2017-2018学年辽宁省庄河市高级中学高二上学期开学考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省庄河市高级中学高二上学期开学考试数学（理）试题（解析版）

辽宁省庄河市高级中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、选择题 ‎1．的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎2．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数， ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据回归直线过样本中心点，‎ 易得：B选项适合.‎ ‎3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】最小正周期，且在区间上为减函数，适合； 最小正周期为，不适合； 最小正周期为，在区间上不单调，不适合； 最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.‎ 故选：A ‎4．在中，若，则是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】将已知条件变形可得，展开整理得 或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选D.‎ 点睛：在解三角形中关于判断三角形形状的题目，可将已知条件都转化为三角形的三边或三角后求解，若都转化为边，则借助于三角形的余弦定理的变形，如，通过的正负来确定角的范围，从而确定三角形形状，若都转化为角，则利用三角函数公式将其化简，求得角的大小，亦可确定三角形形状.‎ ‎5．从编号为0,1,2， ，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 A．8 B．10 C．12 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：系统抽样的分段间隔，设样本中产品的最小编号是，42是第三个编号，因此 ‎，得，故答案为B．‎ ‎【考点】系统抽样的应用．‎ ‎6．在中， ， ， ，则解的情况（ ）‎ A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由正弦定理得： ，解得，因为，所以角无解，即此三角形的情况无解，故选A.‎ ‎【考点】正弦定理的应用.‎ ‎7．阅读如图所示的程序框图，输出结果s 的值为 ‎　　‎ ‎【答案】A ‎【解析】由流程图可知：该程序的功能为计算 ，故选A.‎ ‎8．已知， ， 与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】∵， ， 与的夹角为钝角，‎ ‎∴，即,∴或 故选：D ‎9．在区间上随机的取一个，则事件“”发生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵， ，∴‎ ‎∴事件“”发生的概率为=‎ 故选：C 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎10．已知，，，，则cos(α+β)的 值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为， ，所以， ，‎ 又因为， ，所以， ，‎ 故，故选B.‎ ‎11．已知函数的最大值为3，的图像在轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则 （ ） ‎ ‎(A) 0 (B) 100 (C) 150 (D)200‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由题意，所以。‎ ‎12．在边长为1的正三角形中， ， ，且 ‎，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题设： ‎ 所以， ‎ ‎=‎ 所以当时， 取得最大值.‎ ‎【考点】1、平面向量基本定理；2、平面向量的数量积.‎ 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量的夹角为， ， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】=‎ 故答案为： ‎ ‎14．函数 的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，‎ 令， ，此时对称轴为 ‎ 的最大值是 故答案为：1‎ ‎15．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对一切恒成立，即对一切恒成立 记 ‎∴，即 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 评卷人 得分 三、解答题 ‎16．. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= ___ ‎ ‎ 【答案】9‎ ‎【解析】略 ‎17．在平面直角坐标系中，已知向量，，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若与的夹角为，求的值．‎ ‎【答案】（1）;(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据向量垂直的充要条件向量数量积为零得，再根据同角三角函数关系及角的取值范围求的值；（2）根据向量数量积的定义可得关系式，再根据配角公式及特殊值对应的特殊角求的值.‎ 试题解析：（1）因为，，，‎ 所以，‎ 即，所以，所以，．‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 即，所以，‎ 因为，所以，所以，即．‎ ‎18．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点， 是的中点．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】(1)设圆的半径为，∵圆与直线相切，‎ ‎∴，∴圆的方程为. ‎ ‎(2)当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，‎ 此时有，则直线符合题意； ‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，‎ 则直线的方程为，即，‎ ‎∵是的中点，∴ ，∴，‎ 又∵， ，∴ ，‎ 由，得，‎ 则直线的方程为，即. ‎ 综上，直线的方程为或． ‎ ‎19．的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于是边的齐次式，用正弦定理化角做，得，再统一成角A,B做。（2）由（1）及写角B的余弦定理，得，由均值不等式可求的最大值。‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得．‎ ‎∵，∴．‎ 化简，得．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）由已知及余弦定理，得．‎ 即．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，当且仅当时，取等号．‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎20．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组， ，…， 后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）补全频率分布直方图；‎ ‎（2）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段内的概率.‎ ‎【答案】（1），（2）121， （3） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出分数在[120，130）内的频率，由此能补全频率分布直方图．‎ ‎（Ⅱ）利用频率分布直方图估计平均分．‎ ‎（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d，由此利用列举法能求出至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．‎ 试题解析：‎ ‎（1）分数在[120，130）内的频率，因此补充的长方形的高为0.03‎ ‎ ‎ ‎（2）估计平均分为 ‎ ‎ ‎（3）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2，‎ 用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，‎ 需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m，n；‎ 在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a，b，c，d；‎ 设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A，‎ 则基本事件共有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d）,（c，d）}，共15个．‎ 事件A包含的基本事件有{（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）}共9个．‎ ‎∴P（A）＝＝． ‎ ‎21．设函数，其中，已知，‎ ‎（I）求 ‎（II）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值 ‎【答案】（1）2（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 ‎ 由题设知及可得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 从而.‎ 根据得到，进一步求最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以 由题设知，‎ 所以， .‎ 故， ，又，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 当，‎ 即时， 取得最小值.‎ ‎【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.‎ ‎22．已知函数， .‎ ‎（1）若对任意的，均有，求的取值范围；‎ ‎（2）若对任意的，均有，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用两角和与差的正弦公式及二倍角公式化简函数的解析式，求出两个函数的最值，列出不等式求解即可．‎ ‎（2）不等式恒成立问题，经过变量分离转化为新函数的最值问题．‎ 试题解析：‎ ‎，‎ 由，得.‎ ‎，当时，，要使恒成立，只需，解得.‎ 当时，，要使恒成立，只需，矛盾.‎ 综上的取值范围是. ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 要使恒成立，只需，‎ 则，因为，，‎ 所以只需恒成立，则所求的的取值范围为. ‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为.‎