2019-2020学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020 学年辽宁省实验中学高二上学期期中考试数学试 题 一、单选题 1．数列 1，3，7，15， 的通项可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据数列的项直接判定即可. 【详解】 依题意, ,所以 , ,所以 , ,所以 , 故数列 1,3,7,15, 的通项可以是 , 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了数列通项的判定,属于基础题型. 2．点 ， ，直线 与线段 相交，则实数 的取值范围 是（ ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【解析】根据 ， 在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可. 【详解】 因为直线 与线段 相交， 所以， ， 在直线异侧或其中一点在直线上， 所以 ， 解得 或 ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. …… 2 1n − 2 1n − 2 1n − 2n n 1− + 1 1 1 2a + = 1 1 2 1a = − 2 1 1 2a + = 2 2 2 1a = − 3 3 1 2a + = 3 3 2 1a = − …… …… 2 1n − ( )3,2A − ( )3,2B 1 0ax y− − = AB a 4 1 3 2a− ≤ ≤ 1a ≥ 1a ≤ − 1 1a− ≤ ≤ 4 3a ≥ 1 2a ≤ ( )3,2A − ( )3,2B 1 0ax y− − = AB ( )3,2A − ( )3,2B ( )( )3 2 1 3 2 1 0a a− − − − − ≤ 1a ≥ 1a ≤ − 3．若直线 与直线 平行，则 （ ） A．2 或-1 B．2 C．-1 D．以上都不对 【答案】C 【解析】试题分析：由题意 ， ，当 时， 方程为 ，即 ， 方程为 ，两直线重合，不合题意， 舍去， 时，直线 的方程分别为 ， ，符合题意．所 以 ．故选 C． 【考点】两直线平行． 4．以双曲线 的右焦点为圆心，且与双曲线 的渐近线相切的圆的方程 是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意右焦点为圆心求得圆心,又与双曲线 的渐近线相切求得半径 进而得到方程. 【详解】 根据题意,双曲线 ,其焦点在 轴上,且 , ,则 , 则双曲线的右焦点坐标为 ,渐近线方程为 ,即 , 则右焦点到渐近线的距离 ,则要求圆的圆心为 ,半径 ,则要 求圆的方程为 , 故选：A 【点睛】 本题主要考查了圆的方程与双曲线的基本量求解,属于基础题型. 5．若圆 截直线 所得弦长为 6，则实数 m 的值为 （ ） A．-31 B．-4 C．-2 D．-1 1 : 2 6 0l ax y+ + = ( ) 2 2 : 1 1 0l x a y a+ − + − = a = ( 1) 2a a − = 2 1a a或= = − 2a = 1l 2 2 6 0x y+ + = 3 0x y+ + = 2l 3 0x y+ + = 1a = − 1 2,l l 2 6 0x y− + + = 2 0x y− = 1a = − 2 2: 13 yC x − = C ( )2 22 3x y− + = ( )2 22 3x y+ + = ( )2 22 1x y− + = ( )2 21 1x y+ + = C 3r = 2 2: 13 yC x − = x 1a = 3b = 2c = ( )2,0 3y x= ± 3 0x y± = 2 3 3 1 3 d = = + ( )2,0 3r = ( )2 22 3x y− + = 2 2 2 4 0+ − + + =x y x y m 3 0x y− − = 【答案】B 【解析】先化圆的标准方程，再根据垂径定理列方程，解得结果. 【详解】 因为圆 截直线 所得弦长为 6， 所以 故选：B 【点睛】 本题考查圆的弦长，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．若直线 l1：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线 l2：2x＋6y－3＝0 的距离为 ，则 m＝ （ ） A．7 B． C．14 D．17 【答案】B 【解析】直接利用平行直线的距离公式计算得到答案. 【详解】 直线 l1：x＋3y＋m＝0（m＞0），即 2x＋6y＋2m＝0，与直线 l2：2x＋6y－3＝0 的距离为 所以 ，求得 m＝ . 故选： 【点睛】 本题考查了平行直线的距离公式，意在考查学生的计算能力. 7．已知椭圆 的上焦点为 ，直线 和 与椭圆分 别相交于点 、 、 、 ，则 （） A． B．8 C．4 D． 【答案】B 【解析】根据椭圆的对称性和椭圆的几何性质可得四条线段的和. 