2012泉州1月份质检理数试卷

2012泉州1月份质检理数试卷

‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 ‎2012年泉州市普通高中毕业班质量检测 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. ‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式： ‎ 样本数据、、…、的标准差：‎ ‎，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数(为虚数单位)是纯虚数，则 A．-1 B‎.1 C. D.0 ‎ ‎2. 下列向量中与向量a垂直的是 A．b= B. c= C．d= D．e= ‎ ‎3. 已知是直线，是平面，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　‎ C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 已知，则 A． B． C． D．‎ ‎5.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，现从中随机取出2个小球，则取出的2个小球标注的数字之和为5的概率是（ ）‎ ‎　　A． B． C． D． ‎ ‎6. 设等比数列的前项和为，若，，则公比 A．1 B‎.2 ‎‎ C．4 D．8‎ ‎7. 若函数没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8. 某公司生产一种产品，每生产1千件需投入成本81万元，每千件的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：千件）满足关系：．该公司为了在生产中获得最大利润（年利润=年销售收入－年总成本），则年产量应为 A．5千件 B．千件 C．9千件 D．10千件 ‎9. 如图1所示，一平面曲边四边形中，曲边是某双曲线的一部分，该双曲线的虚轴所在直线为，边在直线上，四边形绕直线旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺寸如图2所示，其中俯视图中小圆的半径为1，则该双曲线的离心率是 A．3　　 　　B．‎4　‎　　 　C．　　　 　D．2‎ ‎　　　　　‎ ‎10.设函数的定义域为，若对于任意且，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究并利用函数的对称中心，可得 A．4023　　　 　B．‎-4023　‎　　 　C．8046　　　 　D．-8046‎ ks5u 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11. 设集合，，若，则________ . ‎ ‎12. 已知圆与直线（）有公共点，则实数的取值范围是_______. ‎ ‎13. 已知不等式组所表示的平面区域为,从中任取一点，则点横坐标大于2的概率为_____.‎ ‎14. 在某次模拟考试中，某校1000名考生的数学成绩近似服从正态分布，则该校数学成绩在140分以上的考生人数约为 .（注： 若，则 ‎）‎ ‎15. 在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程转化为线性回归方程，即两边取对数,令,得到.受其启发，可求得函数的值域是____ ___.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 已知等差数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的前n项和；‎ ‎（Ⅱ）从集合中任取3个不同的元素，其中偶数的个数记为，求的分布列和期望.‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ 已知函数（）的部分图像， 是这部分图象与轴的交点（按图所示），函数图象上的点满足：.‎ ‎（Ⅰ）求函数的周期；‎ ‎（Ⅱ）若的横坐标为1，试求函数的解析式，并求的值.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.‎ ‎（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线与椭圆交于两点，且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ 某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体材料切割成三棱锥. ‎ ‎（Ⅰ）若点分别是棱的中点，点是上的任意一点，求证：；‎ 开始 结束 输出三棱锥的高 输入 ‎（Ⅱ）已知原长方体材料中，，，，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高.‎ ‎(i) 甲工程师先求出所在直线与平面所成的角，再根据公式求出三棱锥的高.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高.‎ ‎（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的的值是多少？（请直接写出的值，不要求写出演算或推证的过程）.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的导函数；‎ ‎（Ⅱ）若、为函数的两个极值点，且，试求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅲ）设函数在点（为非零常数）处的切线为，若函数图象上的点都不在直线的上方，试探求的取值范围.‎ ‎21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作 ‎（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 已知矩阵的一个特征值为1.‎ ‎（Ⅰ）求矩阵的另一个特征值；‎ ‎（Ⅱ）设，求.