2018-2019学年辽宁省大连渤海高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2018-2019学年辽宁省大连渤海高级中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

渤海高中2018-2019学年度第二学期期中 高二数学文学科试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．i是虚数单位，复数的共轭复数是(　　)‎ A．2＋i B．2－i C－1＋2i D．－1－2i ‎2．演绎推理“因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝x是指数函数，所以y＝x是增函数”所得结论错误的原因是(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误 ‎3．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)‎ A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆 ‎4．已知x，y取值如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎1‎ m ‎3m ‎5.6‎ ‎7.4‎ 画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为＝x＋1，则m等于(　　)‎ A．0.5 B．1 C．1.5 D．2‎ ‎5．i为虚数单位，复平面内表示复数z＝的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 ‎6．用反 证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为(　　) ‎ A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除 C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除 ‎7.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如表所示的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ b 乙班 c ‎30‎ 总计 ‎105‎ 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)‎ A．列联表中c的值为30，b的值为35‎ B．别联表中c的值为15，b的值为50‎ C．根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，能认为“成绩与班级有关系”‎ D．根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”‎ ‎8．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎9．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．(2018·广州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1和曲线C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（ ）‎ A.(1,1) B( 1，) C ，) D (，1)‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，可以推出结论：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a等于(　　)‎ A．2n B．3n C．n2 D．nn 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，20分)‎ ‎13．若复数z＝cos θ－isin θ所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．‎ ‎14．在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________． ‎ ‎15．已知圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcos＝，若极轴与x轴的非负半轴重合，则直线l被圆C截得的弦长为________．‎ ‎16．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z.‎ ‎(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标； (2)求的共轭复数．‎ ‎18.平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是＋ρ2sin2θ＝1.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．‎ ‎19．为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事的工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：‎ 专业对口 专业不对口 合计 男 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 合计 ‎65‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎(1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？‎ ‎(2)求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率，并估计该校近3年毕业的2 000名大学生从事的工作与大学所学专业对口的总人数．‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(3)若从从事工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率．‎ 附：K2＝.‎ ‎20．(12分)已知△ABC的三边长为a，b，c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．‎ ‎(1)比较与的大小，并证明你的结论；‎ ‎(2)求证：B不可能是钝角．‎ ‎21.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程．‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标.‎ ‎22．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)画出散点图； (2)求回归直线方程；‎ ‎(3)试预测当广告费支出为10百万元时，销售额多大？‎ 参考公式和数据：＝，＝y－x；x＝145，y＝13 500，xiyi＝1 380.‎ 答案 ‎1　A　2 A　 3 C 4 C 5．C 6　B 7 C 8 C 9．B 10．C ‎11　A 12．D 二、13．一 14． 2 15.2 16．S＝44.5.‎ 三、17.已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z.‎ ‎(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标；‎ ‎(2)求的共轭复数．‎ 解　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由已知，得＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i.‎ 由得所以z＝－4＋3i.‎ 其在复平面上对应的点的坐标为(－4,3)．‎ ‎(2)由(1)知z＝－4＋3i，‎ 所以＝＝＝＝＝3＋4i，共轭复数为3－4i.‎ ‎18.平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是＋ρ2sin2θ＝1.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长．‎ 解析：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.‎ ‎(2)将代入＋y2＝1得，‎ t2＋t－1＝0，‎ Δ＝()2－4××(－1)＝16>0.‎ 设方程的两根是t1，t2，则t1＋t2＝－，t1t2＝－，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝.‎ ‎19．为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事的工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：‎ 专业对口 专业不对口 合计 男 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 合计 ‎65‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎(1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？‎ ‎(2)求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率，并估计该校近3年毕业的2 000名大学生从事的工作与大学所学专业对口的总人数．‎ ‎(3)若从从事工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙，女生丙、丁，让他们两两进行一次10分钟的职业交流，该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录，然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站，试求选取的视频恰为异性交流视频的概率．‎ 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解析：(1)根据列联表中的数据，得K2＝＝≈2.051<3.841，∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”．‎ ‎(2)这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率为＝，由此估计该校近3年毕业的2 000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为×2 000＝1 625.‎ ‎(3)两两进行一次10分钟的职业交流的所有结果为(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共有6个基本事件，其中异性交流的有4个基本事件，∴所求概率为P＝＝.‎ ‎20．(12分)已知△ABC的三边长为a，b，c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．‎ ‎(1)比较与的大小，并证明你的结论；‎ ‎(2)求证：B不可能是钝角．‎ ‎(1)解　大小关系为<.‎ 证明如下：要证<，只需证<，‎ 由题意知a，b，c>0，只需证b2>>0.‎ 这与cos B<0矛盾，故假设不成立．‎ ‎∴B不可能是钝角．‎ ‎21.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程．‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．‎ 解：(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)，普通方程为x2＋＝1，‎ 曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3，‎ 即ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，直角坐标方程为x＋y－6＝0.‎ ‎(2)设P(cos α，sin α)，则|PQ|的最小值为P到x＋y－6＝0距离，‎ 即＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，|PQ|取得最小值2，‎ 此时P.‎ ‎22．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎(1)画出散点图；‎ ‎(2)求回归直线方程；‎ ‎(3)试预测当广告费支出为10百万元时，销售额多大？‎ 参考公式和数据：＝，＝y－x；x＝145，y＝13 500，xiyi＝1 380.‎ 解　(1)根据表中所列数据可得散点图如图：‎ ‎(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ xi ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ yi ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ xiyi ‎60‎ ‎160‎ ‎300‎ ‎300‎ ‎560‎ 因此，＝＝5，＝＝50，‎ 于是可得 ＝ ‎＝＝6.5，‎ ＝－＝50－6.5×5＝17.5.‎ 因此，所求回归直线方程为 ＝6.5x＋17.5.‎ ‎(3)根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时， ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．‎