【数学】2020届一轮复习人教B版椭圆的参数方程作业

【数学】2020届一轮复习人教B版椭圆的参数方程作业

一、选择题 ‎1．曲线(θ为参数)的长轴长为 (　B　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【解析】　将曲线的参数方程化为普通方程，得x2＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其长轴长为4.‎ ‎2．椭圆(θ为参数)的焦距为 (　B　)‎ A．　　　 B．2 C． D．2 ‎【解析】　∵，∴＋＝1.∴a2＝25，b2＝4，c2＝21，∴焦距2c＝2.‎ ‎3．椭圆(θ为参数，且a>b>0)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝ (　A　)‎ A．π B． C．2π D． ‎【解析】　将椭圆方程化为普通方程为＋＝1(a>b>0)，∴点(－a,0)对应的θ＝π，故选A．‎ ‎4．点(2,3)对应曲线 (θ为参数)中参数θ的值为 (　D　)‎ A．kπ＋ (k∈Z) B．kπ＋ (k∈Z)‎ C．2kπ＋ (k∈Z) D．2kπ＋ (k∈Z)‎ ‎【解析】　由题意知2＝4cosθ，3＝6sinθ，‎ ‎∴cosθ＝，sinθ＝，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.‎ ‎5．曲线C1：与C2： (0≤θ≤π)的交点对应的θ值为 (　D　)‎ A．或 B．或 C．0或 D．或 ‎【解析】　根据题意有，‎ ‎∴有(sinθ－1)＝cosθ，sinθ－cosθ＝，‎ ‎2sin＝，∴sin＝，‎ ‎∵0≤θ≤π，∴θ＝或.‎ ‎6．设O是椭圆的中心，P是椭圆上对应于φ＝的点，那么直线OP的斜率为 (　D　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　当φ＝时，x＝3cos＝，‎ y＝2sin＝1，∴kOP＝＝＝.‎ 二、填空题 ‎7．若实数x，y满足＋＝1，则z＝x－y的最大值为__5__，最小值为__－5__. ‎【解析】　由椭圆的参数方程，可设x＝4cosθ，y＝3sinθ，‎ 所以z＝x－y＝4cosθ－3sinθ＝5cos(θ＋φ)，其中φ为锐角，且tanφ＝.‎ 故－5≤z≤5.‎ ‎8．椭圆 (θ为参数)内接正方形的面积是　　. ‎【解析】　设内接正方形在第一象限的顶点为(4cosθ，3sinθ)，∴有4cosθ＝3sinθ，∴tanθ＝，‎ ‎∴sinθ＝，cosθ＝，‎ S＝4·4cosθ·3sinθ＝48··＝.‎ ‎9．已知点P是曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为坐标原点，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是　　. ‎【解析】　将曲线C化为普通方程，得＋＝1，‎ 因为直线OP的倾斜角为，所以其斜率为1，‎ 则直线OP的方程为y＝x，联立方程组，解得x＝y＝，即P点坐标为 .‎ ‎10．对任意实数k，直线y＝kx＋b与椭圆，(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b的取值范围是__[－1,3]__. ‎【解析】　椭圆的普通方程是＋＝1.‎ 令x＝0，得y＝－1或3.直线y＝kx＋b对任意的实数k，恒过点(0，b)．要使直线与椭圆恒有公共点，根据图象得b∈[－1,3]．‎ 三、解答题 ‎11．椭圆的参数方程为(t为参数)，点P为椭圆上对应t＝的点，求直线OP的斜率. ‎【解析】　当t＝时，x＝1＋3cos＝1＋，‎ y＝－2＋2sin＝－1，‎ 所以OP的斜率k＝＝＝.‎ ‎12．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值. ‎【解析】　直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 故直线l的普通方程为x＋2y＝0.‎ 因为P为椭圆＋y2＝1上任意点，‎ 故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈[0,2π)．