2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-7正弦定理余弦定理的应用举例课件新人教B版

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第七节　正弦定理、余弦 定理的应用举例 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 仰角和俯角 在视线和水平线所成 的角中，视线在水平线 _____ 的角叫仰角，在水平线 _____ 的角叫俯角 ( 如图 ①). 上方 下方 2. 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α( 如图 ②). 3. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 . (1) 北偏东 α ，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向 ( 如图 ③). (2) 北偏西 α ，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向 . (3) 南偏西等其他方向角类似 . 4. 坡角与坡度 (1) 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数 ( 如图 ④ ，角 θ 为坡角 ). (2) 坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比 ( 如图 ④ ， i 为坡度 ). 坡度又称为坡比 . 【常用结论】 解与三角形有关的实际应用问题的四个步骤 (1) 读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系 . (2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型 . (3) 选择正弦定理或余弦定理求解 . (4) 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 东北方向就是北偏东 45° 的方向 . ( 　　 ) (2) 俯角是铅垂线与视线所成的角 , 其范围为 ( 　　 ) (3) 方位角与方向角其实质是一样的 , 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 . ( 　　 ) 提示 : (1) √. (2)×. 俯角是视线与水平线所构成的角 . (3)√. 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 易混淆方位角与方向角的概念 基础自测 T3 2 解三角形时 , 为避免误差的积累 , 应尽可能用已知的数据 ( 原始数据 ), 少用间接求出的量 基础自测 T4 3 不能准确建立数学模型 考点三、角度 2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 5P14 问题 4 改编 ) 从 A 处望 B 处的仰角为 α, 从 B 处望 A 处的俯角为 β, 则 α,β 的关系为 ( 　　 ) A.α>β 　 B.α=β C.α+β=90° 　 D.α+β=180° 【解析】 选 B. 由已知及仰角、俯角的概念画出草图 , 如图 , 则 α=β. 2.( 必修 5P12 问题 2 改编 ) 如图所示 , 设 A,B 两点在河的两岸 , 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105° 后 , 就可以计算出 A,B 两点的距离为 ( 　　 ) 【解析】 选 A. 由正弦定理得 又由题意得 ∠CBA=30°, 所以 AB= 3.( 必修 5P15 习题 1-2AT1 改编 ) 若点 A 在点 C 的北偏东 30°, 点 B 在点 C 的南偏东 60°, 且 AC=BC, 则点 A 在点 B 的 ( 　　 ) A. 北偏东 15° B. 北偏西 15° C. 北偏东 10° 　 D. 北偏西 10° 【解析】 选 B. 如图所示 , ∠ACB=90°, 又 AC=BC, 所以 ∠CBA=45°, 而 β=30°, 所以 α=90°-45°-30°=15°. 所以点 A 在点 B 的北偏西 15°. 4.( 必修 5P15 练习 AT2 改编 ) 如图 , 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内 , 若 飞机的高度为海拔 18 km, 速度为 1 000 km/h, 飞行员先看到山顶的俯角为 30°, 经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°, 则山顶的海拔高度约为 ( 精确到 0.1 km, 参考数据 : ≈1.732) ( 　　 ) A.11.4 km B.6.6 km 　 C.6.5 km 　 D.5.6 km 【解析】 选 B. 因为 AB=1 000× (km), 所以 BC= · sin 30°= (km), 航线离山顶的高度为 h= ×sin 75°= ×sin(45°+ 30°)≈11.4(km). 所以山顶的海拔高度约为 18-11.4=6.6(km). 5.( 必修 5P14 练习 AT1 改编 ) 如图所示 ,D,C,B 三点在地面的同一条直线上 ,DC=a, 从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 60°,30°, 则 A 点离地面的高度 AB=________.  【解析】 由已知 ∠DAC=30°,△ADC 为等腰三角形 ,AD= a, 所以在 Rt△ADB 中 ,AB= AD= a. 答案 : a 【核心素养】 　数学建模 —— 正、余弦定理解决实际问题   【素养诠释】 数学建模是对现实问题进行数学抽象 , 用数学知识与方法构建数学模型解决问题的素养 . 在解三角形问题中 , 主要涉及测量角度、高度等 , 通过正、余弦定理解决问题 , 最终解决实际问题 . 【典例】 国庆阅兵式上举行升旗仪式 , 在坡度为 15° 的观礼台上 , 某一列座位 与旗杆在同一个垂直于地面的平面上 , 在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶 端的仰角分别为 60° 和 30°, 且第一排和最后一排的距离为 10 米 . 则旗杆的 高度为 ________ 米 .  【素养立意】 　 与实际问题结合 , 考查用正弦定理、余弦定理解三角形 . 【解析】 设旗杆高为 h 米 , 最后一排为点 A, 第一排为点 B, 旗杆顶端为点 C, 则 BC= 　　　　　　在 △ABC 中 ,AB=10 ,∠CAB=45°,∠ABC=105°, 所以 ∠ACB=30°, 由正弦定理得 , 　　　　　　　故 h=30. 答案 : 30