【数学】2019届一轮复习人教B版　应用两大策略解决三角函数图象与性质的综合问题学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　应用两大策略解决三角函数图象与性质的综合问题学案

压轴题命题区间(三)三角函数、解三角形、平面向量 增分点 应用两大策略解决三角函数图象与性质的综合问题 策略一：针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题．一般来说：‎ ‎(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈ )；‎ ‎(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈ )；‎ ‎(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈ )．‎ 策略二：研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．‎ ‎[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )‎ A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ ‎[思路点拨]‎ 本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多．所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．‎ ‎[方法演示]‎ 法一：排除法 由f＝0得，－ω＋φ＝kπ(k∈ )，φ＝kπ＋ω.‎ 当ω＝5时，k只能取－1，φ＝，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，5x＋∈，这个区间不含π(n∈ )中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．‎ 当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，7x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．‎ 当ω＝9时，k只能取－2，φ＝，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，9x＋∈，这个区间不含π(n∈ )中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．‎ 当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－，f(x)＝sin11x－，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，11x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．‎ 综上，ω的最大值为9.故选B.‎ 法二：特殊值法 从T＝，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出<<，不合题意；当ω＝9时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，，容易看出⊆，符合题意，故选B.‎ 法三：综合法 由题意得且|φ|≤，则ω＝2k＋1，k∈ ，φ＝或φ＝－.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减．‎ 法四：分类讨论 由题意知，－≤⇒T≥，‎ 即≥⇒0<ω≤12.①‎ 又由题意可得(n，k∈ )，‎ 所以φ＝＋π.‎ 又|φ|≤，所以－≤k＋n≤.‎ ‎(1)当k＋n＝0时，φ＝，ω＝1－4k.②‎ 由①②可得，当k＝－2时，ω＝9，此时函数f(x)＝sin在上单调递减，符合题意；‎ 当k＝－1时，ω＝5，此时函数f(x)＝sin在上单调递减，符合题意；‎ 当k＝0时，ω＝1，此时f(x)＝sin在上单调递减，符合题意；‎ ‎(2)当k＋n＝－1时，φ＝－，ω＝－1－4k.③‎ 由①③可得，当k＝－1时，ω＝3，此时函数f(x)＝sin在上单调递增，符合题意；‎ 当k＝－2时，ω＝7，此时函数f(x)＝sin在上不单调，舍去；‎ 当k＝－3时，ω＝11，此时f(x)＝sin在上不单调，舍去；‎ 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值，故ω的最大值为9.‎ 答案：B ‎[解题师说]‎ 上述法一和法二的本质是一样的，都是针对选择题的做法，逐一验证，目标明确，不同的是验证的角度．法二直接利用y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的单调区间的特征，每个区间长度为，从靠近区间的特殊极值点开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．‎ ‎[应用体验]‎ ‎1．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )‎ A.∪[6，＋∞)‎ B.∪ C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)‎ D．(－∞，－2]∪ 解析：选D 法一：当ω＞0时，－ω≤ωx≤ω，‎ 可知－ω≤－，解得ω≥；‎ 当ω＜0时，ω≤ωx≤－ω，‎ 可知ω≤－，解得ω≤－2，‎ 所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪.‎ 法二：取ω＝2，则函数f(x)＝2sin 2x，根据2x∈知，当2x＝－时，f(x)取得最小值－2，满足条件，排除A、C；取ω＝－3，则函数f(x)＝2sin(－3x)＝－2sin 3x，根据3x∈知，当3x＝时，f(x)取得最小值－2，满足条件，排除B，故选D.‎ ‎2．