2012年理数高考试题答案及解析-福建

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2012年理数高考试题答案及解析-福建

‎2012年福建省高考理科数学 第I卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若复数z满足zi=1-i,则z等于 A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i ‎2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎3.下列命题中,真命题是 A. B. ‎ C.a+b=0的充要条件是=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 ‎【解析】A,B,C 均错,D正确 ‎【答案】D ‎【考点定位】此题主要考查逻辑用语中的充分必要条件,考查逻辑推理能力、分析判断能力、必然与或然的能力.‎ ‎4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 ‎【解析】分别比较ABC的三视图不符合条件,D符合.‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图,考查空间想象能力、逻辑推理能力.‎ ‎5.下列不等式一定成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎7.设函数则下列结论错误的是 A.D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数 [ D. D(x)不是单调函数 ‎【解析】A,B.D 均正确,C错误。‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键.‎ ‎8.已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. C.3 D.5‎ ‎【解析】∵抛物线的焦点是F(3,0),∴双曲线的半焦距c=3,‎ ‎9.若函数y=2x图像上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为 ‎ A. B‎.1 C. D.2‎ ‎10.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P。设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:‎ ‎①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的;‎ ‎②f(x2)在[1,]上具有性质P;‎ ‎③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];‎ ‎④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎11.(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=_________。‎ ‎【解析】‎ ‎【答案】2‎ ‎【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力.‎ ‎12.阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s值等于_____________________。‎ ‎13.已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.‎ ‎【解析】‎ ‎14.数列{an}的通项公式,前n项和为Sn,则S2012=___________。‎ ‎=2×503+2012=3018.‎ ‎【答案】3018‎ ‎【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并项求和.‎ ‎15.对于实数a和b,定义运算“﹡”: ‎ 设f(x)=(2x-1)﹡(x-1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_________________。‎ ‎【解析】由定义运算“*”可知 ‎ ‎,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是。‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】本题主要考查函数的零点,考查新定义新运算,考查创新能力.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:‎ 将频率视为概率,解答下列问题:‎ ‎(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;‎ ‎(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;‎ ‎(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。‎ ‎17(本小题满分13分)‎ 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。‎ ‎(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°‎ ‎(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°‎ ‎(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°‎ ‎(4)sin2(-18°)+cos248°- sin2(-18°)cos48°‎ ‎(5)sin2(-25°)+cos255°- sin2(-25°)cos55°‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论。‎ ‎【解析】‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点。‎ ‎(Ⅰ)求证:B1E⊥A D1‎ ‎(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行;若存在,求AP的长;若不存在,说明理由。[ ‎ ‎(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长。‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ 如图,椭圆E:的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率。过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程。‎ ‎(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相较于点Q。试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由。‎ ‎【解析】‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R。 ‎ ‎(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。 ‎ ‎21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分。如果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号中。‎ ‎(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1。‎ ‎(Ⅰ)求实数a,b的值。‎ ‎(Ⅱ)求A2的逆矩阵。‎ ‎【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想.‎ ‎(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点O为几点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),,圆C的参数方程。‎ ‎(Ⅰ)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)判断直线l与圆C的位置关系。‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由题意知M(2,0),N(0,),因为P是线段MN中点,则P(1,),‎ 因此PO直角坐标方程为:‎ ‎(Ⅱ)因为直线l上两点M(2,0),N(0,)‎ ‎∴l垂直平分线方程为:,圆心(2,),半径r=2.‎ ‎∴d=,故直线l和圆C相交.‎ ‎【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想。‎ ‎(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].‎ ‎(Ⅰ)求m的值;‎ ‎(Ⅱ)若a,b,c∈R,且 ‎【解析】(1)∵,‎ ‎∴的解集是[-1,1]‎ 故m=1.‎ ‎(2)由(1)知,由柯西不等式得 ‎【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识,考查运算求解能力,考查化归转化思想 ‎ ‎
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