2020高中数学 第一章正弦、余弦函数的单调性与最值

2020高中数学 第一章正弦、余弦函数的单调性与最值

第2课时　正弦、余弦函数的单调性与最值 学习目标：1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ 单调 性 在＋2kπ，k∈Z上递增，‎ 在＋2kπ，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，‎ 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1‎ x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1‎ 思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？‎ ‎[提示]　由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．(　　)‎ ‎(2)cos 1＞cos 2＞cos 3.(　　)‎ ‎(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0.(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．y＝sin x在上是增函数，在上是减函数．‎ ‎(2)正确．y＝cos x在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos 1＞cos 2＞cos 3.‎ ‎(3)正确．函数y＝－sin x在x∈上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为________．‎ 　[当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，‎ 7‎ 此时x＝2kπ－，k∈Z.]‎ ‎3．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．‎ ‎[0,2]　[因为－1≤cos x≤1，‎ 要使cos x＝m－1有意义，‎ 须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 正弦函数、余弦函数的单调性 ‎ 　(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．‎ ‎[思路探究]　1.确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．‎ ‎2．确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin u的单调递增区间．‎ ‎(1)(－π，0]　　[(1)因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]‎ ‎(2)令u＝＋2x，函数y＝sin u的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎[规律方法]　1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．‎ ‎2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．‎ 提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．‎ ‎[跟踪训练]‎ 7‎ ‎1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________．‎ ‎(2)已知函数y＝cos，则它的单调减区间为________．‎ ‎(1)， ‎(2)(k∈Z)　[(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得＋≤x≤＋(k∈Z)．‎ 又x∈，‎ 所以函数y＝sin，‎ x∈的单调递减区间为，.‎ ‎(2)y＝cos＝cos，‎ 由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]‎ 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 ‎　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．‎ ‎(1)sin与sin；‎ ‎(2)sin 196°与cos 156°；‎ ‎(3)cos与cos. 【导学号：84352095】‎ ‎[思路探究]　→ ‎[解]　(1)∵－＜－＜－＜，‎ ‎∴sin＞sin.‎ ‎(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，‎ cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，‎ 7‎ ‎∵0°＜16°＜66°＜90°，‎ ‎∴sin 16°＜sin 66°，‎ 从而－sin 16°＞－sin 66°，‎ 即sin 196°＞cos 156°.‎ ‎(3)cos＝cosπ ‎＝cos＝cosπ，‎ cos＝cosπ ‎＝cos＝cos.‎ ‎∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，‎ ‎∴cosπ＜cos，‎ 即cos＜cos.‎ ‎[规律方法]　三角函数值大小比较的策略 (1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内. (2)不同名的函数化为同名的函数. (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)‎ A．sin α＜sin β　　　　　 B．cos α＜sin β C．cos α＜cos β D．cos α ＞cos β ‎(2)比较下列各组数的大小：‎ ‎①cos，cos；②cos 1，sin 1.‎ ‎(1)B　[(1)α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈，－β∈，‎ 所以cos α＜cos＝sin β.]‎ 7‎ ‎(2)①cos＝cos，cos＝cos，因为0＜＜＜π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，‎ 所以cos＞cos，‎ 即cos＞cos.‎ ‎②因为cos 1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin x在上单调递增，所以sin＜sin 1，‎ 即cos 1＜sin 1.‎ 正弦函数、余弦函数的最值问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值是多少？‎ 提示：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.‎ ‎2．函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？‎ 提示：不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.‎ ‎　(1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值. 【导学号：84352096】‎ ‎[思路探究]　(1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．‎ ‎(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求sin2x的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．‎ ‎(1)[－4,0]　[(1)y＝cos2x＋2sin x－2‎ ‎＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.‎ 因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，‎ 所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]‎ ‎(2)∵0≤x≤，‎ 7‎ ‎∴－≤2x－≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴f(x)max＝a＋b＝，‎ f(x)min＝－a＋b＝－2.‎ 由得 母题探究：1.求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．‎ ‎[解]　因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，‎ 所以当sin x＝－1时，ymin＝－4，‎ 此时x的取值集合为.‎ ‎2．将本例(1)中函数改为y＝cos2x＋sin x，x∈R结果又如何？‎ ‎[解]　y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－2＋.‎ 因为－1≤sin x≤1，所以－1≤y≤，‎ 所以函数y＝cos2x＋sin x，x∈R的值域为.‎ ‎[规律方法]　三角函数最值问题的常见类型及求解方法：‎ ‎(1)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．‎ ‎(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)的范围，最后得最值．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．y＝2cos x2的值域是(　　)‎ A．[－2,2]　 B．[0,2]‎ C．[－2,0] D．R A　[因为x∈R，所以x2≥0，‎ 所以y＝2cos x2∈[－2,2]．]‎ ‎2．函数y＝－cos x在区间上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数 C　[因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间 7‎ 上先减后增．]‎ ‎3．函数y＝sin x的值域为________．‎ 　[因为≤x≤，所以≤sin x≤1，即所求的值域为.]‎ ‎4．sin________sin(填“＞”或“＜”). ‎ ‎＞　[sin＝sin＝sin，‎ 因为0＜＜＜，y＝sin x在上是增函数，所以sin＜sin，‎ 即sin＞sin.]‎ ‎5．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．‎ ‎[解]　求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．‎ 7‎