2014年高考数学（文科）真题分类汇编F单元　平面向量

2014年高考数学（文科）真题分类汇编F单元　平面向量

‎ 数 学 F单元　平面向量 ‎ F1　平面向量的概念及其线性运算 ‎10．F1[2014·福建卷] 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B．2 ‎ C．3 D．4 ‎10．D　[解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M是AC与BD的中点，即＝－，＝－.‎ 在△OAC中，＋＝(＋)＋(＋)＝2.‎ 在△OBD中，＋＝(＋)＋(＋)＝2，‎ 所以＋＋＋＝4，故选D.‎ ‎12．F1[2014·江西卷] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．‎ ‎12．3　[解析] 因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－12×1×1×＋4×1＝9，所以|a|＝3.‎ ‎5．F1、A2[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)‎ A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)‎ ‎5．A　[解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．‎ ‎6．F1[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．A　[解析] 　EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝AC＋AB＝AD.‎ ‎14．F1、F2[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．‎ ‎14．2　[解析] c＝ma＋b＝(m＋4，‎2m＋2)，由题意知＝，即＝，即‎5m＋8＝，解得m＝2.‎ F2　平面向量基本定理及向量坐标运算 ‎3．F2[2014·北京卷] 已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则‎2a－b＝(　　)‎ A．(5，7) B．(5，9)‎ C．(3，7) D．(3，9)‎ ‎3．A　[解析] ‎2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．‎ ‎3．F2[2014·广东卷] 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝(　　)‎ A．(－2，1) B．(2，－1) ‎ C．(2，0) D．(4，3)‎ ‎3．B　[解析] b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．‎ ‎12．F2、F3[2014·湖北卷] 若向量＝(1，－3)，‎ ‎||＝||，·＝0，则||＝________．‎ ‎12．2　[解析] 由题意知，＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝＝2　.‎ ‎12．F2、F3[2014·江苏卷] 如图13所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 图13‎ ‎12．22　[解析] 因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AB＝8，AD＝5，所以2＝25－×64－AB·AD，故AB·AD＝22 .‎ ‎7．F2，F3[2014·山东卷] 已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)‎ A．2 B. C．0 D．－ ‎7．B　[解析] 由题意得cos ＝＝，即＝，解得m＝.‎ ‎13．F2[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(1，－cos θ)，若 a·b＝0，则tan θ＝______.‎ ‎13.　[解析] 由a·b＝0，得sin 2 θ＝cos2θ.又0<θ<，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝.‎ ‎18．F2[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在 △ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎18．解： (1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，‎ ‎∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，‎ ‎∴||＝＝2.‎ ‎(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，‎2m＋n)，‎ ‎∴ 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ ‎14．F1、F2[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．‎ ‎14．2　[解析] c＝ma＋b＝(m＋4，‎2m＋2)，由题意知＝，即＝，即‎5m＋8＝，解得m＝2.‎ F3　平面向量的数量积及应用 ‎12．F2、F3[2014·湖北卷] 若向量＝(1，－3)，‎ ‎||＝||，·＝0，则||＝________．‎ ‎12．2　[解析] 由题意知，＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝＝2　.‎ ‎12．F2、F3[2014·江苏卷] 如图13所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD ‎＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ 图13‎ ‎12．22　[解析] 因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AB＝8，AD＝5，所以2＝25－×64－AB·AD，故AB·AD＝22 .‎ ‎6．F3[2014·全国卷] 已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(‎2a－b)·b＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎6．B　[解析] 因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(‎2a－b)·b＝‎2a·b－b2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.‎ ‎4．F3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．5‎ ‎4．A　[解析] 由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝b，两式相减，得a·b＝1.‎ ‎12．F3[2014·重庆卷] 已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________．‎ ‎12．10　[解析] ∵|a|＝＝2，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.‎ ‎7．F2，F3[2014·山东卷] 已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)‎ A．2 B. C．0 D．－ ‎7．B　[解析] 由题意得cos ＝＝，即＝，解得m＝.‎ ‎13．F3[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．‎ ‎13．2　[解析] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝3，得(1，)＝3(x1，y1＋)，可得E；由＝λ，得(1，－)＝λ(x2，y2－)，可得F.‎ ‎∵AE·AF＝·＝－＝1，∴λ＝2.‎ ‎ F4 单元综合 ‎9．F4[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1(　　)‎ A．若θ确定，则|a|唯一确定 ‎ B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ唯一确定 ‎ D．若|b|确定，则θ唯一确定 ‎9．B　[解析] |b＋ta|≥1，则a2t2＋2|a||b|tcos θ＋b2的最小值为1，这是关于t的二次函数，故最小值为＝1，得到‎4a2b2sin2θ＝‎4a2，故|b|sin θ＝1.若|b|确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b|唯一确定．故选B.‎ ‎10．F4[2014·安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ ‎10．B　[解析] 令S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，则可能的取值有3种情况：S1＝‎2a2＋2b2，S2＝a2＋b2＋‎2a·b，S3＝‎4a·b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝‎2a2＋2b2－‎4a·b＝2>0，S1－S2＝a2＋b2－‎2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3

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