2020届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研测试数学（理）试卷

2020届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研测试数学（理）试卷

2020 届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕 业班第二次调研测试理科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目 要求。 1. 集合 的子集的个数是 A. B. C. D. 2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是 A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 4. “ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ： ,下列函数模型中拟合较好的是 A. B. C. D. 6. 已知实数 满足线性约束条件 ，则 的最小值为 A. B. C. D. { | 2 1 2}P x N x= ∈ − < − < 2 3 4 8 i z (1 )z i i⋅ − = z 1cos2 2 α = − ,3k k Z πα π= + ∈ (0.675, 0.989),− (1.102, 0.010),− (2.899,1.024), (9.101,2.978) 3y x= 3xy = 2( 1)y x= − − 3logy x= ,x y 1 0 2 0 x x y x y ≥  + ≥  − + ≥ 2z x y= + 5 1 5− 1− 7. 已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值为 A. B. C. D. 8. 如图，正方体 中， 分别为 所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 平行的是 A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 9. 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积 术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂 乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三 边长 求三角形面积 ，即 . 若 的面积 ，则 等于 A. B. C. 或 D. 或 10. 已知双曲线 的焦距为 . 点 为双曲线 的右顶点， 若点 到双曲线 的渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率是 A. B. C. D. 11. 已知 ，则 A. B. C. D. 12. 如图，在 中，点 分别为 的中点，若 ，且满足 ，则 等于 A. B. C. D. 2 2 6 7 0x y x+ − − = 2 2 ( 0)y px p= > p 1 2 1 2 4 1 1 1 1ABCD A B C D− , , ,E F G H 1ACD EF GH EH 1A B , ,a b c S 2 2 2 2 2 21[ ( ) ]4 2 c a bS a c + −= − ABC∆ 11 , 3, 22S a b= = = c 5 9 5 3 5 9 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2c A C A C 1 2 c C 2 3 2 3 1 2 5ln , log 2,a b c eπ −= = = a b c> > a c b> > b a c> > c a b> > ABC∆ ,M N ,CA CB 5, 1AB CB= = 2 2 3AG MB CA CB⋅ = +    AG AC   2 5 2 3 8 3 GM N A B C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。 13. 在空间直角坐标系 中， ，则四面 体 的外接球的体积为__________. 14. 直线 过圆 的圆心，则 的最小值是__________. 15. 若函数 在区间 上恰有 个不同的零点，则正数 的取 值范围是__________. 16. 关于函数 有下列四个命题： ①函数 在 上是增函数； ②函数 的图象关于 中心对称； ③不存在斜率小于 且与数 的图象相切的直线； ④函数 的导函数 不存在极小值. 其中正确的命题有__________. （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10 分）已知数列 是公比为正数的等比数列，其前 项和为 ，满足 ， 且 成等差数列. （1）求 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求 的 值. 18. （12 分）如图，三棱柱 的侧棱 垂直于底面 ， 且 , 是棱 的中点. （1）证明： ； （2）求二面角 的余弦值. 19. （12 分）已知 中，角 所对的边分别为 ， ,且满足 . （1）求 的面积 ；（2）若 求 的最大值. 20. （12 分）为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分 类放回相应区域. 现随机抽取了某阅读区 500 本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）. O xyz− ( 2,0,0), (0,3,0), (0,0,5), ( 2,3,5)A B C D ABCD 2 0( 0, 0)mx ny m n+ − = > > 2 2: 2 2 1 0C x y x y+ − − − = 2 4 m n + 1( ) sin(2 )6 2f x x πω= + − [0, ]π 4 ω ( ) ln(2 ) ln(4 )f x x x= + − − ( )y f x= ( 2,4)− ( )y f x= (1,0) 2 3 ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x′= { }na n nS 1 2a = 2 2 3,2 ,a S a { }na { }nb 2logn nb a= 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 99 100b b b b b b b b− + − + − + + − ABC A B C′ ′ ′− AA′ ABC 90 , 30 , 1, 6ACB BAC BC AA′∠ = ° ∠ = ° = = M CC′ AB A M′ ′⊥ A MB A′ ′− − ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2A π≠ sin2 20cos( ) 0bc A B C+ + = ABC∆ S 2 4 ,a S= c b b c + M A B C A BC 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 100 40 10 科普类图书 30 200 30 其他图书 20 10 60 （1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率 ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率 ； （3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为 ，其中 ，当 的方差 最大时，求 的值，并求出此时方差 的值. 21. （12 分）设函数 . （1）若函数 在 是单调递减的函数，求实数 的取值范围； （2）若 ，证明： . 22. （12 分）已知 ，动点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，设点 的轨迹为 曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）若过点 的直线 与曲线 交于 两点，过点 且与直线 垂直的直线与 相交于 点 ，求 的最小值及此时直线 的方程. 1p 2p , ,a b c 0, 100, 50a a b c> + = = , ,a b c 2s ,a b 2s ( ) ln ( 1)f x x a x= − − ( )y f x= (1, )+∞ a 0n m> > 2 ln 2 lnnn mm + < + ( 2,0), (2,0)A B− P PA PB 3 4 − P C C (1,0)F l C ,M N F l 4x = T | | | | TF MN l