2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数 学（理科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）‎ ‎ ‎ ‎4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．函数的图象大致是（ ）‎ ‎8．从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10．设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．二项式的展开式中，含的项的系数是_________．（用数字作答）‎ ‎12．在平行四边形中，对角线与交于点，，则_________．‎ ‎13．设，，则的值是_________．‎ ‎14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是________ ．‎ ‎15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：‎ ‎①若三个点共线，在线AB上，则是的中位点；‎ ‎②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；‎ ‎③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；‎ ‎④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．‎ 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分12分) 在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．‎ ‎17．(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．‎ ‎18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．‎ ‎（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ ‎ 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望．‎ ‎19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．‎ ‎20．(本小题满分13分) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．‎ ‎21．(本小题满分14分)已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．‎ ‎（Ⅰ）指出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．‎ 参考答案 一、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.‎ ‎1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分25分.‎ ‎11.10 12.2 13. 14. 15.①④ ‎ 三、解答题:共6小题,共75分.‎ ‎16.解：设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 ‎.‎ 所以,‎ 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.‎ 所以数列的前项和或. ………….12分 ‎17.解：由,得 ‎,‎ 即,‎ 则,即. ………….. 5分 由,得,‎ 由正弦定理,有,所以,.‎ 由题知,则,故.‎ 根据余弦定理,有,‎ 解得或(舍去).‎ 故向量在方向上的投影为. ………….12分 ‎18. 解：.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故. ……………3分 当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：‎ 输出的值 为的频率 输出的值 为的频率 输出的值 为的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ………7分 ‎（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的分布列为 所以 即的数学期望为1. ………12分 ‎19.解：如图,在平面内,过点做直线//,因为在平面外,‎ 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面.‎ 由已知,,是的中点,所以,,则直线.‎ 因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. …………………………………………………………………………….6分 解法一:‎ 连接,过作于,过作于,连接.‎ 由知,平面,所以平面平面.‎ 所以平面,则.‎ 所以平面,则.‎ 故为二面角的平面角(设为).‎ 设,则由,,有,.‎ 又为的中点,所以为的中点,且,‎ 在中, ;在中, .‎ 从而,,,‎ 所以.‎ 所以.‎ 故二面角的余弦值为. ………………12分 解法二: ‎ 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).‎ 则,.‎ 因为为的中点,所以分别为的中点, ‎ 故,‎ 所以,,.‎ 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以.‎ 设平面的一个法向量为,则 即故有 从而 取,则,所以.‎ 设二面角的平面角为,又为锐角,‎ 则.‎ 故二面角的余弦值为. ………………12分 ‎20．解：‎ 所以，.‎ 又由已知，,‎ 所以椭圆C的离心率……………4分 由知椭圆C的方程为.‎ 设点Q的坐标为(x,y).‎ ‎(1)当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于两点，此时点坐标为 ‎(2) 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.‎ 因为在直线上，可设点的坐标分别为，则 ‎. 又 由，得 ‎，即 ‎ ①‎ 将代入中，得 ‎ ②‎ 由得.‎ 由②可知 代入①中并化简，得 ③‎ 因为点在直线上，所以，代入③中并化简，得.‎ 由③及，可知,即.‎ 又满足，故.‎ 由题意，在椭圆内部，所以，‎ 又由有 且，则.‎ 所以点的轨迹方程是，其中，，………..13分 ‎21．解：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有.‎ 当时，对函数求导，得.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 因此 当且仅当==1，即时等号成立.‎ 所以函数的图象在点处的切线互相垂直时，的最小值为1…………7分 当或时，，故.‎ 当时，函数的图象在点处的切线方程为 ‎，即 当时，函数的图象在点处的切线方程为 ‎，即.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及知，.‎ 由①②得，.‎ 设，‎ 则.‎ 所以是减函数.‎ 则，‎ 所以.‎ 又当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是.‎ 故当函数的图像在点处的切线重合时，的取值范围是.14分 ‎