‎ 因此点P到直线l的距离 d＝＝.‎ 所以，当sin(θ＋)＝1，即θ＝时，d取得最大值.‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．参数方程 (θ为参数)表示的曲线是 (　A　)‎ A．以(±，0)为焦点的椭圆 B．以(±4,0)为焦点的椭圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆 ‎【解析】　⇒ 平方相加得＋＝1，c2＝16－9＝7，‎ ‎∴c＝，∴焦点为(±，0)．‎ ‎2．椭圆的左焦点的坐标是 (　B　)‎ A．(－，0) B．(1－，0)‎ C．(－1－，0) D．(－1,0)‎ ‎【解析】　化为普通方程为＋＝1，其中a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝16－9＝7，‎ ‎∴c＝，∴左焦点为(1－，0)‎ ‎3．椭圆＋＝1上点到直线x＋2y－4＝0的距离最小值为 (　A　)‎ A． B． C． D．0‎ ‎【解析】　设椭圆上任意一点P(3cosθ，2sinθ)，‎ 由点到直线距离公式得：‎ d＝＝，‎ ‎∴dmin＝＝.‎ ‎4．已知点P是椭圆(θ为参数)上一点，点O是坐标原点，OP的倾斜角为，则|OP|等于 (　C　)‎ A． B．2 C． D．2 ‎【解析】　设P点坐标为(4cosθ，2sinθ)，∵OP的倾斜角为，‎ ‎∴4cosθ＝|OP|·cos，2sinθ＝|OP|·sin，∴|OP|＝.‎ ‎5．椭圆的离心率是 (　A　)‎ A． B． C． D． 二、填空题 ‎6．P(x，y)是曲线＋＝1上的动点，则x＋y的最大值是__5__. ‎【解析】　令 (θ为参数)，‎ 则x＋y＝4cosθ＋3sinθ＝5sin(θ＋φ)，‎ ‎∴最大值为5.‎ ‎7．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为__2__. ‎【解析】　本题考查了参数方程与极坐标知识．‎ 由题意知C1方程为＋＝1，表示椭圆；而C2方程即ρcosθ－ρsinθ＋1＝0表示直线x－y＋1＝0，由C1和C2方程联立得，消去y得7x2＋8x－8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲线C1与曲线C2有两个交点．‎ ‎8．设椭圆的参数方程为(0≤θ≤π)，M(x1，y1)、N(x2，y2)是椭圆上两点，M、N对应的参数为θ1、θ2且x1θ2__. ‎【解析】　因为x＝acosθ且x1θ2.‎ 三、解答题 ‎9．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴两端点分别为A1、A2的弦P1P2⊥A1A2，且A1P1、P2A2相交于M，当P1P2平行移动时，求点M的轨迹方程. ‎【解析】　椭圆＋＝1的参数方程为 (0≤θ<2π)，‎ 设P1(acosθ，bsinθ)，则P2(acosθ，－bsinθ)，A1(－a,0)，A2(a,0)，‎ 过A1M的直线方程为＝，　①‎ 过A2M的直线方程为＝，　②‎ ‎①×②得＝，‎ 化简得－＝1.‎ ‎10．已知直线l：(t为参数，α≠kπ，k∈Z)经过椭圆C：(φ为参数)的左焦点F. ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最小值．‎ ‎【解析】　(1)∵椭圆C：(φ为参数)的普通方程为＋＝1，方程的左焦点为F，‎ ‎∴F(－1,0)．‎ ‎∵直线l：(t为参数，α≠kπ，k∈Z)的普通方程为：y＝tanα(x－m)．‎ ‎∵α≠kπ，k∈Z，‎ ‎∴tanα≠0‎ ‎∵直线经过点F，‎ 所以：0＝tanα(－1－m)，解得：m＝－1.‎ ‎(2)将直线的参数方程(t为参数)代入椭圆C的普通方程＋＝1并整理得：‎ ‎(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcosα－9＝0.‎ 设点A、B在直线参数方程中对应的参数分别为t1和t2，‎ 则|FA|×|FB|＝|t1t2|‎ ‎＝ ‎＝，‎ 当sinα＝±1时，|FA|×|FB|的最小值为.‎