2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷）（含答案）

2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江苏卷）（含答案）

‎2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）‎ 参考公式：‎ 样本数据的方差，其中。‎ 棱锥的体积公式：，其中S是锥体的底面积，为高。‎ 棱柱的体积公式：，其中S是柱体的底面积，为高。‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。‎ ‎1、函数的最小正周期为 ▲ ‎ ‎2、设（为虚数单位），则复数的模为 ▲ ‎ ‎3、双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ ‎ ‎4、集合共有 ▲ 个子集 ‎5、右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ▲ ‎ ‎6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下： ‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲ ‎ ‎7、现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则 都取到奇数的概率为 ▲ ‎ ‎8、如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ▲ ‎ ‎9、抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部和边界）。若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ▲ ‎ ‎10、设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为 ▲ ‎ ‎11、已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为 ▲ ‎ ‎12、在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为 ），右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ▲ ‎ ‎13、在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ▲ ‎ ‎14、在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为 ▲ ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15、（本小题满分14分）‎ 已知向量，。‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）设，若，求的值。‎ ‎16、（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点。‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）。‎ ‎17、（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。‎ ‎18、（本小题满分16分）‎ 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。‎ 现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，‎ ‎ 乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎19、（本小题满分16分）‎ 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：。‎ ‎20、（本小题满分16分）‎ 设函数，，其中为实数。‎ ‎（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。‎ ‎ ‎ ‎2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）答案 一、填空题 ‎1、 ‎ ‎2、5 ‎ ‎3、 ‎ ‎4、8 ‎ ‎5、4 ‎ ‎6、2 ‎ ‎7、‎ ‎8、 ‎ ‎9、 ‎ ‎10、 ‎ ‎11、 ‎ ‎12、‎ ‎13、‎ ‎14、12‎ 二、解答题 ‎15、（1）略 （2）‎ ‎16、证：（1），，，由题，，平面 平面，平面，同理平面，与为平面内的两条相交直线，∴平面平面，‎ ‎（2）平面平面于，平面，平面，，‎ 又且与为平面内的两条相交直线，。‎ ‎ 17、解：（1）由题设点，又也在直线上，‎ ‎，由题，过A点切线方程可设为，即，则，解得：，∴所求切线为或 ‎（2）设点，，，，，，即，又点在圆上，，两式相减得 ‎，由题以上两式有公共点，‎ 整理得：，即，令 ‎，则 ‎，解得：，，解得：．‎ ‎ 18、解：（1）在中，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎．答:索道的长为．‎ ‎（2）设乙出发到点，则甲出发到点，，，‎ 在中，，‎ ‎，当且仅当时，最小．‎ 答：乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎（3）甲走完长为的山路，共需分钟，设乙总用时为，乙步行的速度为，则，由题，在中，由正弦定理求得，‎ ‎，，，，，，，‎ 答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制到内．‎ ‎19、证明：（1）若，则，，又由题，‎ ‎，，‎ 是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，（）．‎ ‎（2）由题，，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：‎ 关于恒成立．，‎ ‎。‎ ‎20、解：（1）由题在上恒成立，在上恒成立，；‎ 若，则在上恒成立，在上递增，在上没有最小值，， 当时，，由于在递增，时，递增，时，递减，从而为的可疑极小点，由题，，‎ 综上的取值范围为．‎ ‎（2）由题在上恒成立，在上恒成立，，‎ 由得 ，令，则，‎ 当时，，递增，当时，，递减，‎ 时，最大值为，又时，，时，，‎ 据此作出的大致图象，由图知：当或时，的零点有1个, 当时，的零点有2个,‎