应用章末复习课、章末检测

1 章末复习课 1．方程的根与函数的零点：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔ 函数 y＝f(x)有零点． 2．零点判断法 如果函数 v＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那 么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方 程 f(x)＝0 的根． 3．用二分法求零点的近似值的步骤 第 1 步：确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； 第 2 步：求区间(a，b)的中点 x1； 第 3 步：计算 f(x1)； (1)若 f(x1)＝0，则 x1 就是函数的零点； (2)若 f(a)·f(x1)<0，则令 b＝x1[此时零点 x0∈(a，x1)]； (3)若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1[此时零点 x0∈(x1，b)]． 第 4 步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复第 2、3、4 步． 4．函数模型的应用实例 解函数应用问题，一般地可按以下四步进行： 第 1 步：阅读理解、认真审题． 第 2 步：引进数学符号，建立数学模型． 第 3 步：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第 4 步：再转译成具体问题作出回答. 一、关于函数的零点与方程根的关系问题 一般结论：函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．所以方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y 2 ＝f(x)有零点． 例 1 对于函数 f(x)＝x2＋mx＋n，若 f(a)>0，f(b)>0.则函数 f(x)在区间(a，b)内( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至多有一个零点 答案 C 解析 抛物线 y＝f(x)的开口向上，与 x 轴可能有两个交点． 例 2 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(1)＝－a 2 ，3a>2c>2b，求证： (1)a>0 且－32c>2b，∴3a>0,2b<0， ∴a>0，b<0.又 2c＝－3a－2b， 由 3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b. ∵a>0，∴－30 时，∵a>0，∴f(0)＝c>0， 且 f(1)＝－a 2<0. ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点． ②当 c≤0 时，∵a>0，∴f(1)＝－a 2<0， 且 f(2)＝a－c>0. ∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点． 综合①②得，f(x)在(0,2)内至少有一个零点． (3)∵x1，x2 是函数 f(x)的两个零点， 则 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根． ∴x1＋x2＝－b a ，x1x2＝c a ＝－3 2 －b a. ∴|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2 ＝ －b a 2－4 －3 2 －b a ＝ b a ＋2 2＋2. ∵－30， ∴f(x)＝0 有两个不等的实根． 2．二次函数 y＝x2＋px＋q 的零点为 1 和 m，且－10 且 q<0 B．p>0 且 q>0 C．p<0 且 q>0 D．p<0 且 q<0 答案 D 解析 由已知得 f(0)<0，－p 2>0，解得 q<0，p<0. 3．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是( ) 答案 B 4．若 y＝ax2＋bx＋c(a<0)中，两个零点 x1<0，x2>0，且 x1＋x2>0，则( ) A．b>0，c>0 B．b>0，c<0 C．b<0，c>0 D．b<0，c<0 答案 A 4 解析 由已知可得 f(0)>0，即 c>0，－b a>0，b>0. 5．函数 f(x)＝2x＋2x－6 的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 解析 ∵f(1)<0，f(2)>0，且 f(x)单调递增， ∴f(x)只有唯一零点在区间(1,2)内． 二、填空题 6．函数 y＝x3－x 的零点是________． 答案 1,0，－1 7．某商店将原价 2 640 元的彩电以 9 折售出后仍可获利 20%，则该种彩电每台的进价 为________元． 答案 1 980 8．函数 y＝x2 与函数 y＝xlnx 在(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 答案 y＝x2 三、解答题 9．某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿度．本年度计划将电价调至 0.55 元～0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y(亿度)与(x－0.4)元成反比例．又 当 x＝0.65 元时，y＝0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)若每度电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度 增加 20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解 (1)∵y 与 x－0.4 成反比例， ∴设 y＝ k x－0.4 (k≠0)． 把 x＝0.65，y＝0.8 代入上式， 得 0.8＝ k 0.65－0.4 ，∴k＝0.2. ∴y＝ 0.2 x－0.4 ＝ 1 5x－2 . 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝ 1 5x－2. (2)根据题意，得 1＋ 1 5x－2 ·(x－0.3) ＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得 x2－1.1x＋0.3＝0.解得 x1＝0.5，x2＝0.6. 经检验 x1＝0.5，x2＝0.6 都是所列方程的根． 因 x 的取值范围是 0.55～0.75 之间，故 x＝0.5 不符合题意，应舍去． 所以，取 x＝0.6. 答 当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%. 10．已知函数 f(x)＝x－ln(x＋2)，证明：函数 f(x)在[e－2－2，e4－2]内至少有两个零点． 证明 f(e－2－2)＝e－2>0，f(e4－2)＝e4－6>0. f(0)＝－ln2<0，又函数 f(x)＝x－ln(x＋2)在[e－2－2，e4－2]内的图象是连续的，所以函 数 f(x)在[e－2－2，e4－2]内至少有两个零点．