【详解】 椭圆的上焦点 ，下焦点为 ， 2 2 2 22 4 0 ( 1) ( 2) 5x y x y m x y m+ − + + = ∴ − + + = − 2 2 2 4 0+ − + + =x y x y m 3 0x y− − = 2 26 |1 2 3|5 ( ) ( ) 42 2 m m + −− = + ∴ = − 10 17 2 10 | 2 3| 10 4 36 m + = + 17 2 B 2 2 13 4 x yC + =： F 1 0x y+ − = 1 0x y+ + = A B C D AF BF CF DF+ + + = 2 3 4 3 ( )0,1F ( )1 0, 1F − 直线 过上焦点，直线 过下焦点且两条直线平行， 又 ，因为椭圆是中心对称图形， 故 ， 故选 B. 【点睛】 本题考查椭圆的几何性质，属于基础题，注意与焦点有关的问题，可利用椭圆的定义来 处理. 8．数列 ， 满足 ， ， ，则数列 的 前 项和为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意是数列 是等差数列，数列 的等比数列，分别求出它们的通项， 再利用等比数列前 项和公式即可求得. 【详解】 因为 ， ，所以数列 是等差数列，数列 的等比数 列， 因此 ， ， 数列 的前 项和为： 1 0x y+ − = 1 0x y+ + = AF BF CF DF AB CF DF+ + + = + + 1 1 4 4 8AB CF DF CD CF DF CF CF DF DF+ + = + + = + + + = + = { }na { }nb 1 1 1a b= = 1 1 2n n n n ba a b + + − = = n ∗∈N { } nab n ( )14 4 13 n− − ( )4 4 13 n − ( )11 4 13 n− − ( )1 4 13 n − { }na { }nb n 1 1 2n n n n ba a b + + − = = 1 1 1a b= = { }na { }nb ( )1 2 1 2 1na n n= + − = − 1 11 2 2n n nb − −= × = { } nab n 1 2 1 3 5 2 1na a a nb b b b b b b −+ + + = + + + +  0 2 4 22 2 2 2 n= + + + + . 故选： . 【点睛】 本题主要考查的是数列的基本知识，等差数列、等比数列的通项公式以及等比数列的求 和公式的应用，是中档题. 9．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的 必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的 一步．雅中高 2018 级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱， 底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面” 所在平面与底面成 60°角，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用已知条件转化求解 、 关系，然后求解椭圆的离心率即可． 【详解】 椭圆的长轴为 ，短轴的长为 ， “切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成 角， 可得 ，即 ，所以 ,故选 C． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 10．已知点 P，Q 分别在直线 与直线 上，且 ， 点 ， ，则 的最小值为（）． A． B． C． D． ( )1 4 1 4 11 4 3 n n−= = −− D 1 2 2 2 3 2 1 3 a b 2a 2b 60° 2 cos602 b a = ° 2a b= 2 2 2 3 2 c a be a a −= = = 1 : 2 0l x y+ + = 2 : 1 0l x y+ − = 1PQ l⊥ ( )3, 3A − − 3 1,2 2B     AP PQ QB+ + 130 2 3 213 2 + 13 3 2 【答案】B 【解析】设 ，则四边形 为平行四边形，故而 就 是 的最小值，又 的最小值就是 . 【详解】 因为 ，故 ， ，故 ，所以 ， 又 ，所以 ，故四边形 为平行四边形， ， 因为 ，当且仅当 三点共线时等号成立， 的最小值为 ，选 B. 【点睛】 本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线 上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题. 3 3,2 2A  ′ − −   AA QP′ AP PQ QB+ + 3 2 2A Q QB′ + + 3 2 2A Q QB′ + + 3 2 2A B′ + 1 1 2,P l l lQ ⊥  ( )2 1 3 2 22 PQ − −= = 1AAk ′ = 1AA l′ ⊥ A PA Q′  3 2 2AA′ = AA PQ′ = AA QP′ 3 2 2AP PQ QB A Q QB′+ + = + + 13A Q QB A B′ ′+ ≥ = , ,A Q B′ AP PQ QB+ + 3 213 2 + 二、多选题 11．