2018-2019学年辽宁省大连渤海高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年辽宁省大连渤海高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

渤海高中2018-2019学年度第二学期期中 高二数学（理科）试题 ‎ 考试时间：120分钟 试题满分：150分 考查范围：选修2-2；2-3第一章 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设 则= （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．复数， 在复平面内对应的点关于直线对称，且，则 （ ）‎ A. A. C. D. ‎ ‎3.某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有 （ ）‎ A.24种　　 B.52种 C.10种 D.7种 ‎4．若复数满足，则所对应的点Z的集合构成的图形是 （ ）‎ A．直线　　 B．圆 C． 椭圆 　 D．双曲线 ‎5. 要证明，则可选的方法有一下几种，其中最合理的是 （ ） ‎ ‎ A.分析法 B.综合法 C.反证法 D.归纳法 ‎ ‎6.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是 (　 　)‎ A. B. C. D. ‎7．若，则 （ ） ‎ A. 31 B.32 C. 33 D.34‎ ‎8.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是 （ ） ‎ A.假设三内角都不大于 B. 假设三内角都大于 ‎ ‎ C. 假设三内角之多有一个大于 D. 假设三内角之多有两个大于 ‎ ‎9．从3名男生和3名女生中，选出3名学生分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名 女生，则选派方案共有 （ ）‎ A. 19种 B.54种 C. 114种 D.120种 ‎10.若函数在定义域上单调增，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D.‎ ‎11.函数不存在极值点，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12． 偶函数f(x)‎定义域为‎(-π‎2‎,π‎2‎)‎，其导函数是f‎'‎‎(x)‎．当‎00，则lg ≥；‎ ‎(Ⅱ)＋>2＋2.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知函数，在处取得极值.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分） ‎ 数列满足。‎ 并由此猜想通项公式 ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想。‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 设f(x)=xlnx-‎3‎‎2‎ax‎2‎+(3a-1)x． ‎ g(x)=f‎'‎(x)‎在‎[1, 2]‎上单调，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ） 已知f(x)‎在x=1‎处取得极小值，求a的取值范围．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数，，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎2018-2019学年度第二学期高二期中考试数学科试卷 参考答案及评分标准 一．选择题 DDAAA DCBCD BB 二．填空题 ‎13.45 14. 15. 甲和丁 16.‎ ‎17. 解：由于m∈R，复数z可表示为z=(2+i)m‎2‎-3m(1+i)-2(1-i)=(2m‎2‎-3m-2)+(m‎2‎-3m+2)i． ‎(1)‎当m‎2‎‎-3m+2≠0‎，即m≠2‎且m≠1‎时，z为虚数． ‎(2)‎当‎2m‎2‎-3m-2=0‎m‎2‎‎-3m+2≠0‎，即m=-‎‎1‎‎2‎时，z为纯虚数． ‎(3)‎当‎2m‎2‎-3m-2=-(m‎2‎-3m+2)‎，即m=0‎或m=2‎时， z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．‎ ‎18. (1)当a，b>0时，有≥，∴lg≥lg，‎ ‎∴lg ≥lg ab＝.‎ ‎(2)要证＋>2＋2，, 只要证(＋)2>(2＋2)2，‎ 即2>2，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．‎ ‎19(Ⅰ)，由f′(−1)=12−a=0，解得a=12，‎ 则，经验证,当a=12时,x=−1是函数f(x)的一个极值点，‎ ‎∴a=12符合题意。‎ 则 ∴f′(1)=−12,又f(1)=−5，‎ ‎∴函数f(x)在点(1,−5)处的切线方程为：y+5=−12(x−1)， 即12x+y−7=0；‎ ‎(Ⅱ)f′(x)=0时，x=−1或x=2.列关于x、f′(x)、f(x)的关系表：‎ x ‎−3‎ ‎(−3,−1)‎ ‎−1‎ ‎(−1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎−37‎ 增函数 ‎15‎ 减函数 ‎−12‎ 增函数 ‎−1‎ 可知函数f(x)在区间[−3,3]上的最大值为：f(−1)=15,最小值为：f(−3)=−37.‎ ‎20. 解：（1），由此猜想； -------------------（5分）‎ （2） 证明：当时， ，结论成立； ------------------------------- （6分）‎ 假设（，且），结论成立，即 -------------------- （7分）‎ 当（，且）时， ，即，所以，这就是说,当时，结论成立，-----（11分）‎ 根据(1)和(2)可知对任意正整数结论 都成立，即 ------ （12分）‎ ‎21.由f‎'‎‎(x)=lnx-3ax+3a， 即g(x)=lnx-3ax+3a，x∈(0, +∞)‎，g‎'‎‎(x)=‎1‎x-3a， ①g(x)‎在‎[1, 2]‎上单调递增，∴‎1‎x‎-3a≥0‎对x∈[1, 2]‎恒成立，即a≤‎‎1‎‎3x对x∈[1, 2]‎恒成立，得a≤‎‎1‎‎6‎； ②g(x)‎在‎[1, 2]‎上单调递减，∴‎1‎x‎-3a≤0‎对x∈[1, 2]‎恒成立，即a≥‎‎1‎‎3x对x∈[1, 2]‎恒成立，得a≥‎‎1‎‎3‎， 由①②可得a的取值范围为。‎ ‎（2）由‎(1)‎知， ①a≤0‎，f‎'‎‎(x)‎在‎(0, +∞)‎上单调递增，∴x∈(0, 1)‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎单调递减， x∈(1, +∞)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎单调递增，∴f(x)‎在x=1‎处取得极小值，符合题意； ②‎01‎，又f‎'‎‎(x)‎在‎(0,‎1‎‎3a)‎上单调递增，∴x∈(0, 1)‎时，f‎'‎‎(x)<0‎， ∴x∈(1,‎1‎‎3a)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎，∴f(x)‎在‎(0, 1)‎上单调递减，‎(1,‎1‎‎3a)‎上单调递增， f(x)‎在x=1‎ 处取得极小值，符合题意； ③a=‎‎1‎‎3‎时，‎1‎‎3a‎=1‎，f‎'‎‎(x)‎在‎(0, 1)‎上单调递增，∴x∈(1, +∞)‎上单调递减， ∴x∈(0, +∞)‎时，f‎'‎‎(x)≤0‎，f(x)‎单调递减，不合题意； ④a>‎‎1‎‎3‎时，‎0<‎1‎‎3a<1‎，当x∈(‎1‎‎3a,1)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎单调递增， 当x∈(1, +∞)‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎单调递减，∴f(x)‎在x=1‎处取得极大值，不符合题意； 综上所述，可得a∈(-∞,‎1‎‎3‎)‎．‎