章末检测 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．若函数 y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程 f(x)＝0 在(－2,2) 上仅有一个实数根，则 f(－1)·f(1)的值( ) A．大于 0 B．小于 0 C．无法判断 D．等于零 答案 C 解析 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 5 2．函数 f(x)＝x2－3x－4 的零点是( ) A．(1，－4) B．(4，－1) C．1，－4 D．4，－1 答案 D 解析 由 x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. 3．下列给出的四个函数 f(x)的图象中能使函数 y＝f(x)－1 没有零点的是( ) 答案 C 解析 把 y=f(x)的图象向下平移 1 个单位后，只有 C 图中图象与 x 轴无交点． 4．方程 x3＋3x－3＝0 的解在区间( ) A．(0,1)内 B．(1,2)内 C．(2,3)内 D．以上均不对 答案 A 解析 将函数 y1＝x3 和 y2＝3－3x 的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在(0,1) 内． 5．已知 f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程 f(x)＝g(x)有实 数解的区间是( ) x －1 0 1 2 3 f(x) －0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x) －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 答案 B 解析 令φ(x)＝f(x)－g(x)，φ(0)＝f(0)－g(0)<0. φ(1)＝f(1)－g(1)>0 且 f(x)，g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线， 所以φ(x)的图象． 在[－1,3]上也连续不断，因此选 B. 6．某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表 示此人距乙地的距离，则较符合该人走法的图是( ) 6 答案 D 解析 此人距乙地越来越近，故排除 A、C，又先跑后步行，因而开始时速率变化大， 故选 D. 7．据报道，青海湖的湖水在最近 50 年内减少了 10%，如果按此规律，设 2 008 年的湖 水量为 m，从 2008 起，过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系式为( ) A．y＝0.9 x 50 B．y＝(1－0.1 x 50)m C．y＝0.9 x 50·m D．y＝(1－0.150x) m 答案 C 解析 设湖水量每年为上一年的 q%，则(q%)50＝0.9，所以 q%＝0.9 1 50 ，即 x 年后湖水 量为 y＝0.9 x 50·m. 8．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的 2 000 元降到 1 280 元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( ) A．10% B．15% C．18% D．20% 答案 D 9．若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(2,16)，(2,8)，(2,4)内，那么下列命题中正确 的是( ) A．函数 f(x)在区间(2,3)内有零点 B．函数 f(x)在区间(2,3)或(3,4)内有零点 C．函数 f(x)在(3,16)内无零点 D．函数 f(x)在区间(4,16)内无零点 答案 D 10．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水 不超过 8 吨，按每吨 2 元收取水费；每月超过 8 吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费 20 元，则该职工这个月实际用水( ) A．10 吨 B．13 吨 C．11 吨 D．9 吨 答案 D 解析 设该职工该月实际用水为 x 吨，易知 x>8. 则水费 y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9. 11．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0， [m]是大于或等于 m 的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)．则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的通话费为( ) A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77 答案 C 解析 ∵[5.5]＝6， ∴f(5.5)＝1.06×(0.50×6＋1)＝4.24. 12．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y 7 ＝f(x)，另一种是平均价格曲线 y＝g(x)，如 f(2)＝3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格 为 3 元；g(2)＝3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y＝f(x)， 虚线表示 y＝g(x)，其中可能正确的是( ) 答案 C 解析 A 选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对；而 B 选项中即时 价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D 选项中平均价格不可能越来越高，排除 D. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 13．若函数 f(x)＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1 的零点是 ________． 答案 －1 2 和－1 3 解析 2 和 3 是方程 x2－ax－b＝0 的两根， 所以 a＝5，b＝－6， ∴g(x)＝－6x2－5x－1. 令 g(x)＝0 得 x1＝－1 2 ，x2＝－1 3. 14．若一元二次方程 f(x)＝ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的两根 x1、x2 满足 m”、“＝”或“<”) 答案 < 解析 ∵a>0，∴f(x)的图象开口向上， ∴f(m)>0，f(n)<0，f(p)>0，∴f(m)·f(n)·f(p)<0. 15．