已知数列 为等差数列， ，且 ， ， 是一个等比数列中的相邻三项， 记 ，则 的前 项和可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设等差数列 的公差为 ,根据 , , 是一个等比数列中的相邻三项求得 或 1,再分情况求解 的前 项和 即可. 【详解】 设等差数列 的公差为 ,又 ,且 , , 是一个等比数列中的相邻三项 ,即 ,化简得： ,所以 或 1, 故 或 ,所以 或 ,设 的前 项和为 , ①当 时, ； ②当 时, （1）, （2）, （1） （2）得： , 所以 , 故选：BD 【点睛】 本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数 列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 12．在平面直角坐标系中，有两个圆 和 ， 其中 ， 为正常数，满足 或 ，一个动圆 与两圆都相切，则动 圆圆心的轨迹方程可以是（ ） A．两个椭圆 B．两个双曲线 { }na 1 1a = 2a 4a 8a ( )0,1na n nb a q q= ≠ { }nb n n nq ( ) 1 21 n n nq nq nq q q ++ − − − ( ) 2 1 1 21 n n nq nq nq q q + + ++ − − − { }na d 2a 4a 8a 0d = { }nb n nS { }na d 1 1a = 2a 4a 8a ∴ 2 4 2 8a a a=  ( ) ( )( )2 1 1 13 7a d a d a d+ = + + ( 1) 0d d − = 0d = 1na = na n= nb q= n nb n q= ⋅ { }nb n nS nb q= nS nq= n nb n q= ⋅ 2 31 2 3 n nS q q q n q= × + × + × +……+ × 2 3 4 11 2 3 n nqS q q q n q += × + × + × +……+ × − ( ) ( )2 3 1 11 1 1 n n n n n q q q S q q q q n q n qq + + − − = + + + − × = − ×−+⋅⋅ 1 2 1 1 2 2 (1 ) (1 ) 1 (1 ) n n n n n n q q n q q nq nq qS q q q + + + +− × + − −= − =− − − ( )2 2 2 1 1: 2C x y r+ + = ( )2 2 2 2 2: 2C x y r− + = 1r 2r 1 2 4r r+ < 1 2 4r r− > P C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线 【答案】BCD 【解析】根据题意可知当 ,即两圆外离时, 当 ,两圆相交,再分情况讨 论动圆这两个圆相切的类型求轨迹即可. 【详解】 根据题意圆 ,半径 ,圆 ,半径 ,所以 ,设圆 的半径为 , （1）当 ,即两圆外离时,动圆 可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外 切, ①均内切时 , ,此时 , 当 时,此时 点的轨迹是以 , 为焦点的双曲线, 当 时,此时点 在 , 的垂直平分线上． ②均外切时 , ,此时 ,此时 点的轨迹是 与①相同． ③与一个内切与一个外切时,不妨设与圆 内切,与圆 外切, , , 与圆 内切,与圆 外切时,同理得, 此时点 的轨迹是以 , 为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样． （2）当 ,两圆相交,动圆 可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切, ④均内切时轨迹和①相同． ⑤均外切时轨迹和①相同 ⑥与一个内切另一个外切时,不妨设与圆 内切,与圆 外切, , , ,此时点 的轨迹是以 , 为焦点的 椭圆． 与圆 内切,与圆 外切时,同理得 , 此时点 的轨迹是以 , 为焦点的椭圆． 故选：BCD 【点睛】 1 2 4r r+ < 1 2 4r r+ > ( )1 2,0C − 1r ( )2 2,0C 2r 1 2 4C C = P r 1 2 4r r+ < P 1 1PC r r= − 2 2PC r r= − 1 2 1 2PC PC r r− = − 1 2r r≠ P 1C 2C 1 2r r= P 1C 2C 1 1PC r r= + 2 2PC r r= + 1 2 1 2PC PC r r− = − P 1C 2C 1 1PC r r= − 2 2PC r r= + 2 1 1 2PC PC r r− = + 2C 1C 1 2 1 2PC PC r r− = + P 1C 2C 1 2 4r r+ > P 1C 2C 11PC r r= − 2 2PC r r= + 1 2 1 2PC PC r r+ = + P 1C 2C 2C 1C 1 2 1 2PC PC r r+ = + P 1C 2C 本题主要考查了圆与圆的位置关系,需要根据题意分析圆相切的类型,同时需要根据圆心 之间的距离关系判定轨迹方程,属于中等题型. 