(2018·江西联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是，函数y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝－，则当ω取得最小值时，函数f(x)的单调递增区间是( )‎ A.(k∈ )‎ B.(k∈ )‎ C.(k∈ )‎ D.(k∈ )‎ 解析：选B 依题意得，f＝2sin－1＝0，即sin＝，解得＋φ＝2k1π＋或＋φ＝2k2π＋(其中k1，k2∈ )．①‎ 又sin＝±1，‎ 即－＋φ＝k3π＋(其中k3∈ )．②‎ 由①－②得＝(2k1－k3)π－或＝(2k2－k3)π＋，‎ 即ω＝2(2k1－k3)－或ω＝2(2k2－k3)＋(其中k1，k2，k3∈ )，‎ 因此ω的最小值为.‎ 因为sin＝sin＝±1，‎ 所以－＋φ＝＋kπ(k∈ )．‎ 又|φ|<π，所以φ＝＋，‎ 所以f(x)＝2sin－1＝2cosx＋－1，‎ 令2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈ )，‎ 则3kπ－≤x≤3kπ－(k∈ )．‎ 因此，当ω取得最小值时，f(x)的单调递增区间是(k∈ )．‎ 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)＝3cos(ω＞0)和g(x)＝2sin(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是( )‎ A．[－3,3] B. C. D. 解析：选D 因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相同，所以ω＝2，f(x)＝3cos.由x∈，得2x＋∈.根据余弦函数的单调性可知，当2x＋＝π，即x＝时，f(x)min＝－3；当2x＋＝，即x＝0时，f(x)max＝，所以f(x)的取值范围是.‎ ‎2．(2018·郴州质检)将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ‎(纵坐标不变)，所得图象对应的函数的一个单调递增区间为( )‎ A. B. C. D. 解析：选A 将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋的图象，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈ )，得函数y＝sin的单调递增区间为kπ－，kπ＋(k∈ )，当k＝0时，函数y＝sin2x＋在区间－，上单调递增．‎ ‎3．(2018·广州综合测试)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )‎ A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在上单调递增 D．f(x)在上单调递增 解析：选D f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sinωx＋φ＋，因为0<φ<π且f(x)为奇函数，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx，又直线y＝与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，所以函数f(x)的最小正周期为，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈ ，得＋≤x≤＋，k∈ ，令k＝0，得≤x≤，所以f(x)在上单调递增，令－＋2kπ≤4x≤＋2kπ，k∈ ，得－＋≤x≤＋，k∈ ，故f(x)的单调递减区间为－＋，＋，k∈ ，则A，B错误，故选D.‎ ‎4．(2018·长沙模拟)将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为( )‎ A．3 B．2 C. D. 解析：选C g(x)＝2sin＝2sin ωx.‎ 因为y＝g(x)在－，上为增函数，所以ω·≥－＋2kπ(k∈ )且ω·≤＋2kπ(k∈ )，解得0<ω≤，则ω的最大值为.‎ ‎5．(2018·陕西质检)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( )‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选A 将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin2x＋＋φ＝sin2x＋＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈ )，且|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin2x－，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.‎ ‎6．(2018·临沂调研)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1ω>0，|φ|≤，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π，若f(x)>1对任意x∈－，恒成立，则φ的取值范围是( )‎ A.， B.， C.， D.， 解析：选D 由题知，T＝＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，根据题意，若f(x)>1对任意x∈恒成立，即sin(2x＋φ)>0对任意x∈恒成立，所以－＋φ≥2kπ，k∈ ，且＋φ≤π＋2kπ，k∈ ，所以＋2kπ≤φ≤＋2kπ，k∈ ，又|φ|≤，所以≤φ≤.‎ ‎7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则( )‎ A．f(x)的图象关于直线x＝－对称 B．f(x)的图象关于点对称 C．若方程f(x)＝m在－，0上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－]‎ D．