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高 h 米处落下，弹跳高度 d 与下落 高度 h 的关系. h(米) 50 80 100 150 … d(米) 25 40 50 75 … 写出一个能表示这种关系的式子为________． 答案 d＝h 2 16．我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为 10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相 对于四天前的涨跌情况是________． 答案 跌了 1.99% 解析 (1＋10%)2·(1－10%)2＝0.980 1， 而 0.980 1－1＝－0.019 9，即跌了 1.99%. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分) 17．(12 分)用二分法求方程 x3＋3x－5＝0 的一个近似解(精确度 0.1)． 解 f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31. 所以 f(x)在区间(1,2)内存在零点 x0. 区间 中点 m f(m)的符号 区间长度 (1,2) 1.5 ＋ 1 (1,1.5) 1.25 ＋ 0.5 (1,1.25) 1.125 － 0.25 (1.125,1.25) 1.187 5 ＋ 0.125 (1.125,1.187 5) 0.062 5 ∵|1.875－1.125|＝0.062 5<0.1， ∴x0 可取为 1.125(不唯一)． 8 18．(12 分)某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地，在 B 地停留 1 h 后，再以 50 km/h 的速度返回 A 地，将汽车离开 A 地的路程 x (km)表示为时间 t(h)(从 A 地 出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再将车速 v (km/h)表示为时间 t(h)的函数，并画出 函数的图象． 解 汽车离开 A 地的距离与时间 t(h)之间的关系为 x＝            .5.6,5.3,5.3150 ,5.3,5.2,150 ,5.2,0,60 tt t tt 它的图象如图甲． 车速 v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式为 v＝            .5.6,5.3,50 ,5.3,5.2,0 ,5.2,0,60 t t t 它的图象如图乙． 19．(12 分)若方程 x2－ax＋2＝0 有且仅有一个根在区间(0,3)内，求 a 的取值范围． 解 令 f(x)＝x2－ax＋2，则方程 x2 －ax＋2＝0 有且仅有一个根在区间(0,3)内⇔ 011 3 . 20．(12 分)已知函数 f(x)＝x－1＋1 2x2－2，试利用基本初等函数的图象，判断 f(x)有几个 零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过 1)． 解 由 f(x)=0，得 x-1=-x2+2，令 y1=x-1，y2=-x2+2， 分别画出它们的图象如图，其中抛物线顶点为(0,2)， 与 x 轴交于点(-2,0)、(2,0)，y1 与 y2 的图象有 3 个交点，从而函数 y=f(x)有 3 个零点． 由 f(x)的解析式知 x≠0，f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)上分别是连续不断的曲线， 且 f(-3)= 6 13 >0，f(-2)= 2 1 <0， f      2 1 = 8 1 >0，f(1)= 2 1 <0，f(2)= 2 1 >0， 即 f(－3)·f(－2)<0，f 1 2 ·f(1)<0，f(1)·f(2)<0， 9 ∴三个零点分别在区间(－3，－2)、 1 2 ，1 、(1,2)内． 21．(12 分) 某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价， 又不高于 800 元/件．经试销调查，发现销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看作一次函 数 y=kx+b 的关系(如图所示)． (1)根据图象，求一次函数 y=kx+b 的表达式； (2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为 S 元．试用销售单价 x 表示利润 S；并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售 量是多少？ 解 (1)由图象知，当 x＝600 时，y＝400； 当 x＝700 时，y＝300， 代入 y＝kx＋b 中，得 400＝600k＋b 300＝700k＋b ， 解得 k＝－1 b＝1 000 . ∴y＝－x＋1 000 (500≤x≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y， 代入求毛利润的公式，得 S＝xy－500y＝x(－x＋1 000)－500(－x＋1 000) ＝－x2＋1 500x－500 000 ＝－(x－750)2＋62 500 (500≤x≤800)． ∴当销售单价为 750 元/件时，可获得最大毛利润 62 500 元，此时销售量为 250 件． 22．(14 分)某农产品从 5 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本 Q(单位：元/102 kg)与上市时间 t(时间：天)的数据如下表： 时间 t 50 110 250 种植成本 Q 150 108 150 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝abt，Q＝alogbt； (2)利用你选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． 解 (1)由表中提供的数据知道，描述该农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的 函数不可能是常函数，从而用函数 Q＝at＋b，Q＝abt，Q＝alogb t 中的任一个进行描述时都 应有 a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，应 选取二次函数 Q＝at2＋bt＋c (a≠0，当 a＝0 时，为单调函数)进行描述． 将表格所提供的三组数据分别代入 Q＝at2＋bt＋c， 得到： 150＝2 500a＋50b＋c 108＝12 100a＋110b＋c 150＝62 500a＋250b＋c . 解上述方程组得 a＝ 1 200 ，b＝－3 2 ，c＝425 2 ， 所以，描述该农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q＝ 1 200t2－3 2t＋425 2 . 10 (2)当 t＝－ －3 2 2× 1 200 ＝150(天)时，该农产品种植成本最低为 Q＝ 1 200 ×1502－3 2 ×150＋425 2 ＝100(元/102 kg)． 所以，该农产品种植成本最低时的上市时间为 150 天，最低种植成本为 100 元/102 kg.