三、填空题 13．实轴长为 12，离心率为 2，焦点在 轴上的双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】根据双曲线的基本量求解即可. 【详解】 根据题意,要求双曲线的实轴长为 12,则 ,即 , 又由其离心率 ,即 ,则有 ,则 , 又由双曲线的焦点在 轴上,则其标准方程为： ； 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查了双曲线的基本量求解求方程的方法,属于基础题型. 14．在数列 中， ， ， ，则 ______． 【答案】 【解析】利用递推公式可验证出数列 为周期为 的周期数列，从而可得 . 【详解】 令 ，则 令 ，则 令 ，则 令 ，则 令 ，则 令 ，则 x 2 2 136 108 x y− = 2 12a = 6a = 2e = 2ce a = = 12c = 2 2 108b c a= − = x 2 2 136 108 x y− = 2 2 136 108 x y− = { }na 1 1a = 2 5a = ( )* 2 1n n na a a n N+ += − ∈ 2020a = 1− { }na 6 2020 4 1a a= = − 1n = 3 2 1 5 1 4a a a= − = − = 2n = 4 3 2 4 5 1a a a= − = − = − 3n = 5 4 3 1 4 5a a a= − = − − = − 4n = ( )6 5 4 5 1 4a a a= − = − − − = − 5n = ( )7 6 5 4 5 1a a a= − = − − − = 6n = ( )8 7 6 1 4 5a a a= − = − − = 数列 为周期为 的周期数列 本题正确结果： 【点睛】 本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周 期数列，从而利用周期将所求值进行化简. 15．已知直线 ， ．若 ， 与两坐标轴围成的四边 形有一个外接圆，则 ________． 【答案】 ． 【解析】由 l1，l2 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角 的和等于 180°．当直线 l2 的斜率大于零时，根据 l1⊥l2 ，由此求得 k 的值．当直线 l2 的 斜率小于零时，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即 tan∠ABC＝﹣tan∠ADC，由此又求得一个 k 值，综合可得结论． 【详解】 由题意知，l1，l2 与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补． 由于直线 l1：x+3y﹣5＝0 是一条斜率等于 的固定直线，直线 l2：3kx﹣y+1＝0 经过 定点 A（0，1）， 当直线 l2 的斜率大于零时，应有 l1⊥l2 ，∴3 k×（ ）＝﹣1，解得 k＝1． 当直线 l2 的斜率小于零时，如图所示：设直线 l1 与 y 轴的交点为 B，与 x 轴的交点为 C，l2 与 x 轴的交点为 D， 要使四边形 ABCD 是圆内接四边形，应有∠ABC 与∠ADC 互补，即 tan∠ABC＝ ﹣tan∠ADC． 再由 tan（90°+∠ABC）＝KBC ，可得 tan∠ABC＝3，∴tan∠ADC＝﹣3＝KAD＝3k， 解得 k＝﹣1． 综上可得，k＝1 或 k＝﹣1， 故答案为：±1． ∴ { }na 6 2020 336 6 4 4 1a a a× +∴ = = = − 1− 1 : 3 5 0l x y+ − = 2 :3 1 0l kx y− + = 1l 2l k = 1k = ± 1 3 − 1 3 − 1 3 = − 【点睛】 本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角的和等于 180°的四边形一定有外接圆，属于基础题． 16．已知数列 中， ， ，设 ，若对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】∵ ， （ ， ），当 时， ， ，…， ，并项相加，得： ， ∴ ，又∵当 时， 也满足上式， ∴数列 的通项公式为 ，∴ ，令 （ ）， 则 ，∵当 时， 恒成立，∴ 在 上是增函 数， 故当 时， ，即当 时， ，对任意的正整数 ， 当 时，不等式 恒成立，则须使 ， 即 对 恒成立，即 的最小值，可得 ，∴实数 的取值范 { }na 1 1a = 1 ( 2, )n na a n n n N + −− = ≥ ∈ 1 2 3 2 1 1 1 1...n n n n n b a a a a+ + + = + + + + n [1,2]m∈ 2 1 3 nm mt b− + > t 