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数使成立，求实数的取值范围． ‎ ‎2012届泉州市普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1． B 2．D 3．B 4．B 5．C 6． C 7．A 8．C 9 D． 10．D ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.‎ ‎11． 12． 13. 14． 15．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16. 本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分．‎ 解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得 解得. ……2分ks5u 故，. ……5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∴有5个奇数，5个偶数. ……6分 有共四个取值，‎ ‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎……10分 则. ……13分 ‎17. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分．‎ 解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理可得：，‎ ‎，或（舍去）. ……………3分 函数的周期为8. ………….5分 ‎（Ⅱ），， ……….7分 又函数过点，， …………9分 ‎.‎ 过点作轴的垂线，垂足为，在中，，，， ， ， . …..11分 ‎，‎ 则. …….13分 ‎18. 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分13分．‎ 解析：（Ⅰ）椭圆的离心率为， ……1分 抛物线的焦点为. ……2分 设椭圆的方程为，‎ 由题意，得：　，解得，　　‎ ‎∴椭圆的标准方程为 . ……5分 ‎（Ⅱ）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆. ……6分 联立椭圆和直线的方程，，消去，‎ 得， ……7分 设的横坐标分别为，则. ……8分 设椭圆的方程为， ……9分 联立方程组，消去，得,‎ 设的横坐标分别为，则. ……10分 ‎∵弦的中点与弦的中点重合， ……11分 ‎∴，，‎ ‎∵，∴化简得， ……12分ks5u 求得椭圆的离心率，……13分 ‎∴椭圆与椭圆是相似椭圆.‎ 解法二：设椭圆的方程为，‎ 并设.‎ ‎∵在椭圆上，‎ ‎∴且，两式相减并恒等变形得. ……8分 由在椭圆上，仿前述方法可得. ……11分 ‎∵弦的中点与弦的中点重合，‎ ‎∴， ……12分 求得椭圆的离心率，……13分 ‎∴椭圆与椭圆是相似椭圆.‎ ‎19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.‎ 解:（Ⅰ）证法一：∵，‎ ‎∴.‎ ‎,‎ ‎∴∥平面， ‎ 同理可证∥平面, ……3分 ‎∵,且，‎ ‎∴， ……4分 又，故.……5分 证法二：连并延长交于，连接.‎ ‎∵，‎ ‎∴,则，‎ 又∵，∴， ……2分 ‎，‎ ‎∴. ……5分 ‎（Ⅱ）(i)如图，分别以所在直线为建立空间直角坐标系.则有，. ……6分 ‎　，. ‎ 设平面的一个法向量，‎ 则有，解得,‎ 令，则, ……8分 ‎∴, ……9分 ‎∴三棱锥的高为. ……10分 ‎（ii）. ……13分 ‎20. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．满分14分．‎ 解析：（Ⅰ）函数的定义域为.‎ 当时，，； ……1分 当时，，； ……3分 综上可得 . ……4分 ‎（Ⅱ）∵，、为函数的两个极值点，‎ ‎∴、为方程的两根，所以，‎ 又∵，∴. ……5分 此时，，‎ 由得，‎ 当时，，此时；‎ 当时，，此时. ‎ ‎∴当时，或. ……7分 当时，同理解得. ……8分 综上可知满足题意，且函数的单调递增区间为和. ……9分 ‎（Ⅲ）∵，又，‎ ‎∴切线的方程为，‎ 即（为常数）. ……10分 令 ‎，‎ ‎， 11分 当时，、、的关系如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 当时，、、的关系如下表：ks5u ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 函数的图象恒在直线的下方或直线上，‎ 等价于对恒成立.‎ ‎∴只需和同时成立. ……12分 ‎∵，∴只需.‎ 下面研究函数，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 注意到，∴当且仅当时，. ……13分 ‎∴当且仅当时，，‎ 由解得或.‎ ‎∴的取值范围是. ……14分 ‎21.（1）选修4—2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.‎ 解：（Ⅰ）矩阵的特征多项式，…1分 又矩阵的一个特征值为1，‎ ‎，， ……2分 由，得，‎ 所以矩阵的另一个特征值为2. ……3分ks5u ‎（Ⅱ）矩阵的一个特征值为，对应的一个特征向量为，……4分 另一个特征值为，对应的一个特征向量为，……5分 ‎∵，∴. ……7分 ‎（2）选修4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.‎ 解析：（Ⅰ）曲线可化为即， ……1分 所以曲线在极坐标系中的方程为， ……2分 由于包含的情况，‎ ‎∴曲线在极坐标系中的方程为. ……3分 ‎（Ⅱ）直线的方程可化为， ……4分 圆的圆心到直线的距离为， ……5分 又圆的半径为，‎ 直线被曲线截得的弦长. ……7分 ‎（3）选修4—5；不等式选讲 本题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.‎ 解析：（Ⅰ）当时，由得，所以； ‎ 当时，由得，所以； ‎ 当时，由得，所以. ……2分 综上得：不等式的解集. ……3分 ‎（Ⅱ）， ……4分 由柯西不等式得， ‎ ‎， ……5分ks5u 当且仅当时取“=”， ‎ ‎ 的取值范围是. ……7分