【数学】2021届一轮复习人教版（文）6函数的奇偶性与周期性作业

【数学】2021届一轮复习人教版（文）6函数的奇偶性与周期性作业

函数的奇偶性与周期性 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝Error!则 f(－7)＝(　　) A．3　　　　B．－3　　　　C．2　　　　D．－2 B　[因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 f(x)＝Error! 所以 f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.] 2．函数 f(x)＝9x＋1 3x 的图象(　　) A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线 y＝x 对称 B　[因为 f(x)＝9x＋1 3x ＝3x＋3－x，易知 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关 于 y 轴对称．] 3．(2019·洛阳模拟)已知函数 f(x)＝a－ 2 ex＋1(a∈R)是奇函数，则函数 f(x)的 值域为(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) A　[法一：由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－f(x)，所以 a－ 2 e－x＋1 ＝－a＋ 2 ex＋1 ， 得 2a＝ 2 ex＋1 ＋ 2 e－x＋1 ，所以 a＝ 1 ex＋1 ＋ ex ex＋1 ＝1，所以 f(x)＝1－ 2 ex＋1.因为 ex＋ 1＞1，所以 0＜ 1 ex＋1 ＜1，－1＜1－ 2 ex＋1 ＜1，所以函数 f(x)的值域为(－1,1)． 法二：函数 f(x)的定义域为 R，且函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝a－1＝0， 即 a＝1，所以 f(x)＝1－ 2 ex＋1.因为 ex＋1＞1，所以 0＜ 1 ex＋1 ＜1，－1＜1－ 2 ex＋1 ＜ 1，所以函数 f(x)的值域为(－1,1)．] 4．已知函数 f(x)＝Error!为奇函数，则 f(a)＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．±1 C　[∵函数 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有 f(－1)＝－f(1)，即 1＋a＝－ a－1，即 2a＝－2，得 a＝－1(符合题意)， ∴f(x)＝Error! ∴f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.] 5．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b(b 为常数)， 则 f(－2)＝(　　) A．6 B．－6 C．4 D．－4 A　[∵f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b， ∴f(0)＝1＋2b＝0， ∴b＝－1 2. ∴f(x)＝3x－7x－1， ∴f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.故选 A.] 二、填空题 6．已知函数 f(x)是偶函数，当 x＞0 时，f(x)＝ln x，则 f (f(1 e2 ))的值为 ________． ln 2　[由已知可得 f(1 e2 )＝ln 1 e2 ＝－2， 所以 f(f(1 e2 ))＝f(－2)． 又因为 f(x)是偶函数， 所以 f(f(1 e2 ))＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.] 7．已知 f(x)是定义在 R 上的函数，并且 f(x＋2)＝ 1 f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝ x，则 f(2 019)＝________. 3　[由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝ 1 f(x＋2)＝ 1 1 f(x) ＝f(x)．故函数 f(x)的 周期为 4.所以 f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.] 8．已知函数 f(x)＝x＋1 x －1，f(a)＝2，则 f(－a)＝________. －4　[法一：因为 f(x)＋1＝x＋1 x ， 设 g(x)＝f(x)＋1＝x＋1 x ， 易判断 g(x)＝x＋1 x 为奇函数， 故 g(x)＋g(－x)＝x＋1 x －x－1 x ＝0， 即 f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故 f(x)＋f(－x)＝－2. 所以 f(a)＋f(－a)＝－2，故 f(－a)＝－4. 法二：由已知得 f(a)＝a＋1 a －1＝2， 即 a＋1 a ＝3，所以 f(－a)＝－a－1 a －1＝－(a＋1 a)－1＝－3－1＝－4.] 三、解答题 9．f(x)为 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝－2x 2＋3x＋1，求 f(x)的解析 式． [解]　当 x＜0 时，－x＞0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－f(－x)， 所以当 x＜0 时，f(x)＝2x2＋3x－1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝0. 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)＝Error! 10．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f(3 2 ＋x)＝－f (3 2 －x) 成立． (1)证明 y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)＝2，求 f(2)＋f(3)的值． [解]　(1)证明：由 f(3 2 ＋x)＝－f(3 2 －x)， 且 f(－x)＝－f(x)， 知 f(3＋x)＝f[3 2 ＋(3 2 ＋x)] ＝－f[3 2 －(3 2 ＋x)]＝－f(－x)＝f(x)， 所以 y＝f(x)是周期函数，且 T＝3 是其一个周期． (2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0， 且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T＝3 是 y＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－ 1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. 1．若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝e x，则 g(x)＝ (　　) A．ex－e－x B.1 2(ex＋e－x) C.1 2(e－x－ex) D.1 2(ex－e－x) D　[因为 f(x)＋g(x)＝ex，所以 f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以 g(x)＝1 2 (ex－e－x)．] 2．(2019·湖南永州第三次模拟)已知 f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且 x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则 f(2 019)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[因为 f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数 f(x)的最小正周期为 2， 又 2 019÷2＝1 009……1，且 x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，因此 f(2 019)＝f(1)＝ log21＋1＝1.故选 C.] 3．已知函数 y＝f(x)，满足 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数，且 f(1)＝π 3 ，设 F(x)＝f(x)＋f(－x)，则 F(3)＝________. 2 3π　[由 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数知：f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝ f(x－2)，故 f(x)＝f(x＋4)，因此，函数 y＝f(x)的周期为 4，则 F(3)＝f(3)＋f(－3)＝ 2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝2π 3 .] 4．已知函数 f(x)＝Error!是奇函数． (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围． [解]　(1)设 x＜0，则－x＞0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1＜a≤3， 故实数 a 的取值范围是(1,3]． 1．定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x＋5)＝f(x)，当 x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－ 1，当 x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　) A．403 B．405 C．806 D．809 B　[定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x＋5)＝f(x)，即函数 f(x)的周期为 5.又当 x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以 f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当 x∈(－3,0]时，f(x) ＝－x－1，所以 f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故 f(1)＋f(2)＋ f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.] 2．已知函数 f(x)＝log2( x2＋a－x)是奇函数，则 a＝________，若 g(x)＝Error! 则 g(g(－1))＝______. 1　 2　[由 f(x)＝log2( x2＋a－x)得 x2＋a－x＞0，则 a＞0，所以函数 f(x) 的定义域为 R.因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝log2 a＝0，解得 a＝1.所以 g(－1)＝f(－1)＝log2( 2＋1)＞0，g(g(－1))＝2log2( 2＋1)－1＝ 2.]