1t < 1 1a = 1n na a n−− = 2n ≥ n N∈ 2n ≥ 1n na a n−− = 1 2 1n na a n− −− = − 2 1 2a a− = 1 1 3 2na a n n− = + − +…+ +（ ） 11 2 3 12na n n n= + + +…+ = +（ ） 1n = 1 1 1 1 1 12a = × × + =（ ） { }na 1 12na n n= +（ ） 1 2 3 2 1 1 1 1 n n n n n b a a a a+ + + = + + +…+ ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 121 2 2 3 2 2 1 1 2 2 3 2 2 1n n n n n n n n n n n n = + +…+ = − + − +…+ −+ + + + + + + + + +（ ） 2 1 1 2 22 11 2 1 2 3 1 2 3 n n n n n n n = − = =+ + + + + + （ ） ( ) 12f x x x = + 1x ≥ ( ) 2 12f x x ′ = − 1x ≥ ( ) 0f x¢ > ( )f x [1x∈ + ∞， ） 1x = ( ) ( )1 3minf x f= = 1n = ( ) 1 3n maxb = n [1 2]m∈ ， 2 1 3 nm mt b− + > ( )2 1 1 3 3n maxm mt b− + > = 2 0m mt− > [1 2]m∀ ∈ ， t m< 1t < t 围为 ，故答案为 . 点睛：本题考查数列的通项及前 项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求 解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当 时 ，进而可得数列 的通项公式 ，裂 项、并项相加可知 ，通过求导可知 是增函数，进而问题转化为 ，由恒成立思想，即可得结论. 四、解答题 17．已知数列 是递增的等比数列，且 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 为数列 的前 n 项和， ，求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】试题分析：（1）设等比数列 的公比为 q，，根据已知由等比数列的性质可 得 ，联立解方程再由数列 为递增数列可得 则通项公 式可得 （2）根据等比数列的求和公式，有 所以 ，裂项求和即可 试题解析：（1）设等比数列 的公比为 q，所以有 联立两式可得 或者 又因为数列 为递增数列，所以 q>1，所以 数列 的通项公式为 （2）根据等比数列的求和公式，有 ( ),1−∞ ( ),1−∞ n 2n ≥ 1 1 3 2na a n n− = + − +…+ +（ ） { }na 1 12na n n= +（ ） nb ( ) 12f x x x = + ( )2 1 1 3 3n maxm mt b− + > = { }na 1 4 2 39, 8.a a a a+ = = { }na nS { }na 1 1 n n n n ab S S + + = { }nb nT 12n na −= 1 1 2 2 2 1 n n + + − − { }na 3 2 3 1 1(1 ) 9, 8a q a q+ = = { }na 1 1{ 2 a q = = 1 2 2 11 2 n n ns −= = −− 1 1 1 2 (2 1)(2 1) n n n n n n n ab s s + + + = = − − { }na 3 2 3 1 4 1 2 3 1(1 ) 9, 8a a a q a a a q+ = + = = = 1 1{ 2 a q = = 1 8 { 1 2 a q = = { }na 1 1{ 2 a q = = { }na 12n na −= 1 2 2 11 2 n n ns −= = −− 所以 所以 【考点】等比数列的通项公式和性质，数列求和 18．如图， 轴，点 在 的延长线上，且 .当点 在圆 上运动时， （1）求点 的轨迹方程. （2）过点 作直线 与点 的轨迹相交于 、 两点，使点 被弦 平分， 求直线 的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设 ， ,所以 ， , ， ，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线 的 方程为 ，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可. 【详解】 （1）解析:设 ，则 , , ， ∵ ,所以 1 1 1 1 2 1 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1 n n n n n n n n n ab s s + + + + = = = −− − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 21 ... 