2017-2018学年辽宁省大连市普兰店第二中学高二上学期竞赛（期中）考试数学（理）试题

2017-2018学年辽宁省大连市普兰店第二中学高二上学期竞赛（期中）考试数学（理）试题

大连市普兰店第二中学2017—2018学年上学期（期中）竞赛试卷 高二数学（理科）试卷 总分：150分 时间：120分钟 ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1、设集合，若，则 （ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎2、设，则“是“”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C． D. ‎ ‎4、将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、设点是所在平面内一点，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设，若是的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B. C. 4 D. 1‎ ‎7、若，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎8、下面程序执行后输出的结果是（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎9、在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、若偶函数在上单调递增， ，则满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A B C. D. ‎ ‎12、数列满足，则数列的前60项和为（ ）‎ A 3690 B 3660 C 1845 D 1830‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、已知是夹角为的两个单位向量，，，若，则的值为 。‎ ‎14、已知实数 满足，则的最小值为_______________。‎ ‎15、在中，内角的对边分别为，且满足，则的取值范围为______________。‎ ‎16、已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是______________。‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、（本小题12分）‎ 已知.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）在中， ， ，若的最大值为，求的面积.‎ ‎18、（本小题10分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围。‎ ‎19、（本小题12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，‎ 平面，已知AE=DE=2，为线段的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四棱锥的体积．‎ ‎20、（本小题12分）‎ 数列的前项和为，已知， ，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和。‎ ‎21、（本小题12分）‎ 已知函数 ‎（1）判断函数的奇偶性并给出证明；‎ ‎（2）对于，恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎22、（本小题12分）‎ 已知圆C：，一动直线过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，直线与直线：相交于N.‎ ‎(1)求证：当与垂直时，必过圆心C；‎ ‎(2)当PQ＝2时，求直线的方程；‎ ‎(3)探索·是否与直线的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．‎ 高二数学（理科）竞赛答案 选择题：CDBBA、C DAAC、BD 填空题：13、 14、 15、 16、‎ ‎17、试题解析：（1） ，‎ 当时，得 ‎∴的单调递增区间为， ‎ ‎（2）∵，由正弦定理得，‎ ‎∵的最大值为∴， ‎ ‎∴， 又∴‎ 在中，由余弦定理得: ∴‎ ‎∴的面积 ‎18、(1) (2)‎ ‎19、‎ ‎1）连结BD和AC交于，连结，‎ ABCD为正方形，为中点，为中点，‎ ‎，‎ 平面，平面ACF 平面．‎ ‎（2）‎ 四棱锥的体积 ‎20、（1） （2）‎ ‎21、（1）奇函数（2）‎ ‎22、(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－，‎ ‎∴kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.‎ ‎(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.‎ ‎(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.‎ ‎①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由 得N，则＝.‎ ‎∴·＝·＝＝－5.‎ 综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.‎ 另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.‎