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象 解析：选C 根据题中所给的图象，可知A＝2，‎ T＝4＝π，∴ω＝＝2.‎ 又＋φ＝＋2kπ，k∈ ，|φ|<，∴φ＝，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋，∴2×＋＝－π，从而f(x)的图象关于点对称，而不是关于直线x＝－对称，故A不正确；2×＋＝－，∴f(x)的图象关于直线x＝－对称，而不是关于点对称，故B不正确；当x∈时，2x＋∈－，，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f(x)＝m在－，0上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－]，故C正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象，故D不正确．‎ ‎8．曲线y＝2coscos和直线y＝在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2，P3，…，则|P3P7|＝( )‎ A．π B．2π C．4π D．6π 解析：选B y＝2coscos＝cos2x－sin2x＝cos 2x，故曲线对应的函数为周期函数，且周期为π，直线y＝在y轴右侧与函数y＝cos 2x在每个周期内的图象都有两个交点，又P3与P7相隔2个周期，故|P3P7|＝2π.‎ ‎9．已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在－，上的最小值为( )‎ A．－2 B．－1‎ C．－ D．－ 解析：选B f(x)＝2sin，∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，∴＋φ＝kπ＋(k∈ )．∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，‎ ‎∴g(x)＝2sin＝2sin.‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，∴当x＝时，g(x)取得最小值，最小值为－1.‎ ‎10．(2018·宁夏银川一中月考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，则f的值为( )‎ A．1 B．－1‎ C. D．－ 解析：选A 函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin2x－＋φ＝sin2x－＋φ，由所得图象关于原点对称，可得φ－＝kπ，k∈ ，即φ＝kπ＋，k∈ .又|φ|<，故φ＝，可得函数f(x)＝sin2x＋，f＝sin2×＋＝sin＝1.‎ ‎11．将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为( )‎ A. B. C. D. 解析：选A 由题意得g(x)＝2sin2x＋＋＋1＝2sin2x＋＋1，故g(x)max＝3，g(x)min＝－1，由g(x1)g(x2)＝9，得由g(x)＝2sin2x＋＋1＝3，得2x＋＝＋2kπ，k∈ ，即x＝＋kπ，k∈ ‎ ‎，由x1，x2∈[－2π，2π]，得x1，x2＝－，－，，，故当x1＝，x2＝－时，2x1－x2取得最大值，最大值为.‎ ‎12．(2018·河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )‎ A．函数f(x)的最小正周期为 B．函数f(x)的图象可由g(x)＝Acos ωx的图象向右平移个单位长度得到 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间上单调递增 解析：选D 由图象可知，函数f(x)的最小正周期T＝2＝，选项A正确；由T＝，得ω＝3.又f＝Acos＝0，所以φ＝kπ－(k∈ )．又f＝Acos＝Asin φ＝－，所以sin φ<0，φ＝－＋2kπ(k∈ )，即f(x)＝Acos，函数g(x)＝Acos 3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y＝g＝Acos3x－＝Acos＝f(x)，选项B正确；当x＝时，f(x)＝A，因此函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项C正确；当x∈时，3x－∈，函数f(x)在上不是单调递增的，选项D错误．‎ 二、填空题 ‎13．(2018·郑州模拟)定义运算：＝a‎1a4－a‎2a3，将函数f(x)＝(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是________．‎ 解析：由题意，得f(x)＝＝cos ωx－sin ωx＝2cosωx＋(ω>0)，将函数f(x)＝2cosωx＋(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2cosωx＋＋ ‎＝2cosωx＋＋.因为y＝2cosωx＋＋为偶函数，所以＋＝kπ(k∈ )．即ω＝(k∈ )．又ω>0，所以ω的最小值是.‎ 答案： ‎14.(2018·江西赣南五校联考)已知函数f(x)＝Asinx＋φA>0，0<φ<的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．若∠PRQ＝，则f(x)的最大值是________．‎ 解析：由题设可知函数f(x)的最小正周期T＝＝12，则Q(8，－A)，所以|PR|＝A，连接PQ，|PQ|＝，|RQ|＝，由余弦定理可得‎4A2＋36＝A2＋A2＋36－‎2A··cos.又A>0，解得A＝2，故f(x)的最大值是2.‎ 答案：2 ‎15．(2018·江西上饶一模)已知函数f(x)＝4sin2x＋0≤x≤，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1

查看更多