13 3 7 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n nT + + + + −= − + − + + − = − =− − − − DP y⊥ M DP 3DM DP = P 2 2 1x y+ = M 1(1, )3Q l M A B Q AB l 2 2 1( 0)9 x y x+ = ≠ 3 2 0x y+ − = ( ) ( )0 0, , ,M x y P x y 3DM DP = 03x x= ( )0,D y 0y y= 0 0 3 xx y y  =  = l ( ) 11 3y k x= − + ( ) ( )0 0, , ,M x y P x y ( )0,D y 0y y= 0DP x= DM x= 3DM DP = 03x x= ∵ ∴ ① ∵ 在圆 上，∴ ，代入①得 ,∴ , ∴ . （2） 由题意知直线 的斜率存在， 过点 ， 设直线 的方程为 ，设 ，联立 得， ∵点 在椭圆内部，∴不论 取何值，必定有 .由韦达定理知 ∵ 的中点是 ，∴ ，即 ， 解得 ， ∴直线 的方程为 . 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一 次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题， 最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法 之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别 式的作用． 0 0 3x x y y =  = 0 0 3 xx y y  =  = P 2 2 1x y+ = 2 2 0 0 1x y+ = 2 2 19 x y+ = 3, 0DM DPDP = ∴ ≠ 0x ≠ ( )2 2 1 09 x y x+ = ≠ l l 11, 3      l ( ) 11 3y k x= − + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( ) 2 2 11 3 19 y k x x y  = − +  + = ( ) 2 2 2 1 11 9 18 9 9 03 3k x k k x k   + + − + + − + − =       11, 3      k 0∆ > 2 1 2 2 18 6 1 9 k kx x k − ++ = − + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 11, 3      1 2 2x x+ = 2 1 2 2 18 6 21 9 k kx x k − ++ = − =+ 1 3k = − l 3 2 0x y+ − = 19．黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙 所以河水呈现黄色， 黄河的水源来自青海高原，上游的 1000 公里的河水是非常清澈的. 只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变 得浑浊.在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交 汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄 河和洮河在汛期的水流量均为 2000 ，黄河水的含沙量为 ，洮河水的含沙 量为 ，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观 测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在 1 秒内交换 的水量，即从洮河流 入黄河 的水混合后，又从黄河流入 的水到洮河再混合. （1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量； （2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 ?（不考虑泥沙沉 淀） 【答案】（1）洮河水的含沙量为 ，黄河水的含沙量为 .（2）第 8 个观 测点 【解析】（1）用 ， 分别表示河流在经过第 n 个观测点时，洮河水和黄河水的含沙 量，则 ， ，利用递推关系求出 即可得结果；（2）由题意可知 ， ， 两式结合化简可得数列 是 以 18 为首项， 为公比的等比数列， 求出通项公式，解不等式即可得结果. 【详解】 （1）用 ， 分别表示河流在经过第 n 个观测点时，洮河水和黄河水的含沙量， 则 ， . 由题意可知， ， 3m / s 32 kg / m 320 kg / m 31000 m 31000 m 31000 m 30.01kg / m 314 kg / m 38 kg / m na nb 1 20a = 1 2b = 2 2,a b 1 11000 2000 2000 1000 n n n a bb − −+= + 11000 1000 2000 n n n b aa −+= { }n na b− 1 3 na nb 1 20a = 1 2b = 1 1 2 1 1 1000 2000 1 2 82000 1000 3 3 a bb a b += = + =+ ， 即经过第二个观测点时，洮河水的含沙量为 ，黄河水的含沙量为 . （2）由题意可知 ， ， 由于题目中问题考虑河水中含沙量之差，故可考虑数列 ， 由上式可知， ， ， 所以数列 是以 18 为首项， 为公比的等比数列， 则 ，令 则 ， ， 即从第 8 个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 . 【点睛】 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例 考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将 实际问题转化为数学模型进行解答. 20．已知椭圆 的左、右焦点为别为 F1、F2，且过点 和 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，点 A 为椭圆上一位于 x 轴上方的动点，AF2 的延长线与椭圆交于点 B，AO 的延长线与椭圆交于点 C，求△ABC 面积的最大值，并写出取到最大值时直线 BC 的方 程． 【答案】（1） （2）y= 【解析】（1）将两点代入椭圆方程，求出 a，b，然后求解椭圆的标准方程． （2）设 AF2 的方程为 x=ty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，点 到直线的距离求解三角形的面积结合基本不等式求解最值，然后求解 BC 的方程即 2 1 2 1 2 1000 1000 1 1 142000 2 2 b aa a b += = + = 314 kg / m 38 kg / m *1 1 1 1 1000 2000 1 2 ( 2, )2000 1000 3 3 n n n n n a bb a b n n− − − − += = + ≥ ∈+ N *1 1 1 1 1000 1000 1 1 2 1 ( 2, )2000 2 2 3 3 n n n n n n n b aa a b a b n n− − − − += = + = + ≥ ∈N { }n na b− * 1 1 1 ( )( 2, )3n n n na b a b n n− −− = − ≥ ∈N 1 1 18a b− = { }n na b− 1 3 1118 ( )3 n n na b −− = × 1118 ( ) 0.01,3 n−× < 13 1800n− > 8n ≥ 30.01kg / m ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = ＞ ＞ 21 2       ， 2 3 2 2       ， 2 2 12 x y+ = 2 2 − 可． 【详解】 解：（1）将两点代入椭圆方程，有 解得 ， 所以椭圆的标准方程为 ． （2）因为 A 在 x 轴上方，可知 AF2 斜率不为 0，故可以设 AF2 的方程为 x=ty+1， ， 得 ，所以 ， 设原点到直线 AF2 的距离为 d，则 ， 所以 S△ABC=2S△OAB = = = ，△ABC 面积的最大值为 ． 在 t=0 时取到等号成立，此时 AB 的方程为：x=1， 可得，A（1， ），B（1，- ），C（-1， ）， 此时 BC 的方程为：y= ， 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档 题． 2 2 2 2 1 1 12 1 3 12 4 a b a b  + =  + = 2 2 2 1 a b  =  = 2 2 12 x y+ = ( ) 2 2 2 21 2 2 1 02 1 x y t y ty x ty  + = ⇒ + + − =  = + 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ty y t y y t − + = + − = + ( )2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 t AB t y y t + = + − = + 2 1 1 d t = + 12 2 AB d× × × ( )2 2 2 2 1 2 t t + + 2 2 2 2 211 1 t t ≤ + + + 2 2 2 2 2 2 2 − 2 2 − 21．已知椭圆 的左、右焦点 、 ， 是椭圆上任意一点， 若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△ 的周长 为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 是圆 的切线， 与椭圆 交与不同的 两点 ， ，证明： 的大小为定值． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】(1)根据椭圆的定义与基本量之间的关系求解即可. (2)可猜测 ,由直线与圆相切可得 ,再联立直线与椭圆的方程, 求解出韦达定理再代入计算 ,代入 化简求得 即可. 【详解】 （1）由椭圆的定义可知周长为 , 焦点在圆上,所以 , ,解得 , 所以椭圆方程为 ． （2）证明：由直线与圆相切有 ,即 , 联立 ,由韦达定理可得 , ∴ , ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1F 2F M 1 2MF F 4 2 2+ C ( ): 0l y kx m k= + ≠ 2 2 4: 3O x y+ = l C Q R QOR∠ 2 2 14 2 x y+ = 2ROQ π∠ = 2 23 4 4m k= + OP OQ⋅  2 23 4 4m k= + 0OP OQ⋅ =  2 2 4 2 2a c+ = + b c= 2 2 2c a b= − 2, 2a b c= = = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 3 31 m k = + 2 23 4 4m k= + ( )2 2 22 2 1 2 4 2 4 0 14 2 y kx m k x kmx mx y = + ⇒ + + + − = + = 2 1 2 2 1 2 2 2 4 1 2 4 1 2 mx x k kmx x k  −= + − + = + ( )( )1 2 1 2y y kx m kx m= + + ( ) ( )2 2 1 2 1 2k x x km x x m= + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 2 1 2 1 2 m k k k m m kmk k k − −= − + =+ + + ∴ , ∴ ,∴ 为定值． 【点睛】 本题主要考查了根据椭圆的定义与基本量求解椭圆方程的方法,同时也考查了直线与椭 圆联立方程利用韦达定理证明定值的问题,属于难题. 22．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置， 我们说球 是指该球的球心点 ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上 运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方 向．所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开 始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）如图，设母球 的位置为 ，目标球 的位置为 ，要使目标球 向 处运动，求母球 球心运动的直线方程； （2）如图，若母球 的位置为 ，目标球 的位置为 ，能否让母球 击打 目标 球后，使目标 球向 处运动？ （3）若 的位置为 时，使得母球 击打目标球 时，目标球 运动方向 可以碰到目标球 ，求 的最小值（只需要写出结果即可）. 【答案】（1） ；（2）不能；（3）-2 【解析】(1)根据球运动的规律分析 , 两球碰撞时,球 的球心的坐标满足的方程,再 根据外切的半径关系与圆心满足的条件列式求解圆心和半径即可. (2)根据球的运动规律求得 的斜率是否满足条件再判定即可. ( )( ) 2 2 1 2 1 2 2 4 1 2 m ky y kx m kx m k −= + + = + 2 2 1 2 1 2 2 3 4 4 02 1 m kOP OQ x x y y k − −⋅ = + = =+   2ROQ π∠ = A A A ( )0,0 B ( )4,0 B ( )8, 4C − A A ( )0, 2− B ( )4,0 A B B ( )8, 4− A ( )0,a A B ( )4,0B 118, 2  −   a 2 2 1 7y x += A B A AA′ (3)画图分析求解即可. 【详解】 （1）点 与点 的直线方程为： , 依题意,知 , 两球碰撞时,球 的球心在直线 上,且在第一象限, 此时 ,设 , 两球碰撞时球 的球心坐标为 , 则有： ,解得： , , 即： , 两球碰撞时球 的球心坐标为 , 所以,母球 运动的直线方程为： （2） , ,要使 沿着 的方向移动, 则 的斜率小于等于 1,而 , 故不可能让母球 击打目标球 球后,使目标球 向 运动； （3） 得 最小为 ． 【点睛】 本题主要考查了圆的方程的实际运用,需要根据题意与圆中半径和圆心的关系,数形结合 ( )4,0B ( )8, 4C − 4 0x y+ − = A B A 4 0x y+ − = 2AB = A B A ( ),a b ( )2 2 4 0 4 2 0, 0 a b a b a b + − =  − + =  > > 4 2a = − 2b = A B A ( )4 2, 2A′ − A 2 2 2 1 74 2 y x x += = − ( )0, 2A − ( )4 2, 2A′ − B 4 0x y+ − = AA′ 2 2 8 2 174 2AAk ′ += = > − A B B (8, 4)− a 2− 列出对应的表达式进行求解.属于中等题型.